专题7.4 特殊角的三角函数（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）.docx

1、专题7.4 特殊角的三角函数（知识讲解）【学习目标】1. 会推算30、45、60角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；2. 会进行有关三角函数的计算应用【要点梳理】特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30、45、60角的各三角函数值，归纳如下：锐角3045160特别说明：(1)通过该表可以方便地知道30、45、60角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 的值依次为、，而的值的顺序正好相反，的值依次增大，其变化规律可以总结为： 正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)

2、而增大(或减小)； 余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)【典型例题】类型一、特殊角三角函数计算1 计算：(1)sin230+sin60-sin245+cos230； (2).【答案】(1)+；(2).【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）将特殊角的三角函数值代入求解特殊值：sin 30 = ；sin 60 = ；sin 45 = ；cos 30 = ；tan 60 = ；tan 45 = 1解：(1)原式=-+= + ；=.【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值举一反三：【变式1】计算：sin45tan45【答案】【分析】把特殊

3、角的三角函数值代入计算即可解：sin45tan45【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及分母有理化、二次根式的化简，牢记特殊角的三角函数值，是解决本题的关键【变式2】计算：2cos45tan60+sin30tan45【答案】-【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案解：原式=2+1=-【点拨】此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键类型二、特殊角三角函数计算2计算：【答案】-2【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别代入化简即可解：原式=-2【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键举一反三：

4、【变式1】计算：【答案】-2试题分析：分别计算(2014-)0=1，=2，再用实数的混合运算法则计算.解：原式=31+23=2.【变式2】计算：【答案】3试题分析：用完全平方公式、平方差公式去括号，计算出特殊角三角函数值，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可.解：(1)2+3tan30(2)(+2)+2sin60=42+3(54)+2=42+1+=3.【点拨】掌握二次根式的加减乘除运算法则.类型三、由特殊角三角函数值求角的度数3 已知为锐角，且，则_【答案】【分析】计算，并结合是个锐角，即可求解解：，为锐角，故答案是：60【点拨】本题主要考察计算和锐角三角函数与角度关系，属于基础的计算题，难度

5、不大解题的关键是结合角度范围确定三角函数值范围举一反三：【变式1】已知矩形的周长为，对角线，求与的度数【答案】，或，【分析】设AB=x,将BC表示出来，再利用勾股定理可求出x=1或x=,再利用三角函数求出一个角为30，另一个角为60.解：矩形的周长为，AB+BC= +1,对角线AC=2,设AB=x,则BC=+1-x,AB2+BA2=AC2,x2+(+1-x)2=22,解得：x1=1,x2=,当AB=1,则BC=,tanBAC=,BAC=60,DAC=30, 当AB=,则BC=1,tanBAC= ,BAC=30,DAC=60,故，或，【点拨】此题主要考查了勾股定理和特殊角的三角函数值，解答本题的

6、关键是掌握特殊角的三角函数值【变式2】计算(1)计算：(2)已知是锐角，且，计算的值【答案】(1)1 (2)0【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入代数式进行计算即可；（2）先利用锐角的正弦求解的大小，再代入代数式进行计算即可(1)解： (2) 是锐角，且， 【点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键类型四、三角函数计算4 （1）计算：（2）如图，在ABC中，ACB=90，角平分线AE与高CD交于点F，求证：CE=CF 【答案】（1）8；（2）见分析【分析】（1）计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再合并即可；

7、（2）根据直角三角形两锐角互余求得B=ACD，然后根据三角形外角的性质求得CEF=CFE，根据等角对等边求得CE=CF（1）解：=8；（2）证明：在ABC中，ACB=90，B+BAC=90，CD是AB边上的高，ACD+BAC=90，B=ACD，AE是BAC的角平分线，BAE=EAC，B+BAE=ACD+EAC，即CEF=CFE，CE=CF【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键举一反三：【变式1】如图，将ABC沿射线AB平移4cm后能与BDE完全重合，连接CE、CD交BE于点O，OBOC(1)求证：

8、四边形CBDE为矩形；(2)若SBOCcm2，求ACD的度数【答案】(1)见分析(2)120【分析】（1）由平移的性质及判定定理可证得，根据全等三角形的性质即可求证结论（2）根据矩形的性质及面积公式即可求得，进而可利用特殊三角函数值可求得，根据垂直平分线的性质即可求解（1）证明：由题意可知：BDE由ABC平移后得到，且，四边形是平行四边形，且，在和中， ，又， ， 平行四边形为矩形（2）由（1）可知四边形为矩形，且cm，在中过点作的垂线，垂足为，则，cm，在，又在ACD中，BC是AD的垂直平分线，ACD的度数为【点拨】本题考查了平移的性质、全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、特殊三角函数

9、值求角度，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键【变式2】将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接，如图1，问题解决：(1)试判断图1中是什么特殊的三角形？并说明理由；(2)如图2，在图1的基础上，与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交于点Q，求的值【答案】(1)是等边三角形，理由见分析(2)【分析】（1）等边三角形，解法一利用垂直平分线性质得出AA=BA，利用折叠得出即可，解法二：根据折叠得出，然后利用锐角三角函数定义得出 ，求出即可；（2）解法一：过点N作交AP于H，先证（AAS），再

10、证，得出 即可解法二：由折叠可知，由点P是BN的中点 ，得出，利用平行线等分性质得出，证出即可(1)解：是等边三角形解法一：理由是：由折叠可知EF垂直平分AB；AA=BA，ABG折叠得ABG，；是等边三角形；解法二：理由是：由折叠可知， ，是等边三角形；(2)解法一：过点N作交AP于H，又点P是BN的中点 ，在PHN和PQB中，（AAS），又，由折叠可知， ，；解法二：由折叠可知，又点P是BN的中点 ，过点N作交于M，【点拨】本题考查一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质，锐角三角函数值求角，掌握一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质是解题关键