专题8.5 空间向量及其应用（原卷版）.docx

1、8.5 空间向量及其应用思维导图知识点总结1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有 和 的量相等向量方向 且模 的向量相反向量方向 且模 的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使b .(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使p .(3)空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x

2、，y，z)，使得p .3.空间向量的数量积(1)两向量的数量积：设两个空间非零向量a，b，把|a|b|cosa，b叫作a，b的数量积，记作ab，即ab .(2)空间向量的坐标表示及其应用设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2).向量表示坐标表示数量积ab共线ba(a0，R)垂直ab0(a0，b0)模|a|夹角a，b(a0，b0)4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2l1l2l1l2直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，lll平面，的法向量分别为n1，n2常用结论1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一

3、点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立.4.在利用xy证明MN平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.典型例题分析考向一 空间向量的线性运算及共线、共面定理1 (1)(多选)已知平行六面体ABCDABCD，则下列四式中正确的有()A.B.C.D.(2)(多选)下列说法中正确的是()A.|a|b|ab|是a，b共线的充要条件B.若，共线，则ABCDC.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四

4、点共面D.若P，A，B，C为空间四点，且有(，不共线)，则1是A，B，C三点共线的充要条件感悟提升1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.2.(1)对空间任一点O，xy，若xy1，则点P，A，B共线.(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.xy.对空间任一点O，xy或xyz(xyz1)即可.考向二 空间向量的数量积及应用2 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分

5、别是正四面体ABCD中各棱的中点，设a，b，c，试采用向量法解决下列问题：(1)求的模长；(2)求，的夹角.感悟提升由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确.3. 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值.4.(教材改编)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MNON，APAN，则_(用向量，表示).考向三 利用空间向量证明(

6、判断)平行与垂直5. 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD.感悟提升1.利用向量法证明(判断)平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.6.(2021浙江卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN平面AB

7、CDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN平面BDD1B1基础题型训练一、单选题1若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（）A1BC1或D0或2已知点，若，四点共面，则（）ABCD3已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）ABCD4平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量(2，h，k)，若，则hk的值为()A2B8C0D65如图所示，已知，三点不共线，为平面内一定点，为平面外任一点，则下列能表示向量的为（）.ABCD6如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴

8、上，则定点的坐标为ABCD二、多选题7给出下列命题，其中正确的命题是（）A若 ，则 或B若向量 是向量 的相反向量，则C在正方体 中， D若空间向量 ， ， 满足 ， ，则8已知，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A若，则B若，两两共面，则，共面C若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底D对于空间的任意一个向量，总存在实数，使得三、填空题9在正方体中，给出以下向量表达式：；.其中能够化简为向量的是_（填序号）.10已知向量，若，则_.11在空间直角坐标系中，轴上有一点到已知点和点的距离相等，则点的坐标是_12已知空间三点坐标分别为，点在平面内，则实数的值为_四、解答题13已知，求证：四

9、边形为平行四边形14已知空间两个动点，求的最小值15已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量，k，k求证：四点E，F，G，H共面.16如图，三棱柱中，平面ABC，D，E分别是AC，的中点.（）证明：平面；（）求DE与平面夹角的正弦值.提升题型训练一、单选题1如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（）ABCD2若构成空间的一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的是（）ABCD以上都不行3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1BCD4如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，则下列数量积最

10、大的是（）ABCD5已知、为空间中不共面的四点，且，若、四点共面，则实数的值是（）ABCD6已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）ABCD二、多选题7已知为正方体，则下列说法正确的有（）A；B；C与的夹角为；D在面对角线中与直线所成的角为的有8条8下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A若非零向量，满足，则有B若，是空间的一组基底，且，则 四点共面C任意向量，满足D已知向量，若，则为锐角三、填空题9是空间四点，有以下条件：；，能使四点一定共面的条件是_10已知向量，是三个不共面的非零向量，且，若向量，共面，则_11已知在四面体ABCD中，则_12如图，在平行六面体中，与交于点，在底面的射影为点，与底面所成的角为，则对角线的长为_四、解答题13空间向量，不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？14判断下列点P是否在直线l上：(1)点，直线l经过和两点；(2)点，直线l经过和两点15如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，点在侧棱上，且（1）求证：平面；（2）设为的中点，求六面体体积16已知在平行六面体中， BAD=90，BAA=DAA=60，求BD的长