专题8将军饮马模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题8将军饮马模型解题策略模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最小 连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点PAPB的最小值为AB.模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最小 作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点PAPB的最小值为AB模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大 作点B关于直

2、线I的对称点B，连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点的最大值为AB模型8：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点的最小值为0模型6：点P在AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PCD周长最小 分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求PCD周长的最小值为PP模型7：点P在AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PDCD最小 作点P关于OB的对称点P，过P作PCOA交OB，PDCD的最小值为PC经典例题【例1】（2022湖南师大附中博

3、才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”如图1，在ABC中，AB=AC=1，BAC=108，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD(1)证明直线AD是ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度(3)如图3，射线CF平分ACB，点Q为射线CF上一点，当AQ+514CQ取最小值时，求QAC的正弦值【例2】（2021四川南充一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A（4，0）、B（0，4）

4、、C其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由【例3】（2022浙江衢州模拟预测）如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点(1)求证：MD是O的切线；(2)若B30，AB8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点

5、E恰好运动到ACB的角平分线上，连接CE并延长，交O于点F，交AD于点P，连接AF，CP3，EF4，求AF的长【例4】（2022重庆巴蜀中学七年级期末）在RtABC中，ABBC，在RtCEH中，CEH45，ECH90，连接AE(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH6，求AE的长；(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH2BF，EHB+12HBF45时，求证：AECE；(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FHBC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BEDE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CGAF，并连接EG；若点E在线段A

6、C上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，AED的面积为25，请直接写出GE+BH的值【例5】（2022江苏九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8，BC20，AD18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由(3)在线段PD上有一点M，且PM10，当点P从点A向右运动_秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_培优训练一、解答

7、题1（2022江苏八年级专题练习）如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当BPE满足什么条件时，ABC是等边三角形，并说明理由2（2021全国八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=12x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD（1）求边AB的长；（2）求点C，D的坐标；（3）在x轴上是否存在点M，使MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3（2022江苏八年级专题练习）已知RtABC中C90，且

8、BC9，B30（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD3，点E是AB上的动点，将DBE沿DE对折，点B的对应点为B（点B和点C在直线AB的异侧），DB与AB交于点H当BEA20时，求EDB的度数当BHE是等腰三角形时，求DEB的度数（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD3，M是线段AC上的动点，以MDN为直角构造等腰直角DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值4（2021湖北武汉八年级期中）如图，在RtABC中，ACB90，ABC30，AC2，以BC为边向左作等边BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点（1）求证：A

9、DC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值5（2022江苏八年级专题练习）如图，在ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE（1）若ABC=68，求AED的度数；（2）若点P为直线DE上一点，AB=8,BC=6，求PBC周长的最小值6（2021江苏星海实验中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _ ）

10、，Q（ _ ）；（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（133，4），请问x轴上是否存在一点F，使FDFE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由7（2021全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y33x2233x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中

11、点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KMMNNK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y33x2233x3沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由8（2021四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）以BC为斜边在它的同侧作RtDBC和RtABC，其中AD90，ABAC，AC、BD交于点P（1）如图1，BP平分ABC，求证：BCAB+AP；（2）如图2，过点A作AEBP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AGAD，交BD于点G，连接CG，

12、交AF于点H，求证：ABGADC；求证：GHCH；（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90得到线段MK，连接PK、CK，当DBC15，AP2时，请直接写出PK+CK的最小值9（2021广东岭南画派纪念中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y12x2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上（1）求直线BC的解析式；（2）若点C关于原点的对称点为C，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得GBC的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作P

13、Qx轴交直线AC于点Q，过点Q作QMx轴于点M，再过点P作PNx轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长10（2021陕西宝鸡九年级期中）问题提出（1）在图1中作出点B关于直线AC的对称点B问题探究（2）如图2，在ABC中，AB=AC=6，BAC=120，D为AC的中点，P为线段BC上一点，求AP+DP的最小值.问题解决（3）如图3，四边形ABCD为小区绿化区，DA=DC，ADC=90，AB=6+63，BC=12，B=30，AC是以D为圆心，DA为半径的圆弧.现在规划在AC，边BC和边AC上分别取一点P，E，F，使得DP+PE+EF+PF为这一

14、区域小路，求小路长度的最小值.11（2021全国九年级专题练习）已知在RtOAB中，OAB=90，ABO=30，OB=4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60，得到ODC，点D在BO上，连接BC（1）如图，求线段BC的长；（2）如图，连接AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图，点M是线段OC的中点，点N是线段OB上的动点（不与点O重合），求CMN周长的最小值12（2021全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A0,2、B2,0、C2,2，点E、F分别是直线AB和x轴上的动点，求CEF周长的最小值13（2021全国九年级专题练习）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1,0

15、、B两点，与y轴交于点C0,3（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接BC，点P是抛物线在第四象限上一点，连接PB，PC，求BCP面积的最大值；（3）如图，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线对称轴的对称点为点E，连接DE将抛物线沿x轴向右平移t个单位，点A，B的对应点分别为A、B，连接AD、BE，当四边形ADEB的周长取最小值时，求t的值14（2022全国八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，B=D=90，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF（1）如图，AB=AD，BAD=120，EAF=60求证：EF=BE+DF；（2）如图，BAD=120，当AEF周长最小时，求AEF+A

16、FE的度数；（3）如图，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且EAF=45，若BE=3，DF=2，请求出线段EF的长度15（2021全国九年级专题练习）如图，等边ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接BE（1）如图，求点D到线段BE的最短距离；（2）点P，N分别是BE，BC上的动点，连接PN、PD如图，当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；如图，点Q在BE上，若BQ=1，连接QN，求QN+NP+PD的最小值16（2021全国九年级课时练习）在平面直角坐标系中，以点P23,3为圆心的圆与x轴相交于A、B两点，与y轴相切于点C，抛物线y=ax2+bx+

17、c经过点A、B、C，顶点为D（1）求抛物线的表达式；（2）点M为y轴上一点，连接DM，MP，是否存在点M使得DMP的周长最小？若存在，求出点M的坐标及DMP的周长最小值；若不存在，请说明理由17（2021全国九年级专题练习）如图，在RtABC中，BAC=90，C=30，BC=4，O是ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=2，连接DA，点P是射线DA上的动点（1）求证：DA是O的切线；（2）DP的长度为多少时，BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；（3）点P运动的过程中，PB+PC的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由18（2021全国九年级专题练习）如图，在

18、ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于F，连接CF（1）求证：AEFDEB；（2）若BAC=90，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的情况下，点M在AC线段上移动，请直接回答，当点M移动到什么位置时，MB+MD有最小值19（2022全国八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点P在AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2.如图1，若AOB=25，请直接写出P1OP2=_；如图2，连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若CPD=98，求AOB的度数；在的条件下，若CPD=度（90180），请直接写出AOB=_度（用含

19、的代数式表示）.（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在ABC中，BAC=30，点P是ABC内部一定点，AP=8，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使PEF周长最小的点E、F的位置（不写画法），并直接写出PEF周长的最小值.20（2012浙江金华中考真题）在锐角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1若ABA1的面积为4，求CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段

20、AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值21（2021全国九年级专题练习）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax3aa0图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H、B关于直线l：y=33x+3对称.(1)求A、B两点的坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK/AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.22（2022吉林松原八年级期中）教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容(1)问题解决：

21、请结合图，写出例1的完整解答过程(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB4，BAD2ABC过点D作DE/AC交BC的延长线于点E如图，连结OE，则OE的长为_(3)如图，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PCPE的最小值为_23（2022河北保定一模）问题提出初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识常可利用它们来解决“最值问题”简单运用(1)如图1，在ABC中，AB6，A60，B45，在BC上取一点D，则AD的长的最小值是_综合运用(2)如图1，在ABC中，AB6，A60，B45，在BC、AB、AC上分别取点D、E、F，使得

22、DEF的周长最小画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出DEF的周长的最小值拓展延伸(3)图2是由线段AB、线段AC、BC组成的图形，其中A60，AB6，AC3，BC为60，分别在BC、线段AB和线段AC上取点D、E、F，使得DEF的周长最小，画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出DEF的周长的最小值24（2022山东济宁一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx6与x轴的交点A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点是点C(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PBPC的值最小时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，N，使得CMN=90且以点C，M，N为顶点的三角形与OAC相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由