专题9.14 矩形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题9.14 矩形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）【知识点二】矩形的性质定理性质符号语言边两组对边分别平行且相等四边形ABCD是矩形AD/BC,AD=BC,AB/CD,AB=CD角四个角都是直角四边形ABCD是矩形BAD=ADC=DCB=CBA=90对角线对角线相等且互相平分四边形ABCD是矩形AC=BD,AO=BO=CO=DO易错提醒：定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形，不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形.【知识点三】矩形的判定定理判定定理符号语言角有一个角是直角的平行四边形是矩形在平行四边形ABCD中，B

2、AD=90，平行四边形ABCD是矩形有三个角是直角的四边形是矩形在四边形ABCD中，BAD=ADC=DCB=90四边形ABCD是矩形对角线对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形ABCD中，AC=BD平行四边形ABCD是矩形易错提醒：1. 矩形具有平行四边形的一切性质2. 利用矩形的性质可以推出在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3. 举行的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形.【知识点五】矩形的对称性1. 矩形是轴对称图形，有两条对称轴且对称轴都是过对边中点的直线.2. 矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.易错提醒：过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分.【考点目

3、录】【矩形性质与判定的理解】【考点1】矩形性质的理解； 【考点2】矩形判定的理解； 【矩形性质定理】【考点3】利用矩形性质证明与求值【矩形判定定理】【考点4】利用矩形判定定理证明与求值【矩形性质定理与判定定理】【考点5】利用矩形性质定理和判定定理证明与求值【直角三角形斜边上的中线】【考点6】利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半证明与求值【矩形性质与判定的理解】【考点1】矩形性质的理解； 【例1】（2022下陕西安康八年级校考期中）（如图所示的是矩形（），E是上的一点，请用尺规作图法，在线段上作一点F，连接，使得（保留作图痕迹，不写作法）【分析】由矩形的性质可得，由于，可得，进而可知，即过点作交

4、于点，点即为所求解：四边形是矩形，则，又，即，如图，过点作交于点（延长，以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点，再分别以该两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线，交于点），点即为所求（作法不唯一）【点拨】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了矩形的性质【变式1】（2023下湖北随州八年级统考期末）在矩形中，对角线与交于点，下列结论一定正确的是（）A是等边三角形BCD平分【答案】B【分析】根据矩形的性质即可得解：由题意，画图如下：，是等腰三角形，不一定是等边三角形，平分均不一定

5、正确，故选：B【点拨】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键【变式2】（2023下江苏无锡八年级校考阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：四边形为平行四边形；对角线的长度不变；四边形的面积不变；四边形的周长不变，其中所有正确的结论是 【答案】/【分析】根据平行四边形的判定和性质即可判断解：两组对边的长度分别相等，四边形是平行四边形，故正确，向右扭动框架，的长度变大，故错误，平行四边形的底不变，高变小了，平行四边形的面积变小，故错误，平行四边形的四条边不变，四边形的周长不变，故正确故所有正确的结论是故答案为：【点

6、拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质【考点2】矩形判定的理解； 【例2】（2022下河南信阳八年级统考期末）如图，在中，E是BA延长线的一点，的平分线AD若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从点C向点B运动，运动的速度均为，运动时间为t，若P、Q同时运动（1）连接PQ交AC于点O求证：；（2）填空：当_秒时，四边形APCQ一定是矩形【答案】（1）见分析；（2）6【分析】（1）如图：先说明四边形APCQ是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证明结论；（2）如图：由（1）可知四边形APCQ是平行四边形

7、，要使四边形APCQ是矩形，则需AQBC；然后运用等腰三角形的性质求得BQ=CQ的长即可解答解：（1）证明：运P、Q同时运动，动的速度均为，运动时间为t，AP=t，CQ=t，即AP=CQ的平分线ADEAD=CAD=EADAB=ACB=CEAD=B+C=2CC=CADAPQC, AP=CQ四边形APCQ是平行四边形AO=CO （2）解：如图：由（1）可知四边形APCQ是平行四边形要使四边形APCQ是矩形，则需AQBCAB=ACBQ=CQ=BC=6Q在线段CB上从点C向点B运动，运动的速度均为CQ=t=6 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质、矩形的判定、动点问题等知识点

8、，灵活运用相关知识成为解答本题的关键【变式1】（2023下四川广安八年级校考期中）下列能够判断四边形是矩形的是（）A两组对角相等B对角线互相垂直C对角线互相垂直且相等D对角线互相平分且相等【答案】D【分析】根据矩形的判定逐项判断即可得到结论解：、两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；、对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意；故选：【点拨】此题考

9、查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件.【变式2】（2021下福建泉州八年级统考期末）如图，在中，点D在边上，则当 时，四边形是矩形【答案】45【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得A=90，进而即可求解解：，四边形是平行四边形，当四边形是矩形时，A=90，又，C= 故答案是：45【点拨】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键【矩形性质定理】【考点3】利用矩形性质证明与求值【例3】（2022下湖南张家界八年级统考期中）如图，矩形中，点E在上，且平分，若，（1）求证：（2）求的面积 【答案】（1）见分析；（2）

10、10【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，（1）由矩形的性质和角平分线的定义得出，推出即可；（2）设，由勾股定理得出，解方程求出，由三角形面积公式可得出答案解：（1）四边形是矩形，平分，（2）设，的面积=【变式1】（2023上四川达州八年级校考期末）如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为（）ABCD6【答案】A【分析】本题考查的是翻折变换，勾股定理,等腰三角形的性质和判定定理，矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键；先根据图形翻折变换的性质求出

11、的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论；解：是翻折而成，是矩形的中心，是等腰三角形，在中，即，解得，在中，设，则，即，解得，故选：A【变式2】（2023下福建福州八年级统考期末）在矩形中，、交于点O ， ，则的面积为 【答案】【分析】由矩形的性质得，且，则，所以， ， 则，所以是等边三角形， 则 ，由勾股定理得 ，所以，则，于是得到问题的答案解：四边形是矩形，、交于点，且，是等边三角形，故答案为：【点拨】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明是等边三角形是解题的关键【矩形判定定理】【考点4】利用矩形判定定理证明与求值【例4】（202

12、3上山东枣庄九年级校考阶段练习）如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至G，使，连接（1）求证：（2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？并说明理由【答案】（1）见分析；（2）当时，四边形是矩形，理由见分析【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，则，在根据中点的定义得出，最后根据，即可求证；（2）当时，四边形是矩形根据“三线合一”推出，再证明四边形是平行四边形，即可求证四边形是矩形解：（1）证明：四边形是平行四边形，点E，F分别为，的中点，在和中，（2）解：当时，四边形是矩形理由如下：，E是的中点，同理：，是的中位线，四边形是平行四边形，四边形是矩形【点拨】本题主要考查

13、了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；有一个角是直角是平行四边形是矩形【变式1】（2023上山东九年级专题练习）如图，四边形中，是的中点，则的长为（）AB2CD3【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识；正确作出辅助线是解题关键延长到点E，使，过点E作于点F，利用平行线的性质求得四边形是矩形，于是可得和，由的长进而可得，在中利用勾股定理求得后，根据三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半即可解：如下图，延长到点E，使，过点E作于点F，又，四边形是矩形，中由勾股定理可得，

14、M是的中点，C是的中点，是的中位线，故选C【变式2】（2022下上海青浦八年级校考期末）如图，的对角线、交于点，顺次联结各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：；，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是 （填序号）【答案】【分析】根据顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形逐一对四个条件进行判断解：顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形，新的四边形成为矩形，符合条件；四边

15、形是平行四边形，根据等腰三角形的性质可知，新的四边形成为矩形，符合条件；四边形是平行四边形，四边形是矩形，联结各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；，即平行四边形的对角线互相垂直，新四边形是矩形，符合条件所以符合条件故答案为：【点拨】本题考查矩形，解题的关键是数量掌握矩形的判断定理【矩形性质定理与判定定理】【考点5】利用矩形性质定理和判定定理证明与求值【例5】（2022上广东佛山九年级校考期中）如图，在平行四边形中，使，连接（1）求证：四边形是矩形（2）连接，若，求的长 【答案】（1）见分析；（2）【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理：（1）由平行四边形的性

16、质得出，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；（2）由矩形的性质得，则，再由勾股定理得，即可解决问题解：（1）证明：四边形是平行四边形，又，四边形为平行四边形，平行四边形是矩形；（2）解：如图， 四边形是平行四边形，由1可知，四边形是矩形，在中，由勾股定理得：，即的长为【变式1】（2023河北沧州模拟预测）图1所示的教具是用钉子将四根木条钉成的平行四边形框架，在与，与两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定老师推动框架至如图2所示，下列判断一定正确的是（）A在图2中，B在图2中，C四边形的周长变大D四边形的面积不变【答案】B【分析】根据平行四边形的邻边不一定相等，判断A；根据矩形的对角线相等，

17、判定B；根据线段的大小不会随位置的改变而改变，可判定C；根据矩形的面积，平行四边形的面积可判定D解：A、平行四边形的邻边不一定相等，在图2中，不一定成立，不符合题意；B、平行四边形框架，且，故平行四边形是矩形，故，正确，符合题意；C、根据线段的大小不会随位置的改变而改变，故四边形的周长不变，错误，不符合题意；D、如图，过点A作，交的延长线于点E，根据题意，得，根据斜边大于直角边，判定其上的高逐渐变大，故四边形的面积变大，错误，不符合题意； 故选B【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质，线段的大小不变性是解题的关键【变式

18、2】（2022下河南南阳八年级统考期末）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当CFE2ACB时，线段DF的长为 【答案】5【分析】连接BD交AC于点O，由矩形的性质可知，在矩形ABCD中，AB8，BC6，OAOBOCOD5，AOB2ACB；所以AOBCFE，所以DFODOF，由“等角对等边”可知DFDO5解：如图，连接BD交AC于点O，在矩形ABCD中，AB8，BC6，ACBD10，OAOBOCOD5，ACBOBC，AOBACB+OBC2ACB，CFE2ACB，AOBCFE，AOB+DOFCFE+DFO180，DFODOF，DFDO5故答案为：5【点拨】本

19、题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质与判定等相关知识，熟知矩形的性质，由此作出辅助线是解题的关键【直角三角形斜边上的中线】【考点6】利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半证明与求值【例6】（2024上江苏八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，中，是边上的高，、分别是、的中点，且（1）判断并说明与的位置关系；（2）若，求【答案】（1），理由见分析；（2）【分析】（）连接，由是边上的高，则，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，最后由等腰三角形的“三线合一”性质即可；（）由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解；此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和勾股定理，解题的关键

20、是熟练掌握知识点的应用（1）解：，理由如下：连接，是边上的高，是的中点，是的中点，；（2）由（）得：，在中，由勾股定理得：【变式1】（2023上江苏无锡八年级校考阶段练习）如图，已知中，的顶点分别在边上，当点B在边上运动时，A随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（）A5BC7D6【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合作于，连接，如图，根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理计算出，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得，则利用三角形三边的关系得到（当点、共线时取等号），从而得到的最小值解：作于，连接，如图，在中，为的中点，（当点、共线时取等号），的最小值为故选：C【变式2】（2023下四川德阳八年级统考期中）如图，在和中，M是的中点连接，若，则的面积为 【答案】48【分析】本题考查直角三角形的斜边中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，熟练掌握直角三角形斜边中线性质是解答的关键先根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半求得，过M作于E，根据等腰三角形的三线合一得到，由勾股定理求得，然后利用三角形的面积公式求解即可解：，M是的中点，过M作于E，则，的面积为，故答案为：48