专题9.2 椭圆方程与性质（原卷版）.docx

1、9.2 椭圆方程与性质思维导图知识点总结内容提要1.椭圆定义：设F1，F2是平面上的两个定点，若平面内的点P满足PF1+PF2=_(2aF1F2，则点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.2.椭圆的简单几何性质：标准方程x2a2+y2b2=1ab0焦点坐标F1-c，0，F2c，0焦距F1F2=2c，且c2=a2-b2图形范围-axa，-byb对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点坐标左、右顶点：A1-a，0，A2a，0上、下顶点：B10，b，B20，-b长轴长A1A2=2a，其中a叫做长半轴长短轴长离心率3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为_.典型例题分析

2、考向一 椭圆定义与应用例1椭圆x29+y22=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则PF2=_1PF2的大小为_；PF1F2的周长为；若延长PO交椭圆于Q，则PF1+F1Q=_变式已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，A1，2，P为椭圆C上的动点，则PA-PF1的最小值为_考向二 椭圆的标准方程【例2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（）ABCD【变式】已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为 .考向三 椭圆的离心率问题【例3】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆

3、交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】C【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.【详解】设，易知，则，又，所以.故选：C【变式1】若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为 .【答案】【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.【详解】由题可得，设为坐标原点，则,所以,即，因为，所以，若存在四个不同的点满足，又，所以，即，所以，所以，所以，故答案为: .【变式2】已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为 【答案】/【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂

4、直斜率关系可得，再结合可求得离心率.【详解】如图，设的垂直平分线与交于点，由题，则，化简得，由，解得，即.故答案为：.考向四 椭圆的焦点三角形问题【例4】设F1，F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，PF1F2为直角三角形，且PF1PF2，则PF1PF2的值为_【变式】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一点，O为原点，若OF1-OPOF1+OP=0，且PF1=2PF2，则椭圆C的离心率为_考向五 椭圆有关的最值与范围问题【例5】已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点

5、，则的取值范围为 【变式1】已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.【变式2】如图，点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围基础题型训练一、单选题1过椭圆的左顶点A作圆(2c是椭圆的焦距)两条切线，切点分别为M，N，若MAN=60，则该椭圆的离心率为（）ABCD2方程表示椭圆的充要条件是（）ABCD3已知椭圆C：的左、右焦点分别为

6、，点P在椭圆C上，若，则的余弦值为（）ABCD4过椭圆 的左焦点作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ()ABCD5若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（）AB椭圆的焦距为C若椭圆的焦点在轴上，则D若椭圆的焦点在轴上，则6已知椭圆的左右焦点分别为，M为E上一点.若，则E的离心率为（）ABCD二、多选题7已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（）ABCD8设P是椭圆上的动点，则（）A点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为B点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为C点P到左焦点距离的最大值为D点P到左焦点距离的最大值为三、填空题9

7、以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是 10椭圆（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于，则椭圆的离心率为 11椭圆的离心率为，则实数 12已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于A，B两点，满足且，则 四、解答题13已知椭圆 (ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1PF2，求椭圆的离心率的取值范围14椭圆焦距为4，经过点，分别为它的左右焦点（1）求椭圆C的标准方程；（2）求外接圆的标准方程15已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值（1）试求动点的轨

8、迹方程；（2）设直线：与曲线交于，两点，求16已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的一点到其两焦点的距离之和为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，且.若点满足，求.提升题型训练一、单选题1若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（）ABCD2圆与圆相外切，与圆相内切，则圆的圆心在（）A一个椭圆上B双曲线的一支上C一条抛物线上D一个圆上3已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（）A相交B相切C相离D不确定4椭圆为参数)的离心率是()ABCD5函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（）A12B14C16D186记椭圆的左焦点和右焦点分别为，右顶点为，过且倾斜角

9、为的直线上有一点，且在轴上的投影为.连接，的方向向量，则椭圆的离心率为（）ABCD二、多选题7已知是椭圆：上一点，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A椭圆的焦距为2B椭圆的离心率CD的面积的最大值是48一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（）A若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为B若是“黄金椭圆”，则C若“黄金椭圆”的左焦点是，右顶点和上顶点分别是，则D设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，“黄金椭圆”上动点（异于，），设直线，的斜率分别为，则三、填空题9若椭圆的两焦点分别为，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是 10已知椭

10、圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为 .11已知A、B、P是椭圆上的三个不同的点.O为坐标点，且，则椭圆C的离心率为 .12已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，离心率为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则的周长是 四、解答题13如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨20m水面宽的桥，拱的中心距河面6m.试写出椭圆的一个方程.14求下列椭圆的标准方程：（）焦点在x轴上，离心率，且经过点；（）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且与双曲线有相同的焦点15已知点在椭圆上，且点到椭圆左顶点的距离是到右顶点距离的倍(1)求椭圆的方程(2)点是椭圆上的动点，且到动直线与的距离均为，直线与椭圆相交于两点，直线与椭圆相交于两点，求证：为定值16已知椭圆：的一个焦点为,离心率为.（1）求的标准方程；（2）若动点为外一点,且到的两条切线相互垂直,求的轨迹的方程；（3）设的另一个焦点为,过上一点的切线与（2）所求轨迹交于点,求证：.