专题9.3双曲线的定义与性质（原卷版）.docx

1、9.3 双曲线的定义与性思维导图知识点总结1.双曲线定义：设F1，F2是平面内的两个定点，若平面内的点P满足|PF-PF2=2a02a0，b0焦点坐标左焦点F1-c，0，右焦点F2c，0焦距F1F2=2c，其中c叫做半焦距，且c2=a2+b2图形x-a或xa，yRy-a或ya，xR范围对称性关于x轴、y轴、原点对称实轴端点(顶点)(0，a)虚轴端点(b，0)实轴长2a，其中a叫做实半轴长虚轴长2b，其中b叫做虚半轴长渐近线y=bax离心率3.双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为_.典型例题分析考向一 双曲线的定义【例1】双曲线C：x24-y2=1的左、右焦点分别为F1

2、，F2，点P在双曲线上，且PF1=6，则PF2=_【变式】双曲线x24-y25=1的左焦点为F，A1，2，P为双曲线右支上一点，则PA+PF的最小值为_考向二 双曲线的标准方程【例2】若方程x2m+y22-m=1表示双曲线，则实数m的取值范围为_【变式】双曲线x2-y2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则=_考向三 渐近线问题【例3】已知双曲线C：x26-y23=1，则C的右焦点的坐标为；点4，0到其渐近线的距离是_【变式1】(2021新高考卷)若双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为_【变式2】双曲线C与双曲线x22-y2=1有相同的渐近线，且过点2，2，则双曲线C的方

3、程为_考向四 离心率问题【例4】(2021-全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF2=60，PF1=3PF2，则C的离心率为( )A.72B.132C.7D.13【变式】已知双曲线x2a2-y2b2=1a0，b0的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点，且AB=AF1，cosAF1B=14，则双曲线的离心率为( )A.52B.3C.2D.5考向五 焦点三角形面积问题【例5】变式设Fc，0是双曲线x2a2-y2b2=1a0，b0的右焦点，过原点O的直线与双曲线交于A，B两点，且AFBF，且ABF的周长为4a+2c，则该双曲线的离心率为

4、( )A.32B.52C.103D.102【变式】已知双曲线C：x2a2-y24=1a0的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，且PF1PF2，则PF1F2的面积为_考向六 直线与双曲线综合问题【例6】已知A，B是双曲线C：x22-y23=1上的两点，线段AB的中点是M2，1，则直线AB的方程为_变式已知双曲线C：x2-y2=1，过点Pm，1m0的直线l与双曲线C交于A、B两点，若P为线段AB的中点，则m的取值范围是_基础题型训练_一、单选题1与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程是ABCD2若双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（）ABCD23双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，

5、则它的渐近线方程为（）ABCD4已知，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且其外接圆的半径为，则该双曲线的渐近线方程为（）ABCD5过原点的直线与双曲线：（，）相交于不同的两点，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线的斜率为（）ABCD6在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（）ABCD二、多选题7已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（）ABCD8已知双曲线经过点，则（）A的实轴长为B的焦距为C的离心率为D的渐近线方程是三、填空题9焦点在轴上，虚轴长

6、为，且离心率的双曲线的标准方程为 10已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积为 ；11过点与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是 .12从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，且交双曲线的右支于点，若点满足，则双曲线的离心率为 四、解答题13已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线过点和，求双曲线的标准方程.14已知双曲线C：（1）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；（2）求与C有公共的焦点，且过点的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程15在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.求的方程；16已知为坐标原点，双曲线（，）的

7、左、右焦点分别为，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求面积的最小值提升题型训练一、单选题1双曲线的实轴长为（）A2B4CD2已知是双曲线 的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60的直线l与双曲线C的一个交点，且 则双曲线C的离心率为（）A2BCD3已知双曲线的左焦点为，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）ABCD4已知双曲线的上、下焦点分别为，若存在点，使得，则实数的取值范围为（）ABCD5已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（）ABCD6已知，分别为双曲线的左、右焦点

8、，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（）AB4C2D二、多选题7设分别是双曲线的左右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（）AB当时，的离心率是C的取值范围是D到渐近线的距离随着的增大而增大8已知椭圆过双曲线的焦点，的焦点恰为的顶点，与的交点按逆时针方向分别为，为坐标原点，则（）A的离心率为B的右焦点到的一条渐近线的距离为C点到的两顶点的距离之和等于D四边形的面积为三、填空题9以为渐近线且经过点的双曲线方程为 10已知定点，且，动点满足，则的最小值是 .11P是非等轴双曲线上的一点，分别是双曲线C左右焦点，若，则双曲线C的渐近线方程是 .12已知双曲线方程是，过的直

9、线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是 .四、解答题13求满足下列条件的曲线标准方程：(1)两焦点分别为，且经过点的椭圆标准方程；(2)与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.14已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.15在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求点的轨迹方程；(2)曲线上一点N，点A、B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，求面积的取值范围.16已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求面积的最小值