专题卷01空间向量与立体几何— 章节重难点突破卷（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题卷01 空间向量与立体几何测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1下列说法正确的是A若为异面直线，外任意一点，则过点有且仅有一条直线与，都平行B若异面直线，分别与，所在的平面，相交，则交线至少与，中的一条相交C若平面平面，且平面平面，则D若直线与平面相交但不垂直，则，不可能垂直【解答】解：对于为异面直线，外任意一点，则过点不存在直线与，都平行，故错误；对于：若异面直线，分别与，所在的平面，相交，则交线至少与，中的一条相交，故正确；对于：平面平面，且平面平面，则平面与平面可能相交也可能平行，故错误；对于：如图所示：，则直线与平

2、面相交但不垂直，则，可能垂直，故错误故选：2在正方体中，点为线段上一点，当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值为ABCD【解答】解：将正方体中的正沿翻折至与点共面，如图所示，因为，所以当为线段的中点时，最小值连接，在正方体中，平面，可得，所以直线与平面所成角为设正方体的棱长为，则，又点为的中点，所以，故选：3已知动点在正方体的对角线（不含端点）上设，若为钝角，则实数的取值范围为ABC，D，【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则有，0，1，1，0，1，设，0，1，由图知不是平角，为钝角等价于，解得的取值范围是，故选：4如图，在四面体中，、分别是、的中点，若与所

3、成的角的大小为，则和所成的角的大小为ABC或D或【解答】解：取中点，连结、，在四面体中，、分别是、的中点，是与所成的角（或所成角的补角），与所成的角的大小为，或，和所成的角为，或，和所成的角的大小为或故选：5在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是ABCD【解答】解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，0，2，2，2，2，设，在正方体中，因为平面，所以，又，所以平面，即是平面 的法向量，则，因为，所以故选：6已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为ABCD【解答】解：长方体的高，当最大时，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，设平面

4、的法向量，则，取，得，平面的法向量，0，设二面角的平面角为，结合图形得为钝角，则二面角的余弦值为故选：7长方体，点在长方体的侧面上运动，则二面角的平面角正切值的取值范围是ABCD【解答】解：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设点，1，1，0，0，所以，因为，则，故点在平面上的轨迹为由点到的四等分点（靠近点）的一条线段，点在点到的四等分点（靠近点）移动的过程中，二面角逐渐增大，所以当点与点重合时，二面角最小，此时正切值为0，当点在的四等分点（靠近点）时，二面角最大，因为平面，又平面，所以，又，所以即为二面角的平面角，则综上可得，二面角的平面角正切值的取值范围是故选：8如图，在棱长为1的正

5、方体中，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是正方体的顶点，则的最小值是ABCD【解答】解：如图，分别以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，0，1，0，1，设，1，则，1，连结，正方体中，是正方形，平面，又，平面，平面，又，1，设，则，即，当时，的最小值是故选：二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9如图，在正方体中，点在线段运动，则A三棱锥的体积为定值B异面直线与所成的角的取值范围为，C直线与平面所成角的正弦值的最大值为D过作直线，则【解答】解：在中，平面，平面，平面

6、，点在线段上运动，到平面的距离为定值，又的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故正确；在中，异面直线与所成角的取值范围是，故错误；在中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，1，则，0，0，1，0，1，0，设平面的法向量，取，得，1，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故正确在中，过作直线，则，故正确故选：10已知正四棱锥的体积为，底面边长为2，则A该四棱锥的侧面积为B棱与垂直C平面与平面垂直D二面角的余弦值为【解答】解：由题意得正四棱锥的底面积，根据棱锥的体积公式得：正四棱锥的高正四棱锥的底面边长为2，侧棱在底面的射影为侧棱，该四

7、棱锥的侧面积，故正确；，棱与垂直，故正确；设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，0，0，设平面的法向量，则，取，得，1，设平面的法向量，则，取，得，1，平面与平面不垂直，故错误；对于，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，1，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为：，故正确故选：11如图，正三棱柱的侧面是边长为2的正方形、分别是、的中点，则下列结论成立的是A直线与直线是异面直线B直线与平面不平行C直线与直线所成角的余弦值等于D直线与平面所成角的正弦值等于【解答】解：在中，平面，平面，由异面直线判定定理得直线与直线是异面直线，故正确；在中，由题意知正三棱柱的所有

8、棱长都为2，是边长为2的正三角形，且，且，平面平面，平面平面，平面，取中点，连结，则在正方形中，以为坐标原点，直线、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，则，0，0，0，0，2，2，1，则，0，2，1，根据向量共面定理，可知与、共面，平面，平面，故错误；在中，0，直线与直线所成角的余弦值为：，故正确；在中，1，平面的法向量，0，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：，故错误故选：12已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点在四边形内（包括边界）运动，则下列说法正确的是A若是线段上，则三棱锥的体积为定值B若在线段上，则与所成角的取值范围为C若平面，则点的轨迹的长度为D若，则与平

9、面所成角正切值的最大值为【解答】解：对于，如图1所示：因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；所以到平面的距离为定值又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，选项正确；对于，正方体中，所以与所成的角为与所成的角，连接、，如图2所示：则是正三角形，所以与所成角的取值范围是，选项错误；对于：如图3所示：取、的中点、，连接、，易证明，平面，平面，所以平面；，平面，平面，所以平面；又，所以平面平面，又平面，所以平面；所以点的轨迹是线段又，所以点的轨迹的长度为，选项正确；对于，若，则点在以为直径的球面上，且球面被平面所截的截面圆直径是，如图4所示：设，与平面所成角正切值的最大值为，

10、所以正确故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13在二面角中，直线，分别在两个半平面内，且都垂直于，已知，若，则向量与所成的角为【解答】解：根据题意，设向量与所成的角为，则有，则有，又由，且，则有，解可得，则；故答案为：14如图，在正方体中，点，分别是，的中点，给出下列5个推断：平面；平面；平面；平面平面；平面平面其中推断正确的序号是【解答】解：在正方体中，点，分别是，的中点，如图所示：对于：由于平面，平面平面，所以平面，故正确；对于：由于平面，且，故与平面不平行，故错误；对于：，平面，不在平面内，所以平面；故正确；对于：由于，点在平面内，所以平面平面；明显错误，故错误；对于：由

11、于，故平面平面；故正确；故答案为：15在边长为2的正方体中，分别为，的中点，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为，【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，2，0，设，0，则，当时，线段长度取最小值为当时时，线段长度取最大值线段的长度的取值范围为，故答案为：，16正方体的棱上到直线与的距离相等的点有4个，其中3个点分别为，如图所示，则直线与平面所成角的正切值为 【解答】解：正方体的棱上到直线与的距离相等的点分别为：，的中点，的靠近的四等分点，假设的中点为，的靠近的四等分点为，以为原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则，2，2，0，

12、0，2，0，2，2，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正切值故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图所示，四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（1）证明：；（2）设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值【解答】证明：（1）取中点，连结，则，由已知条件，得平面，如图，建立空间直角坐标系，则，0，0，则，解：（2）作，垂足为，连结，由平面，得，是二面角的平面角，在中，在等腰中，二面角的余弦值为18如图（1），在直角梯形中，为的中点，四边形为正方形，将沿折起，使点到达点，如图（2），为的中点，且，点为线段上的一点（1）

13、证明：；（2）当与夹角最小时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【解答】解：由为正方形，得，为的中点，即设，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示，则，0，0，0，1，1，（1）点在线段上，设，又，又，又，又，即，（2）由（1）知，当时，最大，最小，此时由题知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，即，取，得，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为19九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，为棱的中点，为棱上一点，连接，（）求证：平面；（）若，连接，判断四面体是否为鳖臑、若是，写出其每个面的直角；若不是

14、，写出其不是直角三角形的面；（）延长，交于点，连接，若二面角的大小为，求【解答】解：（）证明：因为底面，所以，由地面为长方形，有，而，所以平面而平面，所以，又，点是的中点，所以而，所以平面；（）由（）可知，而平面，所以又，所以平面由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，（）由题意可知，以为坐标原点，射线，射线，射线分别为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，则，由题意可知，二面角即为平面与平面所成的角，则，0，2，0，1，设，则，所以，即，则，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，又平面的法向量为，因此，整理得，解得，所以20如图所示，四棱柱的

15、底面是菱形，侧棱垂直于底面，点，分别在棱，上，且满足，平面与平面的交线为（1）证明：直线平面；（2）已知，设与平面所成的角为，求的取值范围【解答】（1）证明：如图示：连接与交于点，由条件可知，且，平面，平面，平面平面，故，四棱柱的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，故，又，故平面，平面，（2）解：如图示：以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向建立空间坐标系，设，则，故，0，1，1，由（1）可知，1，是平面的一个法向量，而，1，故，当时，即，21如图，在四棱锥中，已知底面为等腰梯形，平面，（1）求与所成角的余弦值；（2）设是过点且与平行的一条直线，点在直线上，当与平面所成角的正弦值最大时，求线段的

16、长【解答】解：过点作直线，在上取点，连接，取中点，连接，由题意可建如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：，0，0，（1），设与所成角为，故与所成角的余弦值为（2）设长为，则，设平面法向量为，则，令，设与平面所成角大小为，则，设，解得，所以当达到最值时，即当与平面所成角的正弦值最大时，线段的长为22如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱上的点，（1）求证：平面平面；（2）若满足，求异面直线与所成角的余弦值；（3）若二面角大小为，求的长【解答】（1）证明：，为的中点，四边形为平行四边形，（1分），即又平面平面且平面平面，（2分）平面（3分）平面，平面平面（4分）（2）解：，为的中点，平面平面，且平面平面，平面（5分）如图，以为原点建立空间直角坐标系则，0，0，由，且，得，（6分）设异面直线与所成角为，则（9分）异面直线与所成角的余弦值为（10分），（3）解：由（2）知平面的法向量为（11分）由且，得，又，平面法向量为（13分）二面角为，（15分）