专题强化练1 利用基本不等式求最值-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）.docx

1、第二章 一元二次函数、方程和不等式专题强化练1利用基本不等式求最值一、选择题1.已知实数a0,b0,1a+1+1b+1=1,则a+2b的最小值是 ()A.32 B.22C.3 D.22.若正数a,b满足1a+1b=1,则1a-1+4b-1的最小值为 ()A.3 B.4C.5 D.63.设ab0,则a2+1ab+1a(a-b)的最小值是 ()A.1 B.2C.3 D.44.设x,y都是正数,且xy-(x+y)=1,则 ()A.x+y2(2+1)B.xy2+1C.x+y(2+1)2D.xy2(2+1)5.若正数x,y满足x+y+15=1x+9y,且x+y1,则 ()A.x为定值,但y的值不确定B.

2、x不为定值,但y是定值C.x,y均为定值D.x,y的值均不确定6.已知x0,y0,2x-1x=8y-y,则2x+y的最小值为 ()A.2B.22C.32D.47.若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为 ()A.245 B.2C.285 D.5二、填空题8.已知正数x,y满足x+2y=2,则x+8yxy的最小值为.9.若实数a1,b2,且满足2a+b-6=0,则1a-1+2b-2的最小值为.10.若a,bR,且a2+2ab-3b2=1,则a2+b2的最小值为.三、解答题11.已知正数a,b满足a+b=4,求1a+1+1b+3的最小值.12.(1)设abc,且1

3、a-b+1b-cma-c恒成立,求m的取值范围;(2)记F=x+y-a(x+22xy),x0,y0,若对任意的x0,y0,恒有F0,请求出a的取值范围.答案全解全析一、选择题1.Ba0,b0,a+11,b+11.又1a+1+1b+1=1,a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=(a+1)+2(b+1)1a+1+1b+1-3=1+2(b+1)a+1+a+1b+1+2-322(b+1)a+1a+1b+1=22,当且仅当2(b+1)a+1=a+1b+1,即a=2,b=22时等号成立,故选B.2.Ba0,b0,1a+1b=1,a1,b1,a+b=ab,1a-10,4b-10,1a-1+4b-124(a

4、-1)(b-1)=24ab-(a+b)+1=4.当且仅当1a-1=4b-1,即a=32,b=3时,等号成立.故选B.3.Dab0,a-b0,a2+1ab+1a(a-b)=a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=a(a-b)+1a(a-b)+ab+1ab2a(a-b)1a(a-b)+2ab1ab=4,当且仅当a(a-b)=1a(a-b)且ab=1ab,即a=2b=2时,等号成立.故选D.4.Ax0,y0,且xy-(x+y)=1,xy=1+(x+y)1+2xy(当且仅当x=y=1+2时,等号成立),即(xy)2-2xy-10,解得xy1+2,即xy(1+2)2.xy=1+(x+y)(x+y)24

5、(当且仅当x=y=1+2时,等号成立),即(x+y)2-4(x+y)-40,解得x+y2(2+1).故选A.5.C由题得(x+y)1x+9y=1+9+yx+9xy1+9+2yx9xy=16,因为x+y1,所以x+y+15=1x+9y16且1x+9y16,故有x+y+15=1x+9y=16,解方程组x+y+15=16,1x+9y=16,得x=14,y=34,故x,y均为定值,故选C.6.C2x-1x=8y-y2x+y=1x+8y,要求2x+y的最小值可以先求(2x+y)2的最小值.(2x+y)2=(2x+y)(2x+y)=(2x+y)1x+8y=2+16xy+yx+8=10+16xy+yx216

6、xyyx+10=18当且仅当16xy=yx,即y=4x时等号成立,则2x+y18=32.7.Bx+3y=5xy,x0,y0,15y+35x=1,3x+4y=(3x+4y)15y+35x=135+3x5y+12y5x135+23x5y12y5x=5,当且仅当3x5y=12y5x,即x=2y=1时等号成立,此时x+2y=2.故选B.二、填空题8.答案9解析因为x,y为正数,且x+2y=2,所以x2+y=1,所以x+8yxy=1y+8xx2+y=x2y+8yx+52x2y8yx+5=9,当且仅当x=4y=43时,等号成立,所以x+8yxy的最小值为9.9.答案4解析a1,b2,且满足2a+b-6=0

7、,2(a-1)+b-2=2,a-10,b-20,则1a-1+2b-2=1a-1+2b-22(a-1)+b-212=124+b-2a-1+4(a-1)b-2124+2b-2a-14(a-1)b-2=12(4+4)=4,当且仅当b-2a-1=4(a-1)b-2,且2a+b-6=0,即a=32,b=3时,等号成立,则1a-1+2b-2的最小值为4.故答案为4.10.答案5+14解析由a2+2ab-3b2=1得(a+3b)(a-b)=1,令x=a+3b,y=a-b,则xy=1且a=x+3y4,b=x-y4,所以a2+b2=x+3y42+x-y42=x2+5y2+2xy825x2y2+2xy8=5+14

8、,当且仅当x2=5,y2=55时等号成立.故答案为5+14.三、解答题11.解析a+b=4,(a+1)+(b+3)=8,81a+1+1b+3=(a+1)+(b+3)1a+1+1b+3=b+3a+1+a+1b+3+22b+3a+1a+1b+3+2=4,1a+1+1b+312,当且仅当a+1=b+3且a+b=4,即a=3,b=1时,等号成立,1a+1+1b+3的最小值为12.12.解析(1)由abc,知a-b0,a-c0,所以原不等式等价于a-ca-b+a-cb-cm.要使原不等式恒成立,只需a-ca-b+a-cb-c的最小值不小于m即可.因为a-ca-b+a-cb-c=(a-b)+(b-c)a-b+(a-b)+(b-c)b-c=2+b-ca-b+a-bb-c2+2b-ca-ba-bb-c=4,当且仅当b-ca-b=a-bb-c,即2b=a+c时,等号成立,所以m4.(2)由F0,得x+ya(x+22xy).因为x0,y0,所以ax+yx+22xy恒成立,所以a小于或等于x+yx+22xy的最小值.又x+yx+22xyx+yx+(x+2y)=12,当且仅当x=2y时,等号成立,所以a12.