专题强化训练二 全等三角形中的辅助线与常考模型问题-2022-2023学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）.docx

1、专题强化训练二：全等三角形中的辅助线与常考模型问题题型一：连接两点做辅助线问题1已知等腰ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DEBC，交直线AC与点E，且BD=BC，CHAB，垂足为H（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明2已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作APM，BPN，并连接BM，AN（）如图1，当PMAP，PNBP且APMBPN90时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（）如图2，

2、当APM，BPN都是等边三角形时，（）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由（）在（）的条件下，连接AB得到图3，当PN2PM时，求PAB度数题型二：倍线中线模型问题3某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB6，AC8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DEAD，请补充完整证明“ABDECD”的推理过程(1)求证：ABDECD证明：延长AD到点E，使DEAD在ABD和ECD中ADED（已作）ADBEDC（ ）CD （中点定义）ABDECD（ ）(2)由

3、（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中【问题解决】如下图，中，AD是的中线，且，求AE的长4（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），延长AD到M，使得DMAD；连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在ABM中；利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为ABBMAMAB+BM，从而得

4、到AD的取值范围是 ；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明（3）深入思考：如图3，AD是ABC的中线，ABAE，ACAF，BAECAF90，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明题型三：旋转模型5问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系(1)延长FD到点G使DGBE，连接AG，得到至ADG，从而可以证明EFBEFD，请你利用图（1）证明上述结论(2)如图（2），四边形ABCD中，

5、ABAD，BD180，点E、F分别在边BC、CD上，则当EAF与BAD满足_数量关系时，仍有EFBEFD，并说明理由(3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知ABAD80米，B60，ADC120，BAD150，道路BC、CD上分别有景点E、F且AEAD，米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长6综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若MBN45，则MN，AM，CN的数量关系为 （2）如图2，在四边形ABCD中，BCAD，ABBC，A+C180，点M、N分别在AD、CD上，若MBNABC，试探索线段MN、AM、CN有

6、怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明（3）如图3，在四边形ABCD中，ABBC，ABC+ADC180，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若MBNABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 题型四：垂线模型7在ABC中，ACB90，ACBC，且ADMN于D，BEMN于E(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DEAD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）8如图，

7、已知中，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于 （1）证明：；（2）试说明：；（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由题型五：其它技巧模型9已知：和都是等腰直角三角形，连接、交于点，与交于点，与交于点（1）如图1，求证：；（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形10如图1，ABC和ABD中，BACABD90，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且ACAE，连接CE交直线AB于点G，过

8、点A作AFAD交直线CE于点F（）求证：AGEAFC；（）若ABAC，求证：ADAF+BD；（）如图2，若ABAC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系 专题训练精练一、单选题11如图，已知：，则（）ABC或D12如图：ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上，若AE3，AC6，则AD的长为（）A3B6C9D413如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，若AB5，AC3，则AD的取值范围是（）A2AD3B3AD5C1AD4D2AD814如图，已知是的平分线，若的面积为，则的面积（）ABCD15如图，在中

9、，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90后，得到，连接以下结论：；其中正确的是（）ABCD16如图所示，在RtABC中，ABAC，D、E是斜边BC上的两点，且DAE45，将ADC绕点A按顺时针方向旋转90后得到AFB，连接EF，有下列结论：BEDC；BAFDAC；FAEDAE；BFDC其中正确的有（）ABCD二、填空题17如图，AD是ABC中BC边上的中线，若AB6，AC8，则AD的取值范围是_18如图，在ABC中，ACB90，将ABC绕点A逆时针旋转到AEF，延长BC交EF于点D，若BD5，BC4，则DE_19（2016育才周测）如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O

10、，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQAD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60成立的结论有_并写出3对全等三角形_20如图，在平面直角坐标系中，以A（2，0），B（0，1）为顶点作等腰直角三角形ABC（其中ABC90，且点C落在第一象限），则点C关于y轴的对称点C的坐标为_21如图，线段AB=8cm，射线ANAB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得ACD与BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为_22如图， 是的角平分线，延长至点，使，若， 则_三、解答题23在中，是过A的一条直线，于点D，于E，（1）如图（1）所示

11、，若B，C在的异侧，易得与，的关系是_；（2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明；（3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明24如图1，在ABC中，BAC=90，AB=AC，ABC=ACB=45MN是经过点A的直线，BDMN于D，CEMN于E（1）求证：BD=AE（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G（如图2），其他条件不变，求证：BD=AE（3）在（2）的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3），连接GF，求证：1=225如图，RtACB中，ACB90，ACBC，E点为射线CB上一动点

12、，连结AE，作AFAE且AFAE（1）如图1，过F点作FDAC交AC于D点，求证：FDBC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG3，CG1，求证：E点为BC中点（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC4，BE3，则 （直接写出结果）26如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由27已知RtABC中，BAC=90，AB=AC，点E为ABC内一点，连接AE，CE，CEAE，过点B作BDAE，交AE的延长线于D（1）如图1，求证BD=AE；（2

13、）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DGFH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，FHM的面积为30，EHB=BHG，求线段EH的长28、是的边上两定点，是边上一动点，分别以、为边在上方同侧作正方形、正方形(1)如图，连接、求证：；当点在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出答案；若不存在，请说明理由；(2)如图，连接，当点在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请用直尺与圆规作出此时点的位置；若不存在，请说明理由29如图，CD是经过BC

14、A顶点C的一条直线，CACB，E、F分别是直线CD上两点，且(1)若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上如图1，若BCA90，则BE_CF如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件_，使中的结论仍然成立，并说明理由；(2)如图3若线CD经过BCA的外部，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由30我们知道两个全等的直角三角形（ABD和ACE）可以拼成一个等腰三角形（如图1），那么对其中一个直角三角形作适当改变又能得到什么结论呢？现在我们一起来探究吧(1)如图2，将ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC，求证：MBMC(

15、2)将CE向上平移，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC如图3，当CAE=BAD时，求证：MBMC；当CAEBAD时，在图4中补全相应的图形，并直接写出MB、MC的数量关系_参考答案：1（1）见详解；（2）图2：，图3：【分析】（1）在线段上截取，连接，证明，可得到，即可求解（2）当点在线段延长线上时，在的延长线上截取，连接，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得；当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得【详解】解：（1）证明：在线段上截取，连接，（2）当点在线段延长线上时，如图2：在的延长线上截取，连接，又，当点在线段延长线

16、上时，如图3：当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，且【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键2（1）BMAN，BMAN（2）结论成立.（3）90【分析】(1)根据已知条件可证MBPANP，得出MBAN，PANPMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BMAN；(2)根据所给条件可证MPBAPN，得出结论BMAN；(3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出APC为等边三角形，PACPCA60，再由CACB，进一步得出PAB的度数.【详解】解：（）结论：BMAN，BMAN理由：如图1中，MPAP，APMBP

17、N90，PBPN，MBPANP（SAS），MBAN延长MB交AN于点CMBPANP，PANPMB，PAN+PNA90，PMB+PNA90，MCN180PMBPNA90，BMAN（）结论成立理由：如图2中，APM，BPN，都是等边三角形APMBPN60MPBAPN120，又PMPA，PBPN，MPBAPN（SAS）MBAN（）如图3中，取PB的中点C，连接AC，ABAPM，PBN都是等边三角形APMBPN60，PBPN点C是PB的中点，且PN2PM，2PC2PA2PMPBPN，APC60，APC为等边三角形，PACPCA60，又CACB，CABABC30，PABPAC+CAB90【点睛】本题是一

18、道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.3(1)对顶角相等；BD；SAS(2)(3)【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明ABDECD；（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；（3）延长AD交EC的延长线于F，证明ABDFCD，ADEFDE，根据全等三角形的性质解答(1)延长AD到点E，使DEAD在ABD和ECD中ADED（已作）ADBEDC（对顶角相等）CDBD（中点定义）ABDECD（SAS）故答案为：对顶角相等；BD；S

19、AS(2)ABDECD ，AB6，AC8，故答案为；(3)延长AD交EC的延长线于F，在和中，又FDEADE90EDEDADEFDE，【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件4（1）1AD7；（2）ACBM，且ACBM，证明见解析；（3）EF2AD，证明见解析【分析】（1）延长AD到M，使得DMAD，连接BM，根据题意证明MDBADC，可知BMAC，在ABM中，根据ABBMAMAB+BM，即可；（2）由（1）知，MDBADC，可知MCAD，ACBM，进而可知ACBM；（3）延长AD到M，使得DMAD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已

20、知条件证明ABMEAF，进而可得AM2AD，由AMEF，即可求得AD与EF的数量关系【详解】（1）如图2，延长AD到M，使得DMAD，连接BM，AD是ABC的中线，BDCD，在MDB和ADC中，MDBADC（SAS），BMAC6，在ABM中，ABBMAMAB+BM，86AM8+6，2AM14，1AD7，故答案为：1AD7；（2）ACBM，且ACBM，理由是：由（1）知，MDBADC，MCAD，ACBM，ACBM；（3）EF2AD，理由：如图2，延长AD到M，使得DMAD，连接BM，由（1）知，BDMCDA（SAS），BMAC，ACAF，BMAF，由（2）知：ACBM，BAC+ABM180，BA

21、EFAC90，BAC+EAF180，ABMEAF，在ABM和EAF中，ABMEAF（SAS），AMEF，ADDM，AM2AD，AMEF，EF2AD，即：EF2AD【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键5(1)见解析(2)BAD2EAF，理由见解析(3)这条道路EF的长为米【分析】（1）先证明，得到AE=AG， BAEGAD， 从而证明GAF=EAF，可证得出EFGFGDDF即可；（2）仿照（1）的方法延长CB至M，使BMDF，则可通过的相同的方法证明ABMADF、EAFEAM，即可证出；（3）把ABE绕点A逆时针旋转至ADG，先通过证明BA

22、E是等边三角形得出BEAB，再利用（2）的结论得到，将BE、DF的值代入即可求出（1）解：延长FD到点G使DGBE，连接AG，如图（1）中，在正方形ABCD中，ABAD，BADADCB90，在ABE和ADG中，BAEGAD，AEAG，GADDAFBAEDAF904545，GAF=EAF=45，在AEF和AGF中，EFGFGDDFBEDF；（2）解：BAD2EAF，理由如下：如图（2），延长CB至M，使BMDF，连接AM，ABCD180，ABCABM180，DABM，在ABM和ADF中，ABMADF，AFAM，DAFBAM，BAD2EAF，DAFBAEBAMBAEEAF，EAFEAM，在EAF和

23、EAM中，EAFEAM，EFEMBEBMBEDF，即EFBEDF；（3）解：如图3，把ABE绕点A逆时针旋转150至ADG，连接AFBAD150，AEAD，BAE150-90=60，又B60，BAE是等边三角形，BEAB80，ADC=120，ADC+B=120+60=180，由（2）得，（米），即这条道路EF的长为米【点睛】本题考查了全等三角形，对于大角中等于其中包含的小角的2倍的问题，可利用题中旋转的方法补全三角形，再通过证明三角形全等的方法求解相关线段6（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析【分析】（1）把ABM绕点B顺时针旋转使AB

24、边与BC边重合，则AM=CM，BM=BM，A=BCM，ABM=MBC，可得到点M、C、N三点共线，再由MBN=45，可得MBN=MBN，从而证得NBMNBM，即可求解；（2）把ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM，BM=BM，A=BCM，ABM=MBC，由A+C180，可得点M、C、N三点共线，再由MBNABC，可得到MBN=MBN，从而证得NBMNBM，即可求解；（3）在NC上截取C M=AM，连接B M，由ABC+ADC180，可得BAM=C，再由ABBC，可证得ABMCB M，从而得到AM=C M，BM=B M，ABM=CB M，进而得到MA M=ABC，再由MBNA

25、BC，可得MBNMBN，从而得到NBMNBM，即可求解【详解】解：（1）如图，把ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM，BM=BM，A=BCM，ABM=MBC，在正方形ABCD中，A=BCD=ABC=90，AB=BC，BCM+BCD=180，点M、C、N三点共线，MBN=45，ABM+CBN=45，MBN=MBC+CBN=ABM+CBN=45，即MBN=MBN，BN=BN，NBMNBM，MN= MN，MN= MC+CN，MN= MC+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如图，把ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM，BM=BM，A=BCM，A

26、BM=MBC，A+C180，BCM+BCD=180，点M、C、N三点共线，MBNABC，ABM+CBN=ABCMBN，CBN+MBC =MBN，即MBN=MBN，BN=BN，NBMNBM，MN= MN，MN= MC+CN，MN= MC+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如图，在NC上截取C M=AM，连接B M，在四边形ABCD中，ABC+ADC180，C+BAD=180，BAM+BAD=180，BAM=C，ABBC，ABMCB M，AM=C M，BM=B M，ABM=CB M，MA M=ABC，MBNABC，MBNMA M=MBN，BN=BN，NBMNBM，MN= MN，M

27、N=CN-C M，MN=CN-AM故答案是：MN=CN-AM【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键7(1)证明见详解(2)DE+BE=AD理由见详解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）理由见详解.【分析】（1）根据题意由垂直得ADC=BEC=90，由同角的余角相等得：DAC=BCE，因此根据AAS可以证明ADCCEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知ACDCBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+

28、BE=AD；（3）由题意可知DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）证明的方法与（2）相同(1)证明：如图1，ADMN，BEMN，ADC=BEC=90，DAC+ACD=90，ACB=90，ACD+BCE=90，DAC=BCE，在ADC和CEB中，ADCCEB；DC=BE，AD=EC，DE=DC+EC，DE=BE+AD(2)解：DE+BE=AD理由如下：如图2，ACB=90，ACD+BCE=90又ADMN于点D，ACD+CAD=90，CAD=BCE在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），CD=BE，AD=CE，DE+BE=DE+CD=EC=

29、AD，即DE+BE=AD(3)解：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）理由如下：如图3，易证得ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CD-CE=BE-AD，即DE=BE-AD【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论8（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DECE 【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可；（2）根据（1）的结论，

30、进而可得；（3）方法同（1）证明，进而可得（4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得【详解】（1）证明：，又 ，又，（2） 解：，又，（3） 解：，又 ，又，（4） 解：理由如下：，又 ，又，又，【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键9（1）证明见解析；（2）ACBDCE，BCFDCG，AHFEHG，EHDAHB【分析】（1）根据SAS可证明ACDBCE，从而可知AD=BE；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形【详解】解：（1）ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，AC=BC，DC=EC，ACB+ACE=

31、DCE+ACE，BCE=ACD，在ACD与BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE；（2）ACBDCE，BCFDCG，AHFEHG，EHDAHB理由：AC=DC，ACB=DCE，AC=CD=EC=CB，ACBDCE（SAS）；由（1）可知：EBC=DAC，ADC=BEC，AHF=90，EBC=CEB=CDA，BCFDCG（ASA），CF=CG，AF=EG，AHF=EHG，FAH=HEG，AHFEHG（AAS），AH=EH，又DE=AB，RtEHDRtAHB（HL）【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定条件10（）见解析；（）见解析；（

32、）AFAD+BD【分析】（）先判断出ACFAEG，再用同角的余角相等判断出CAFEAG，即可得出结论；（）先用ASA判断出ACMABD，得出AMAD，CMBD，由（）知，AGEAFC，得出AGEAFC，再判断出CMAB，得出MCFAGC，进而判断出MFCM，即可得出结论；（）同（）的方法，即可得出结论【详解】解：（）ACAE，ACFAEG，AFAD，DAF90CAB，DAFFAGCABFAG，CAFEAG，在AGE和AFC中，AGEAFC（ASA）；（）如图1，过点C作CMAC，交AF延长线于点M，ACM90ABD，由（）知，CAFEAB，在ACM和ABD中，ACMABD（ASA），AMAD，

33、CMBD，由（）知，AGEAFC，AGEAFC，180AGE180AFC，AGCAFG，CFMAFG，AGCCFM，BAC90ACM，BAC+ACM180，CMAB，MCFAGC，CFMMCF，MFCM，AMAF+CM，ADAF+BD；（）ADAFBD；过点C作CMAC，交AF于点M，ACM90ABD，由（）知，CAFEAB，在ACM和ABD中，ACMABD（ASA），AMAD，CMBD，由（）知，AGEAFC，GF，BAC90ACM，CMAB，MCFG，FMCF，MFCM，AFAM+CMAD+BD，故答案为：AFAD+BD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证

34、明是解题的关键11B【分析】连接，可证，根据全等三角形对应角相等可以得到，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解【详解】连接，如图，在与中，故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键12A【分析】首先证明，再利用勾股定理即可求解【详解】如图连接BD， ，在中，在中，故选：A【点睛】本题主要考查三角形全等的证明和勾股定理，解题的关键是能通过已知的条件结合三角形全等的判定方法来证明三角形全等，结合垂直关系和边的等量代换运用勾股定理求边长13C【分析】如图，延长至 使再证明可得 再利用三角形的三边关系可得：从而可得答案.【详解

35、】解：如图，延长至 使 为的中线， 故选：C【点睛】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键.14C【分析】延长AP交BC于点C，根据题意，通过ASA判定，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出【详解】解：延长AP交BC于点C，如图所示，BP是的角平分线，在和中，,，和同底等高，故选C【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定15D【分析】根据旋转变换的性质判断；根据全等三角形的判定定理判断；根据SAS定理判断；根据全等三角形

36、的性质、三角形的三边关系判断【详解】解：ADC绕点A顺时针旋转90得AFB，ADCAFB，正确；EA与DA不一定相等，ABE与ACD不一定全等，错误；FAD90，DAE45，FAEDAE45，在AED和AEF中，AEDAEF，正确；ADCAFB，BFCD，BEBFDEBEDCDE，错误；故选：D【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键16C【分析】利用旋转性质可得ABFACD，根据全等三角形的性质一一判断即可【详解】解：ADC绕A顺时针旋转90后得到AFB，ABFACD，BAFCAD，AFAD，BFCD，故正确，

37、EAFBAF+BAECAD+BAEBACDAE904545DAE故正确无法判断BECD，故错误，故选：C【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型171AD7【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明ABD和ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，AD是BC边上的中线，BD=CD，在ABD和ECD中,，ABDECD(SAS)，CE=AB，AB=6，AC=8，8-6AE8+6，即22

38、AD14，1AD7，故答案为：1AD7【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键183【分析】如图，连接AD证明RtADFRtADC（HL），推出DFDC1，可得结论【详解】解：如图，连接AD在RtADF和RtADC中，RtADFRtADC（HL），DFDC，BD5，BC4，CDDF541，EFBC4，DEEFDF413故答案为：3【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型19 ACDBCE，BCQACP，CDPCEQ【分析】可证明ACDBCE,从而得出A

39、D=BE；可通过证明BCQACP，从而可证明PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQAE由中BCQACP，可证AP=BQ；通过证明CDPCEQ可得DP=EQ，又由图可知DEQE，从而错误；通过三角形外角定理和前面ACDBCE可得该结论由前面的证明过程可得出三个全等三角形【详解】解：ABC和DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，AC=BC，EC=DC，BCE=ACD=120ACDBCEAD=BE，故本选项正确；ACDBCE，CBQ=CAP，又PCQ=ACB=60，CB=AC，BCQACP，CQ=CP，又PCQ=60，PCQ为等边三角形，QPC=60=ACB，PQAE，

40、故本选项正确；由BCQACP可得AP=BQ，故本选项正确；ACDBCE，ADC=BEC，CD=CE，DCP=ECQ=60，CDPCEQ（ASA）DP=EQ，DEQEDEDP，故本选项错误；AOB=DAE+AEO=DAE+ADC=DCE=60，故本选项正确；正确的有：由上面证明过程可知ACDBCE，BCQACP，CDPCEQ故答案为：；ACDBCE，BCQACP，CDPCEQ【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60的特征判断三角形全等是解题关键20【分析】过点C向y轴，引垂线CD，利用OABDBC，确定DC

41、，DO的长度，即可确定点C的坐标，对称坐标自然确定.【详解】如图，过点C作CDy轴，垂足为D，ABC=90，DBC+OBA=90，OAB+OBA=90，DBC=OAB，AB=BC，BDC=AOB=90OABDBC，DC=OB，DB=OA，A（2，0），B（0，1）DC=OB=1，DB=OA=2，OD=3，点C（1,3），点C关于y轴的对称点坐标为（-1,3），故答案为：（-1,3）.【点睛】本题考查了点的坐标及其对称点坐标的确定，熟练分解点的坐标，利用三角形全等，把坐标转化为线段的长度计算是解题的关键.214cm.【分析】过点E作EFAN于F，先利用AAS证出ABCFCE，从而得出AB=FC=

42、8cm，AC=FE，然后利用AAS证出DCMEFM,从而求出CM的长.【详解】解：过点E作EFAN于F，如图所示ANAB，BCE和ACD为等腰直角三角形，BAC=BCE=ACD=CFE =90，BC=CE，AC=CDABC+ACB=90，FCE+ACB =90，ABC =FCE，在ABC和FCE中ABCFCEAB=FC=8cm，AC=FECD= FE在DCM和EFM中DCMEFMCM=FM=FC=4cm.故答案为：4cm.【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.22102【分析】在BC上截取BFAB，连DF，如图，先根据SAS证明ABDFBD，

43、得出DFDADE，ADBBDF60，A=BFD，进而可得EDCFDC，然后可根据SAS证明CDECDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案【详解】解：在BC上截取BFAB，连接DF，如图，BD是ABC的平分线，ABDFBD，BA=BF，ABDFBD，BD=BD，ABDFBD（SAS），DFDADE，ADBBDF60，A=BFD=78，FDC60，DFC=102，又EDCADB60，EDCFDC，DEDF，EDCFDC，DCDC，CDECDF（SAS），E=DFC=102；故答案为：102【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加辅助线、构造全等

44、三角形是解题的关键23（1）；（2），证明过程见解析；（3）【分析】（1）根据已知条件证明即可得解；（2）根据已知条件证明即可得解；（3）根据已知条件证明即可得解；【详解】（1）在和中，又，又，即；故答案是：；（2）答：；证明：于D，于E，在和中，（），；（3）于D，于E，在和中，（），；【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键24（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据同角的余角相等，可得，再由，可证得，即可求证；（2）根据同角的余角相等，可得，再由，可证得，即可求证；（3）过作交于，可得，再证明，可得，再证得，得到，即可求证【详解】证明：（1）

45、，；（2），；（3）过作交于，由（2）得：，的中点，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，根据题意得到全等三角形是解题的关键25（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或【分析】（1）证明AFDEAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；（2）作FDAC于D，证明FDGBCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；（3）过F作FDAG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可【详解】（1）证明：FDAC，FDA=90，DFA+DAF=90，同理，CAE+DAF=90，DFA=CAE，在AFD和EAC中，AF

46、DEAC（AAS），DF=AC，AC=BC，FD=BC；（2）作FDAC于D，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，在FDG和BCG中，FDGBCG（AAS），DG=CG=1，AD=2，CE=2，BC=AC=AG+CG=4，E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FDAG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：ADFECA，GDFGCB，CG=GD，AD=CE=7，CG=DG=1.5，AG=CG+AC=5.5，同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，故答案为：或【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判

47、定定理和性质定理是解题的关键26（1）证明见解析；（2）；（3）；数量关系不变；理由见解析【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出BACPAQ60，ABAC，APAQ，再由SAS定理即可得出结论；（2）由APC=CAP，B=BAC，B+BAC+APC+CAP=180，得BAP=90，再结合，进而即可求解；（3）设CD与AP交于点O，由，得ACD=APD，结合AOC=DOP，三角形内角和定理，即可得到结论【详解】（1）证明：ABC与APD是等边三角形，BACPAD60，ABAC，APAD，BAPDAC，在ABP与ACD中，（SAS）；（2），APC=CAP，ABC是等边三角形，B=BAC=60，

48、又B+BAC+APC+CAP=180，BAC+CAP=180=90，即：BAP=90，APB=90-60=30，ADC=APB=30，APD是等边三角形，=60-ADC=60-30=30；（3）=，随着点位置的变化，与的数量关系不会发生变化，理由如下：设CD与AP交于点O，ACD=ABP=60，APD=60，ACD=APD，又AOC=DOP，AOC+ACD+PAC=180，DOP+APD+PDC=180，=【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键27（1）见解析；（2）EDH45；（3）EH10【分析】（1）根据

49、全等三角形的判定得出CAEABD，进而利用全等三角形的性质得出AEBD即可；（2）根据全等三角形的判定得出AEHBDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点M作MSFH于点S，过点E作ERFH，交HF的延长线于点R，过点E作ETBC，根据全等三角形判定和性质解答即可【详解】证明：（1）CEAE，BDAE，AECADB90，BAC90，ACE+CAECAE+BAD90，ACEBAD，在CAE与ABD中CAEABD（AAS），AEBD；（2）连接AHABAC，BHCH，BAH，AHB90，ABHBAH45，AHBH，EAHBAHBAD45BAD，DBH180ADBBADABH45BAD，E

50、AHDBH，在AEH与BDH中AEHBDH（SAS），EHDH，AHEBHD，AHE+EHBBHD+EHB90即EHD90，EDHDEH；（3）过点M作MSFH于点S，过点E作ERFH，交HF的延长线于点R，过点E作ETBC，交HR的延长线于点TDGFH，ERFH，DGHERH90，HDG+DHG90DHE90，EHR+DHG90，HDGHER在DHG与HER中 DHGHER （AAS），HGER，ETBC，ETFBHG，EHBHET，ETFFHM，EHBBHG，HETETF，HEHT，在EFT与MFH中，EFTMFH（AAS），HFFT，ERMS，HGERMS，设GH6k，FH5k，则HGE

51、RMS6k，k，FH5，HEHT2HF10【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题28(1)见解析；存在，(2)存在，见解析【分析】（1）证明，推出即可；存在，设交于点，交于点，过点作于点，根据垂线段最短可知，当点于重合时，的值最小；（2）在上取一点，使，证明，推出，推出点在射线上运动，作于，当点与重合时，的值最小，连接，以为圆心，以为半径作弧，交于点，当点与重合时，的值最小（1）证明：四边形、四边形是正方形，0，即存在，理由：如下图，设交于点，交于点，过点作于点，根据垂线段最短可知，当点于重合时，的值最小

52、，最小为，的最小值为（2）解：如下图，在上取一点，使，点在射线上运动，作于，当点与重合时，的值最小，连接，以为圆心，以为半径作弧，交于点，当点与重合时，的值最小，故点即为所求【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题关键是正确寻找全等三角形29(1)BECF；，理由见解析(2)EFBEAF，理由见解析【分析】（1）由BCA=90，BEC=CFA=90，可得CBE=ACF，从而可证BCECAF，故BE=CF若BE=CF，则可使得BCECAF根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，BCECAF便可得证（2）题干已知条件可证BCECAF，故BE=CF，EC

53、=FA，从而可证明EF=BE+AF（1）BEC=CFA=90，BCE+CBE=180-BEC=90又BCA=BCE+ACF=90，CBE=ACF在BCE和CAF中， BCECAF（AAS）BE=CF+BCA=180，理由如下：BEC=CFA=，BEF=180-BEC=180-又BEF=EBC+BCE，EBC+BCE=180-又+BCA=180，BCA=180-BCA=BCE+ACF=180-EBC=FCA在BCE和CAF中，BCECAF（AAS）BE=CF故答案为：BECF；（2）EF=BE+AF，理由如下：BCA=，BCE+ACF=180-BCA=180-又BEC=，EBC+BCE=180-

54、BEC=180-EBC=FCA在BEC和CFA中，BECCFA（AAS）BE=CF，EC=FAEF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键30(1)见解析(2)见解析；补全图形见解析，MBMC【分析】（1）根据三角形SAS判定定理证明三角形BDMCEM，证得MBMC（2）先根据三角形ASA判定定理证明ECMDFM，再证明BFM是等边三角形，证得MBMFMC；根据图4直接写出MBMC（1）如图2，依题意可知：ADBAEC，BD=CE，AD=AE，ADEAED，ADBADEAECAED，即：MDBMEC， M是DE的中点，MDME，在BDM和CEM中，BDMCEM（SAS），MBMC；（2）如图3，延长CM交BD于点FACAB，BDAB，ECDF，CEMFDM， 在ECM和DFM中，ECMDFM（ASA），CMFM， BCM30，BFM60，BFCFFM，BFM是等边三角形，MBMFMC 补全图形如图4，MBMC