专题突破卷12 解三角形中的最值范围问题（解析版）.docx

1、专题突破卷12 解三角形中的最值范围问题 1.角与对边型（基本不等式法）1在，这三个条件中任选一个补充在横线上，回答下面问题.在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若_.(1)求A的值；(2)若边长，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，（2）由余弦定理结合基本不等式即可求解.【详解】（1）若选：由及正弦定理有：，由于，所以，由于，即所以所以；若选：，由正弦定理得，即，又，所以；若选：，由正弦定理得，即，由于，所以；（2）由余弦定理得：，即，当且仅当时等号成立，则，则面积的最大值为2的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2

2、)求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）运用正弦定理结合条件求解即得；（2）运用余弦定理和基本不等式求解.【详解】（1）由正弦定理，可知，整理得，因为，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，又，所以；（2）由余弦定理，得，所以，则，所以，当且仅当“”时取得等号，所以周长的最大值为；综上，周长的最大值为.3在中，角的对边分别为，.(1)若，求的面积；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换与同角基本关系可求得，结合已知与面积公式即可求解；（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可得到答案.【详

3、解】（1）因为，由正弦定理，可得，又由，可得，所以，所以，即，因为，可得，所以，即，又因为，所以，所以的面积为.（2）由（1）可知，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故周长的取值范围为.4在中，角，所对的边分别为，且，.(1)求外接圆的半径；(2)求的取值范围.【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理求出外接圆的半径；（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由三边关系求出的范围.【详解】（1）因为，由正弦定理得，且，所以，因为，所以，所以，又，所以，又，所以，即外接圆的半径为.（2）由余弦定理得，因为，当且

4、仅当时取等号，所以，即，所以，当且仅当时取等号，且，所以.5在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.(1)求角A；(2)若，求ABC的面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行边化角即可得到答案；（2）利用余弦定理和基本不等式即可求出的最大值，最后利用三角形面积公式即可.【详解】（1）在中，由条件及正弦定理得，.（2），由余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以的面积的最大值为.6在中，分别为内角所对的边，若，(1)求的面积；(2)求的最小值【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出，然后由三角形的面积公式求解；（2）结合（1）

5、中推出的条件和基本不等式进行求解.【详解】（1）由余弦定理，结合可得，整理可得，根据三角形的面积公式，.（2）由（1）知，根据基本不等式，当时，的最小值是.2.角与对边型（三角函数法）7在中，内角，所对的边分别，若有且仅有一个解，则的取值范围是 .【答案】【分析】根据正弦定理可得，据此可求的取值范围.【详解】由正弦定理可得因此有且仅有一个解，故直线与在上的图象有且仅有一个交点，当时，而在为增函数，故在上为增函数，因，故，故答案为：.8三内角，所对边分别是，.若，则的最大值为（）ABCD【答案】C【分析】由已知及余弦定理可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.【

6、详解】因为，由余弦定理，又，故，由正弦定理知：，则，所以，而，则，且，又，当时的最大值为.故选：C9已知锐角的内角，的对边分别为，且(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用诱导公式及正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式化简即可得解；（2）先利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）由，即，得，由正弦定理可得，即，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以；（2）由正弦定理，所以，因为为锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以的取值范围为.10已知函数.(1)若，求函数的值域；(2)设三角形中，内角、所对边分别为、，

7、已知，且锐角满足，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；（2）由已知条件可得出，结合角的取值范围可得出角的值，利用余弦定理结合基本不等式可得出的最大值，再结合三角形三边关系即可得出的取值范围.【详解】（1）解：，当时，则，故，当时，函数的值域为.（2）解：因为，可得，因为，则，所以，解得，因为，由余弦定理可得，可得，当且仅当时，等号成立，又因为，故，故的取值范围是.11已知函数(1)求的最小正周期和对称中心；(2)已知锐角的三个角的对边分别为，若，求周长的最大值【答案】(1)的最小正周期为

8、，对称中心为.(2)【分析】（1）化简，根据正弦函数的最小正周期公式和对称中心可求出结果；（2）由，为锐角得，根据的范围求出的最大值后可得周长的最大值.【详解】（1）.的最小正周期为，令，得，所以的对称中心为.（2）由，得，因为为锐角三角形，所以，所以，.因为，所以，同理得，所以，因为，且，所以，所以，所以当，即时，取得最大值为，从而取得最大值为.即周长的最大值为.12在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D(1)若，求AD的长度；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一：由关系，结合面积公式列方程求解；方法二：由角平

9、分线性质和三角形面积公式证明，再由向量线性运算可得，两边平方结合数量积的性质可求AD的长度；（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论.【详解】（1）方法一：因为为的角平分线，所以，因为所以，所以.法二：设三角形的边上的高为，因为为的角平分线所以，所以， 所以，所以.因为，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，所以，又，则，又所以，又，则.在中，由正弦定理得，所以因为是锐角三角形，所以，于是，所以，所以，从而，所以三角形周长的取值范围为.3.有角无边型（三角函数法）13在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b

10、，c，已知，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可.【详解】因为，所以由正弦定理得：,即，所以，即，又，所以.因为锐角三角形ABC，所以，即，解得.令，因为，所以，则在单调递减，所以.故选：C.14在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得，进而求得，再把化为，结合即可求解.【详解】 ，, 即 ， ，.故选：A.15在锐角三角形中，其内角所对的边分别为，且满足.(1)求证：；(2)求的取值范围【答案】(1)证

11、明见解析(2)【分析】（1）先利用倍角公式得到，再利用正弦定理与余弦定理的边角变换得到，再利用锐角三角形排除即可得证；（2）结合（1）中结论得到，从而将问题转化为，进而利用角的取值范围与对勾函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，所以，整理得，若，即，则，所以，即，故，与是锐角三角形矛盾，故，所以.（2）因为，所以，又，所以，故，又因为，所以，因为对勾函数在上单调递增，的取值范围为16在中，内角，的对边分别为，已知.(1)若，求，；(2)求的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合两角差的正弦公式、二倍角公式得到，即可得到，结合

12、三角形内角和求出，；（2）由（1）可得，即可求出的取值范围，由正弦定理将边化角，由三角恒等变换公式化简转化为的三角函数，结合函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，所以，所以，所以，又，则，所以或，若，又且，解得，若，则，显然不符合题意，故舍去，所以，.（2）由（1）可知，又，所以，所以，由正弦定理可得，令，则，令，显然在上单调递增，又，所以，即的取值范围为.17在锐角中，角，的对边分别为，且，则的最大值为 【答案】【分析】利用正弦定理边化角，即可得到，从而得到，再由正弦定理将转化为关于的三角函数，结合的取值范围及余弦函数、二次函数的性质计算可得.【详解】因为，所以，由正

13、弦定理可得，即，由为锐角三角形得，解得，因为，所以，所以当时，取得最大值故答案为：18在锐角中，内角，所对的边分别为，若，则的取值范围为 .【答案】【分析】由正弦定理将边角互化，结合余弦定理及两角和差的正弦公式得到，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.【详解】因为，由正弦定理可得，由余弦定理，所以，即，由正弦定理可得，所以，即，所以，因为，所以，所以，即，所以，由为锐角三角形，所以，可得，所以，由正弦定理得，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题关键是通过边角互化得到，从而得到，最后由正弦定理将式子转化为角的三角函数，结合余弦函数的

14、性质计算可得.4.角与邻边型（三角函数法）19在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则c的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】根据锐角可确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，结合正弦函数性质即可求得答案.【详解】在锐角中， ，,故，则，则由正弦定理可得，故选：C【点睛】关键点睛：本题难度并不大，解答的关键是根据三角形为锐角三角形要确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，即可求得答案.20在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1)求A；(2)若，求a的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求得角A；（2）由正弦定理结合三角恒等变换把用表示，

15、代入可得，进而可得，结合三角函数性质可得结论【详解】（1）因为，由正弦定理可得，且，则，则，整理得，且，则，所以，解得.（2）设的外接圆半径为，因为，可得，又因为，可得，所以，又因为，则，可得，则，所以a的取值范围.21已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足.(1)求角A的大小；(2)若，求周长的范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用诱导公式以及同角的三角函数关系结合正弦定理边化角化简，求值可得答案；（2）由正弦定理表示出，利用三角恒等变换化简可得，求出角B范围，结合正切函数性质，即可求得答案.【详解】（1）在中，由，得，则，又，.（2）由正弦定理结合

16、得，,即,则，因为为锐角三角形，故，故，而，即，故，故，即周长的范围为.22已知锐角的内角所对的边分别为，向量，且.(1)求角的值；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直的坐标形式结合三角变换可得，故可求.（2）利用正弦定理结合三角变换公式可得，据此可求周长的取值范围.【详解】（1）因为，故，整理得到：，故，而，故，所以，而，故.（2）,因为为锐角三角形，故，故，所以，故，所以，故周长的取值范围为.23的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理结合得到，利

17、用辅助角公式得到，结合角的范围得到；（2）法一：由（1）中，结合三角形面积公式得到，由正弦定理求出，得到面积的取值范围；法二：由余弦定理得到，结合三角形为锐角三角形得到，从而求出，求出面积的取值范围.【详解】（1）由正弦定理可得：，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，即；（2）法一：由及（1）知的面积.由正弦定理得.由于为锐角三角形，故，.由（1）知，所以，因为在上单调递增，故，故，故，从而.因此面积的取值范围是；法二：因为，由余弦定理得，即，故，为锐角三角形，则，即，由得，解得，由得，解得或（舍去），综上，所以.24已知锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c请从

18、条件、条件中选择一个条件作为已知，求：(1)A的度数：(2)若c1，求ABC面积的取值范围条件：；条件：ABC的面积【答案】(1)选均为(2)【分析】（1）选，利用正弦定理和，辅助角公式得到，由的范围求出答案；选，由面积公式和余弦定理得到，结合的范围求出答案；（2）由正弦定理和面积公式可得，因为为锐角三角形，从而得到，求出答案.【详解】（1）选择条件：由正弦定理得，所以，因为sinC0，所以，所以，又，所以，选择条件：由面积公式得，由余弦定理得，所以，所以，又，所以.（2）由正弦定理得，由面积公式可得，因为为锐角三角形，故，得，所以，所以的取值范围为.1已知锐角中角，所对边的长分别为，且，则的

19、取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】根据已知边化角求得，然后根据已知得出.根据两角差的余弦公式以及两角差的正弦公式，化简得出，进而根据三角函数的范围，即可得出答案.【详解】由边化角可得，.因为，所以.因为为锐角三角形，所以，所以，由可得，.因为，又，所以，所以，.故选：C.【点睛】思路点睛：通过已知求出，然后消去，化简得出关于的三角函数，化简根据三角函数的范围，即可得出答案.2在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】利用正弦定理边化角可得，然后代入消去角A，利用正弦函数的性质可得.【详解】因为，所以由正弦定理可得：，即，因为为锐角

20、三角形，所以，所以，即，因为，所以，所以，所以，即.故选：B3在中，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】利用正弦定理边角化及三角形的内角和定理，结合两角的正弦公式及两角和的余弦公式，再利用余弦函数的性质即可求解.【详解】由及正弦定理，得，又,.又，,的取值范围为.故选：A.4已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C的大小;(2)若，且，求周长的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简得，可得C的大小；（2）由余弦定理把b，c边用a表示，利用基本不等式求周长的最小值.【详解】（1）因为，由正弦定理.由，得，所以，即.又，所以.（2）由（1）知

21、，则.因为，所以，则.的周长为.因为，所以，当且仅当时，等号成立.故周长的最小值为.5在中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)若的面积，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形性质可得答案；（2）根据面积公式得出，结合基本不等式可求答案.【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以.又因为，所以,因为，所以，又，故.（2）因为，所以，所以，由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，因为，所以的取值范围是.6在ABC中，(1)求C的大小；(2)已知，求ABC的面积的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）先把题给条件化为，再利用余弦定理即可求解C的值（2）先用基

22、本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可求得ABC的面积的最大值【详解】（1），又C（0，），C（2）（当且仅当时取等号）， 的最大值为7在中，内角的对边分别为，且.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边角变换与三角函数的和差公式求解即可；（2）法一：利用正弦定理边角变换与三角函数的和差公式，结合三角函数的性质即可得解；法二：利用余弦定理与基本不等式即可得解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，所以，又，所以，而，所以.（2）法一：因为，所以，因为，所以当，即时，的最大值为1，故的最小值为.法二：因为，所以，又因为，所以，所以，当且仅当时取等

23、号，则，故的最小值为.8在平面四边形中，点在直线的两侧，四个内角分别用表示，.(1)求；(2)求与的面积之和的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可求得，结合勾股定理可得结果；（2）设，利用可表示出，结合三角恒等变换知识化简得到，由正弦函数最值求法可求得结果.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，解得：，即，.（2）设，则，四点共圆，且为该圆的直径，在中，.，当，即时，故与的面积和的最大值为.9的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)若是锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差公式，得到，即可得证；（2）利用

24、正弦定理及题设条件，求得，结合为锐角三角形，求得的范围，即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理及，可得，因为，可得，所以,所以或，因为，所以，即.（2）解：由正弦定理且，可得，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以的取值范围是.10在锐角中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有，在下列条件中选择一个条件完成该题目：；.(1)求A的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）选，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角得正弦公式即可得解；选，利用余弦定理即可得解；选，利用正弦定理化边为角，再根据商数关系化切为弦及两角和得正弦公式即可得解；（2）先利用正弦定理求出，再根据三角恒

25、等变换结合三角函数即可得解.【详解】（1）选，因为，由正弦定理得，又，所以，因为，所以；选，因为，所以，又，所以；选，因为，由正弦定理得，即，则，则，又，所以，因为，所以；（2）由（1）得，因为，所以，则，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.11在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知得，然后利用两角和与差的正弦公式化简可求得结果；（2）由正弦定理表示出，则可得，再将代入化简变形可得，由为锐角三角形求出得，然后利用正切函数的性质求得结果.【详解】（1）由得：所以，所以，因为，

26、所以，又因为，所以；（2）在中，由正弦定理，得，同理得，所以可得：因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，因为，所以，得所以的取值范围为.12已知中，(1)求A的大小；(2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围，【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到，即可求出；（2）设，利用正弦定理表示出，设，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）在中，由正弦定理有，即，在中，由余弦定理，有，则，即，.（2）如图，设，则， 在中,根据正弦定理，有， 设， 又，所以在上单调递增，所以，即，所以的取值范围为13在中，角，所对的边分别为，.(1)求角；

27、(2)若外接圆的半径为，求面积的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值.（2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值.【详解】（1）由得，所以，又，所以，所以，因为，所以；（2）由外接圆的半径为，则得，由余弦定理得，即，所以，解得.所以，故面积的最大值为.14在中，角，的对边分别为，且.(1)若，求的值.(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对已知式子化简可得，再结合可求出的值；（2）由（1）可知，再利用余弦定理可得，

28、从而可求出的最大值.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，（2）由（1）可知，则，由余弦定理得，当且仅当时取等号，因为，所以，所以的最大值为.15在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若D为延长线上一点，且，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换化简求值即可；（2）分别在和中利用正弦定理表示出，进而表示出，根据为锐角三角形求出，从而求出的取值范围.【详解】（1）角A，B，C是的内角，故.在锐角中,由正弦定理得，即，所以，即，故，又，所以.（2）在中，在中，所以故.因为为锐角三角形，,所以，解得，所以，所以，从而.故的取值范围为.