专题突破卷15 三角形的“四心”及奔驰定理（原卷版）.docx

1、专题突破卷15三角形的“四心”及奔驰定理1.内心问题1已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（）A外心B内心C重心D垂心2已知点O是的内心，则（）ABC2D3三角形的四心是指三角形的重心外心内心垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心垂心内心外心四心合一，称作正三角形的中心.如图，是的垂心，分别交于，则是的（）A内心B外心C重心D垂心

2、4校考期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（）AB3CD45在中，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（）ABCD6设为的内心，则（）ABCD2.外心问题7 中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A外心B内心C垂心D重心8M为ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过ABC的（）A垂心B内心C外心D重心9已知点O为所在平面内一点，在中，满足，则点O为该三角形的（）A内心B外心C垂心D重心10在中，设，那么动点的轨迹必通过的（）A垂心B内心C重心D外心11已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一

3、定经过的_(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）12在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（）A外心B内心C重心D垂心3.垂心问题13（多选）已知，在所在的平面内，且满足，则下列结论正确的是（）A为的外心B为的垂心C为的内心D为的重心14（多选）已知为的垂心，面积为，则一定有（）ABCD15已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则_.16已知的垂心为点，面积为15，且，则_；若，则_.17若是内一点，且，则为的（）A垂心B重心C外心D内心4.重心问题18若是内一点，则是的（）A内心B外心C垂心D重心19已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A

4、内心B垂心C重心D边的中点20边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为_21已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（）A重心B外心C内心D垂心22O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心23O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（）A外心B垂心C内心D重心5.奔驰定理24设点在内部，且，则与的面积之比为_.25已知点A，B，C，P在同一平面内，则等于（）A143B194C245D29626已知是内的一点，若的面

5、积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（）ABCD27如图所示，点是内一点，若，且，则_.28（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，则.若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足.则（）A为的外心BCD29奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，则“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo

6、很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则必有（）ABCD1已知点O是边长为的等边ABC的内心，则_2已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心B内心C重心D垂心3在中，点D，E分别在线段，上，且D为中点，若，则直线经过的（）.A内心B外心C重心D垂心4在平行四边形中，为的重心，则_5设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是_6（多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（）A若，则为的重心B若，则为的内心C若为的重心，是边上的中线，则D若，则7已知点，在所在平面内，且，则点，依次是的（）A重心、外心

7、、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心8ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面ABC上一点，且满足abc，则G是ABC中的（）A内心B外心C重心D垂心9（多选）中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，O为其重心，分别是边a，b，c上的高若，则下列结论正确的是（）ABCD是钝角三角形10在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为ABC的重心，则、中正数的个数为n，则n的值的集合为（）ABCD11如图所示，已知点是的重心.(1)求；(2)若过的重心，且，求证：.12设点P在内且为的外心，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是_.13（多选）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（）A若是中点，则B若，则C与不共线D若，则