专题突破卷17 数列求和（解析版）.docx

1、专题突破卷17 数列求和1.分组求和法1已知正项数列的前n项和其中A，B，q为常数(1)若，求证：数列是等比数列；(2)在（1）的条件下，若，求数列的前10项和【答案】(1)证明见解析(2)1078【分析】（1）由的关系及等比数列的定义进行证明即可；（2）先由求得，又，即得，再由分组求和法求解即可.【详解】（1）因为，所以，当时，则，当时，也符合上式，所以，由正项数列，可得且，,又，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）因为数列为等比数列，由可得，又正项数列可得，则，又，则，所以.2已知等比数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)(2)【分析】（1）直接

2、利用等比数列的通项公式求解即可；（2）分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求出结果即可【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，得，解得，；（2）由（1）得，.3在数列中，(1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前n项和；【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由题意构造数列，再利用等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出，再由分组求和法求解.【详解】（1）因为，所以，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，所以.4已知数列中，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）利用等比数列的定义证明，

3、可得的通项公式，进而得数列的通项公式；（2）利用分组求和可求解.【详解】（1）由可得,即，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以.（2）.5已知数列和满足：，其中(1)求证：；(2)求数列的前项和【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知条件可推导出数列为常数列，数列为等比数列，求出这两个数列的通项公式，可求得数列的通项公式，即可证得成立；（2）由（1）可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.【详解】（1）证明：因为，可得，且，所以，数列为常数列，且，可得，且，所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，所以，可得，则，所以，.（2）解：由（1）可知，则.6已知为等

4、差数列的前项和，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前15项和【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的求和公式即可根据等差数列的性质求解，（2）根据分组求和，结合等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，且，（2）由（1）可知其中故的前15项和为2.并项求和法7已知数列的前项和为，则（）ABCD【答案】D【分析】根据数列的递推公式得到，然后求和即可求解.【详解】因为数列的前项和为，且，则，所以，依次类推，所以.故选：D.8已知数列满足，数列满足.(1)求的通项公式；(2)求的前20项和.【答案】(1)(2)110【分析】（1）利用退一作差法求得.（2）利用分组

5、求和法求得的前20项和.【详解】（1）因为，所以当时，两式相减得，又时，也符合.所以.（2）由（1）知，因为对任意的正整数，有，故数列的前20项和.9已知数列的前项和为，则（）A1012BC2023D【答案】D【分析】根据数列的通项公式，可求得，依此类推，即可求解.【详解】，故故.故选：D.10已知等比数列的前项和为，若.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列的求和公式进行基本量运算，可得数列的通项公式；（2）代入可得，再分的奇偶求和即可.【详解】（1）设的公比为，由题意可知，解得，代入可得，解得.所以数列的通项公式为.（2），故，11

6、记为等差数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前30项的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出和，可得通项公式；（2）先求出，再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.【详解】（1）设公差为，则，解得，所以.（2），所以，所以.12在等比数列中，且，成等差数列(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值【答案】(1)；(2)40或37【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.（2）由（1）的结论求出，再分奇偶求和作答.【详解】（1）设的公比为q，由，得，解得，由，成等差数列，得

7、，即，解得，所以数列的通项公式是（2）由（1）知，当k为偶数时，令，得；当k为奇数时，令，得，所以或37.3.奇偶数列求和13若数列满足，则称数列为“平方递推数列.已知数列中，点在函数的图象上，其中n为正整数，(1)证明:数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;(2)设，求数列的前10项和.【答案】(1)证明见解析(2)436【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；（2）求出表达式，再分段求前10项和即可.【详解】（1）点在函数的图象上，数列是“平方递推数列”，因为，对两边同时取对数得，数列是以1为首项、2为公比的等比数列；（2）由（1）知，所以所以.14设数列

8、的前项和为，已知.(1)证明：数列是等比数列；(2)若数列满足求数列的前20项的和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）直接利用递推关系和构造新数列的方法，求出数列是等比数列；（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和【详解】（1）数列的前项和为，已知，当时，解得，故，-得：，即，故，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得：，整理得.数列满足故且，当为偶数时，整理得，故15校考阶段练习）已知数列满足，数列为等比数列且公比，满足.(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，若，记数列满足求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比数列基本量的关

9、系可得公比，再进而可得为等差数列即可；（2）由得，再根据分组求和方法求解即可.【详解】（1）因为，令得，又数列为等比数列，设公比为有，而，解得，则，因此，即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）由知数列是公比为2的等比数列，由得，解得，则，因此，即有数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，所以16已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，(1)求数列，的通项公式；(2)令，求数列的前12项和【答案】(1)，(2)2796【分析】（1）由数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解

10、即可；（2）根据题意写出数列通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为，由题意可得，即，所以，因为，所以，所以，（2）由（1）可得，所以的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列所以，17设数列an的首项n=1，2，3，(1)判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；(2)当a=1时，求数列an的前2n项和S2n.【答案】(1)是，证明见解析(2)【分析】（1）根据题设条件，可得，由等比数列的定义可得结论；（2）先求出，再求出，两式相加即可得解【详解】（1）数列出是以a为首项，为公比的等

11、比数列，证明如下：又数列是为首项，为公比的等比数列（2）18已知数列满足， ，.(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，证明：数列为等差数列；(2)求数列的前50项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题设递推式可得，据此可得答案；（2）设为数列的偶数项组成的数列，由题可得数列是首项为2，公差为的等差数列，后由分组求和法可得答案.【详解】（1）由题，且，所以数列是首项为1，公差为的等差数列；（2）设为数列的偶数项组成的数列，注意到， 所以数列是首项为2，公差为的等差数列， 结合可知，的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，所以.4.倒序相加法19已知正数数列是公比不等于1的等比数列，

12、且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）A2022B4044C2023D4046【答案】D【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解.【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，所以，又函数，令，则，.故选：D.20已知函数关于点对称，其中为实数.(1)求实数的值；(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案；（2）根据倒序相加法，可得答案.【详解】（1）由题知，即，整理得，解得 ；（2）由题知，且，则，又，故，即.21记为等差数列的前项和(1)若，求数列的通项公式.(2)若，记为数列的前项和，求的值.【答案】(1

13、)(2)【分析】（1）根据为等差数列结合已知可求得公差，即可求得答案；（2）根据等差数列的性质推出，即得，由此利用倒序相加法即可求得答案.【详解】（1）由于数列为等差数列，设公差为d，故，从而可知，即，求得，则数列的通项公式为；（2）由于,故数列的前项和为，由于为等差数列，所以，所以，即，同理，得到，则由倒序相加法可知，即.22设，若，试求：（1） ；（2） 【答案】 1 500【分析】（1）代入求和化简，即可得出答案；（2）根据（1）的结论，可推得，倒序相加，即可得出答案.【详解】（1）因为，所以，.（2）由（1）可得，.所以，所以.故答案为：1；500.23已知函数，则 ；设数列满足，则此

14、数列的前2023项的和为 【答案】 【分析】由题意可知，即可根据此关系求出，因为，则，利用倒序相加法求和即可，【详解】解：已知，则：，所以，则，已知数列，数列的前2023项的和，且，两式相加，得，故答案为：；24在数列中，则的值是 .【答案】1005【分析】根据，即可倒序相加求解.【详解】由得，所以，所以,相加可得,故答案为：10055.错位相减法25设正项等比数列的前n项和为，且，(1)求数列的公比；(2)若，数列满足，求的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由条件得到关于公比的方程，求解即可得到结果；（2）由（1）可得，结合错位相减法求和即可.【详解】（1）设正项等比数列

15、的公比为，由，得，即，化简得，又，故，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知是以为首项，为公比的等比数列，所以，那么.所以，则，两式相减得，即.26已知数列的首项为，且满足，数列满足，且(1)求，的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据已知，利用累乘法、等差数列的通项公式进行计算求解.（2）根据已知，利用错位相减法计算求解.【详解】（1），当时，上式成立，又因为，所以，又，所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列，所以，所以（2）由（1），所以，所以得，所以所以.27已知正项数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项.【答案】(1)

16、(2)【分析】（1）利用对数运算、等比数列定义判断可得为等比数列，求出公比可得答案；（2）利用错位相减可得.【详解】（1）因为，所以，可得，所以为等比数列，设公比为，因为，所以，解得，所以；（2），所以，则，得，所以.28已知数列的前n项和为且 ，则数列的前项和为 .【答案】【分析】利用化简得到，再利用错位相减求和可得答案.【详解】由得，两式相减可得，故，因为，解得：，所以，故是以1为首项，为公比的等比数列，即，所以，设数列的前项和为，则，两式相减得：，所以.故答案为：.29已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用即可求出通项

17、公式；（2）求出，利用错位相减法求和.【详解】（1）当时，当时，因为，所以，得，即，所以，又因为，所以，所以，当时，是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.所以.（2）因为，所以，当时，当时，所以，所以，则数列的前项和为，当时，当时，得，所以.当时，也满足.故数列的前项和.6.裂项相消法30已知等差数列，其前项和满足为常数.(1)求及的通项公式；(2)记数列 ，求前项和的.【答案】(1)；(2)【分析】（1）计算出的值，根据等差中项的性质可列方程解出的值，再利用与的关系即可求解；（2）运用裂项相消法即可求解.【详解】（1）由题意，当时，当时，则，因为数列是等差数列，所以，即，解得，则，满足，所

18、以的通项公式为（2）由（1）可得，则，所以31已知等差数列的前项和为，.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，结合等差数列的通项公式可求得的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法可求得.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由已知得，解得，故.（2）解：，所以.32从；前项和满足，；中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列中，且_.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和，证明：.(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】(1)(2)证明见解析

19、.【分析】（1）选，利用等式变形得，可得；选，利用可得，可得；选先变形为后用累加法可得；（2），利用裂项相消法可得.【详解】（1）若选：当时，由得，整理得，因，故，故是以为首项以为公差的等差数列，所以；若选：当时，由得，两式相减得，整理得，因，故，故是以为首项以为公差的等差数列，所以；若选：由得，得，故当时，所以；又，满足，故.（2），故，因，当越大时，越大，故.33设，(1)求数列通项公式；(2)若数列，求数列的前n项和【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意，由递推关系可得为首项为2，公比为2的等比数列，即可得到其通项公式；（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）由题意

20、可得，所以为首项为2，公比为2的等比数列，（2）或前n项和34在数列中，且(1)证明：，都是等比数列(2)求的通项公式(3)若，求数列的前项和【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证，（2）根据奇数项和偶数项为等比数列，求解其通项，即可求解.（3）根据分组求和和裂项求和即可求解.【详解】（1）证明：因为，且，所以，因为，故，所以，则，都是公比为16的等比数列（2）由（1）知，都是公比为16的等比数列，所以，故对任意的（3）因为，所以35已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，并证明.【答案】(1)(2)证

21、明见解析【分析】（1）由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得所求；（2）求得，由数列的裂项相消求和与不等式的性质可得证明【详解】（1）由等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，可设公比为，则，即，解得舍去）由，即，解得，所以；（2），则7.先放缩，再裂项36已知函数的图象与x轴正半轴交于点A，函数的图象在点A处的切线为l，l在y轴上的截距记为(1)求数列的通项公式；(2)设，求证（且）【答案】(1);(2)证明见解析【分析】（1）根据条件求出点A坐标.求出导函数，根据导数的几何意义，表示出切线l的方程，即可得到；（2）易求.对该式放缩，可得时，裂项可得，又，代入式子加起来即可证明

22、.【详解】（1）由题意，令，解得，又A在x轴正半轴，故，故切线斜率，l：，令，所以l在y轴上的截距（2）证明：由题意故，又对且时，所以，得证37已知，抛物线与轴正半轴相交于点设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距(1)求数列的通项公式；(2)设， 求证： （且）【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求解坐标，求导，可得切线斜率，利用直线方程的点斜式，即得解；（2）代入，可得，由，裂项相消，即可证明【详解】（1）由题意，令，解得又在轴正半轴，故，故切线斜率抛物线在点处的切线方程为令所以它在轴上的截距（2）由题意，故又对且时得证38设正项数列满足，且.(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通

23、项公式；(2)设，求证：数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）将题设条件变形得到，从而证得是等差数列，进而求得；（2）由（1）得，分类讨论与两种情况，利用放缩法与裂项法即可证得.【详解】（1）因为，所以，又，故，所以是首项为，公差为的等差数列，故，则，因为数列是正项数列，所以.（2）由（1）得，当时，；当时，所以；综上：.8.数列求和结合不等式39已知数列满足：，数列的前项和为，则满足的的最小取值为 .【答案】【分析】利用累加法可取得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，然后解不等式，即可得解.【详解】因为数列满足：，当时，也满足，则，所以，由可得，故满足条件的的

24、最小值为.故答案为：.40在数列中，且.设为满足的的个数.(1)求，的值；(2)设，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由递推式判断是等差数列，利用等差通项公式求基本量，进而得到，结合已知可得，即可写出对应项；（2）应用裂项相加求和得，研究数列单调性求最值，结合恒成立求参数范围即可.【详解】（1）因为，所以，则是等差数列，设数列的公差为，由，则，解得，则，因为是满足的的个数，所以，则，.（2）由（1）得，则，设，则，即递增，故，因为对任意，恒成立，即恒成立，整理得恒成立，即恒成立，解得，所以的取值范围是.41在数列中，其中(1)证明数列

25、是等差数列，并写出证明过程；(2)设，数列的前项和为，求；(3)对，使得恒成立，求实数的最小值【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明；（2）由（1）可求出，从而可求得，然后利用错位相减法求和即可；（3）转化条件为，再求出的最大值可得解；【详解】（1）因为，所以，所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列；（2）由（1）可得，所以，所以，所以-得，所以（3），因为对，使得恒成立，则对，使得恒成立，则对恒成立，即对恒成立，根据对勾函数单调性结合可知当时，有最大值，故，则.42已知数列，满足(1)证明：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自

26、然数n，不等式恒成立，求实数的范围【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求通项公式，于是可求通项公式；（2）根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，求单调性并求其范围即可求的范围.【详解】（1）因为，所以两边同除以得：，即，又因为，所以的首项，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以（2）由题意知，所以，两式相减得，所以，因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，因为，所以，所以，所以43记首项为的数列的前项和为，且当时，(1)证明：数列是等差数列；(2)若恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【分析

27、】（1）根据与之间的关系，结合等差数列定义分析证明；（2）由（1）结合等差数列通项公式，利用裂项相消法结合恒成立问题运算求解.【详解】（1）当时，即，则，可得，所以，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列（2）由（1）可知，可得则，所以， 由题意可得，解得，所以实数的取值范围为.44数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，.证明：当时，.【答案】(1)(2)证明过程见解析【分析】（1）分类讨论得出数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，从而可求得通项公式；（2）由（1）求出，用错位相减法求得和后，然后根据设新数列，结合数列单调性进而证明结论.【详解】（1）因为，所以当时，即，所以数列是

28、首项为1、公差为1的等差数列，因此；当时，因为，所以，所以为常数，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此.故数列的通项公式为（2）由（1）知， 得，所以令，则对恒成立，所以时，所以当时，即当时，1（多选）已知数列满足，则（）AB为等比数列CD数列的前项和为【答案】ACD【分析】对于A，由递推式直接求解，对于B，对递推式变形进行判断，对于C，由等差数列的通项公式求解，对于D，利用裂项相消法求解.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确；对于B，因为，所以，即，所以为等差数列且非常数列，所以 B不正确；对于C，由选项B可知，所以，所以，所以 C正确；对于D，所以，所以D正确，故选：ACD.2已

29、知数列满足，且，则 ；记数列的前和为，若，则的最小取值为 .【答案】 【分析】首先求，当时，即可得到，再整理得到，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，再利用分组求和法求出，利用作差法判断的单调性，即可确定的最小值.【详解】因为，且，当时，解得，当时，所以，即，所以，所以，所以，所以，即，即，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，因为，因为，所以，即，即单调递增，又，故的最小值为.故答案为：；3在数列中，已知，(1)求；(2)若，为的前n项和，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）构造新数列，构造等比数列可得计算可得.（2）先根据（1）得出，

30、再根据得出一侧边界，最后放缩后应用裂项相消计算证明即得【详解】（1）而，是公比为首项为的等比数列，,.（2）,，.4已知数列中，前n项和为，若对任意的，均有(1)求数列的通项公式；(2)数列满足（），求（且）的值（结果用m表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据的关系即可求证为等比数列，即可求解，（2）根据对数的运算性质可得，进而由分组求和，结合等差数列求和公式即可求解.【详解】（1）因为，故，两式相减得，在中令，则可得，故，故，则数列为等比数列，且公比为3，所以（2）令，解得，可得当，2，3时，当且时，5数列的各项均为正数，前项和为，且满足(1)求数列的通项公式(2)设数列满足条件；，请

31、从条件中选一个，求出数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）先求出的值，将换成，结合条件可得出，从而得出答案；（2）若选，可得，利用裂项相消法可求解；若选，利用错位相减法可求解.【详解】（1），所以或， - 得是首项为3，公差为2得等差数列，；（2）若选，；若选，.6已知数列的前项和为，若，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由结合等差数列的中项定义可知数列为等差数列，进而通过等差数列的通项公式即可求得通项公式.（2）由的通项公式代入可得，通过前后项相并构造平方差的并项求和法可求得

32、.【详解】（1）由，可得，数列为等差数列.设公差为，则.又.从而.（2）由（1）可知，当为偶数时，.当为奇数时，.数列的前项和.7已知数列中，.(1)求证：数列是等比数列；(2)若数列满足，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明为定值即可；（2）先根据（1）求出数列的通项，从而可得数列的通项，再利用错位相减法求解即可.【详解】（1）因为，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）得，则，由得，所以.8设数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系可将题设的递推关系转化为关于的递

33、推关系，从而可求其通项.（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）因为，故时，两式相减得，又，所以，故，满足上式，故，且，所以为等比数列，且首项为2，公比为3，从而.（2），故，故，所以，所以.9已知等差数列前n项和为，数列是等比数列，(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前2n项和【答案】(1)，；(2)【分析】（1）设的公差为，的公比为，由已知列出方程组求得后可得通项公式；（2）求出，然后按奇偶项分组求和【详解】（1）设的公差为，的公比为，由题意，解得，；（2）由（1）得，为奇数时，为偶数时，10已知数列满足，(1)证明：是等差数列；(2)记数列的前项和为，求最小的正整数，使得【答案】

34、(1)证明见解析(2)7【分析】（1）由题意得，利用等差数列的定义，即可证明结论；（2）由（1）得，利用累加法可得，利用裂项相消法求和可得，求解，即可得出答案【详解】（1）证明：，又，则，数列是首项为5，公差为2的等差数列；（2）由（1）得数列是首项为5，公差为2的等差数列，则，当时，由累加法得，则，又当时，符合题意，则，数列的前项和为，即，即，解得（不合题意，舍去）或，最小的正整数为711已知数列满足，(1)记，求证：为等比数列；(2)若，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由可知结合可得进而可证为等比数列；（2）由（1）结论可先求出的通项公式，进而求出的通项公式，再根据求出的通

35、项公式，则可求.【详解】（1）证明：且，又，为以4为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知：，又，所以.12已知数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为(1)求数列的通项公式；(2)设_，求数列的前项和为 ， ， 从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题【答案】(1)，(2)选择见解析，答案见解析【分析】（1）根据条件求出，再根据数列为等差数列，数列为等比数列，即可求出结果；（2）选择条件，利用错位相减法即可求出结果，选择条件，利用裂项相消法即可求出结果，选择条件，利用分组求和法即可求出结果.【详解】（1）设数列的公差为，数列的首项为，由题知，因为，解得

36、，所以，又，即，解得，所以所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）选条件：，则，故，两式相减得，选条件：，选条件：，13已知等差数列的公差不为0，且，成等比数列，(1)求数列的通项公式：(2)若数列满足，记为数列的前n项和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比中项的性质以及等差数列的通项公式，建立方程，求得公差，可得答案；（2）根据（1）所得到的通项，整理数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案.【详解】（1）由为等差数列，则，由等差数列，可设其公差为，则，即，又因为，且，所以；所以是以为首项，为公差的等差数列，可得.（2）由（1）可知，又，可得；所以，再通过裂项相消得到：，所以14已知数列的前项的积记为，且满足(1)证明：数列为等差数列;(2)若求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将代入到中，得，结合等差数列的定义可证结论正确；（2）由（1）求出，再求出，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果.【详解】（1）当时，得，当时，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）知，当为奇数时，当为偶数时，所以.