专题训练(七)　构造平行四边形解题.docx

1、专题训练(七)构造平行四边形解题平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，解决某些几何题时，若能根据平行四边形的判定，巧妙地构造出平行四边形，则会化难为易、化繁为简，使证明过程简捷类型一证两线段相等1如图7ZT1，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，点E在BC上，点F在AD上，AFCE，EF与对角线BD相交于点O.求证：O是BD的中点图7ZT12如图7ZT2，平面上三个等边三角形ACE，ABD，BCF两两共有一个顶点求证：CD与EF互相平分图7ZT2类型二证两线段平行3如图7ZT3，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O任作一条直线分别交A

2、B，CD于点G，H，连接GF，EH.求证：GFEH.图7ZT3类型三证线段的和差关系4如图7ZT4，在四边形ABCD中，ABCD，且ADC2ABC.求证：ABADCD.图7ZT4类型四证线段的倍分关系5如图7ZT5，已知ABAC，B是AD的中点，E是AB的中点求证：CD2CE.图7ZT5类型五解决面积问题6如图7ZT6，E是梯形ABCD的腰CD的中点求证：SABES梯形ABCD.图7ZT6详解详析1解析 连接BF，DE，观察图形，EF与BD为四边形FBED的对角线，若能说明四边形FBED是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到O是BD的中点证明：连接BF，DE.ABCD，A

3、DBC，四边形ABCD是平行四边形，DFBE.ADBC，AFCE，DFBE，四边形FBED是平行四边形，OBOD，即O是BD的中点点评 平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择判定方法，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是判定平行四边形最常用的方法之一，一定要反复训练，熟练掌握2解析 首先连接DE，DF，由BCF和ABD都是等边三角形，易证得CBAFBD(SAS)，继而证得ACDF，则可得DFCE，同理可得DECF，则可判定四边形DECF是平行四边形，证得CD与EF互相平分证明：如图，连接DE，DF.BCF和ABD都是等边三角形

4、，BCBF，BABD，ABDCBF60.CBA60ABF，FBD60ABF，CBAFBD.在CBA和FBD中，BCBF，CBAFBD，BABD，CBAFBD(SAS)，ACDF.又CEAC，DFCE.同理可证得BCADEA，BCDE.又BCCF，DECF，四边形DECF是平行四边形，CD与EF互相平分3解析 连接GE，FH.观察图形，可知GF与EH为四边形EHFG的对边，若能说明四边形EHFG是平行四边形，则由平行四边形对边平行的性质可得GFEH.证明：连接GE，FH.四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，ABCD，BAODCO.又AOGCOH，AOGCOH，OGOH.E，F分别为O

5、B，OD的中点，OEOF，四边形EHFG是平行四边形，GFEH.4解析 延长DC到点E，使DEAB，连接BE，则四边形ABED为平行四边形，得BEAD，下面只需说明CEBE即可证明：延长DC到点E，使DEAB，连接BE.ABCD，四边形ABED是平行四边形，BEAD，ADCABE.ADC2ABC，ABE2ABC，ABCEBC.ABCD，BCEABC，EBCBCE，BECE.DECECDBECD，ABADCD.5解析 延长CE至点F，使EFCE，连接AF，BF，得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形的性质证明BCDBCF即可证明：延长CE至点F，使EFCE，连接AF，BF.E是AB的中点，

6、AEBE，四边形AFBC是平行四边形，ACBF，ACBF，ACBCBF180.ABACBD，BDBF，ACBABC.CBDABC180，CBDCBF.又BCBC，BCDBCF，CDCF2CE.6解析 过点E作MNAB，交BC于点N，交AD的延长线于点M，则四边形ABNM是平行四边形，ABE与ABNM同底等高，所以SABESABNM，接下来说明S梯形ABCDSABNM即可证明：过点E作MNAB，交BC于点N，交AD的延长线于点M.ADBN，四边形ABNM是平行四边形，SABESABNM.E是腰CD的中点，DECE.ADBC，EDMC，MCNE，DMECNE，SDMESCNE，S梯形ABCDSABNM，SABES梯形ABCD.