专题训练06 全等三角形模型——三垂直与三等角（解析版）.docx

1、专题训练6 全等三角形模型三垂直与三等角三垂直模型1. 如图，是等腰直角三角形，过直角顶点，则下列结论正确的个数有；A1个B2个C3个D4个【分析】根据直角三角形的性质推出，然后利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等即可对各小题进行判断【解答】解：，是等腰直角三角形，为直角顶点，在和中，故小题正确，小题错误，小题错误，小题正确，所以结论正确的有共2个故选：2. （2022秋文登区期中）在中，（1）如图，是过点的一条直线，且，在的同侧，于，于写出，间的数量关系，并写明理由；（2）如图，是过点的一条直线，且，在的两侧，于，于写出，间的数量关系，并写明理由【分析】（1）由“”

2、可证，可得，可求；（2）由“”可证，可得，可求【解答】解：（1）理由如下：，（2），3. （2020秋通河县期末）综合与实践积累经验（1）我们在第十二章全等三角形中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题例如：我们在解决：“如图1，在中，线段经过点，且于点，于点求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程；类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标拓展提升（3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得出答案；（2）过作轴于，先证，再

3、证明，可得，即可解决问题；（3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，由全等三角形的性质得出，则可得出答案【解答】（1）证明：，而于，于，在和中，；（2）解：过作轴于，如图2所示：，在和中，点的坐标为（3）解：如图3，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，同（1）（2）可得，点的纵坐标为，横坐标为，故答案为：4. （2021秋临沂期末）如图，垂足分别为，求的长【分析】先证明，得，然后根据线段和差定义即可解决【解答】解：，在和中，5. （2020秋赫山区期末）如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，直线过顶点，分别过点，作，垂足分别为点，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足延

4、长，交于点（1）求证：；（2）求证：【分析】（1）证得，根据证明即可（2）证明，由全等三角形的性质得出证得，则可得出结论【解答】证明：（1），又，在和中，；（2），在和中，平分，综上，6. （2022春清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，过点作于点，过点作于点由，得又，可以推理得到进而得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，连接，且于点，与直线交于点求证：点是的中点；如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标【分析】（1）根据全等三角形的对应

5、边相等解答；（2）作于，于，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；过点作轴于点，过点作轴于点，仿照的证明过程解答【解答】解：（1），在和中，故答案为：；（2）如图2，作于，于，在与中，同理，在与中，即点是的中点；如图3，和是以为斜边的等腰直角三角形，过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，则四边形为矩形，由可知，解得，点的坐标为，同理，点的坐标为，综上所述，是以为斜边的等腰直角三角形，点的坐标为或7. 如图，（1）如图，在平面直角坐标系中，以为顶点，为腰在第三象限作等腰，若，求点的坐标；（2）如图，为轴负半轴上一个动点，以为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，当点沿

6、轴负半轴向下运动时，试问的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由（3）如图，已知点坐标为，是轴负半轴上一点，以为直角边作等腰，点在轴上，设，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由【分析】（1）作轴于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可；（2）作轴于，证明，得到，结合图形计算；（3）作轴于，轴于，仿照（2）的证明过程解答【解答】解：（1）作轴于，在和中，点的坐标为；（2）的值不变，值为2，理由如下：作轴于，在和中，；（3）的和不变，值为，理由如下：作轴于，轴于，由（2）可知，三等角模型8. 如图，点，在一条直线上，试探究，与之间的数量

7、关系【分析】由题意可证，且，可证，可得，即可求，与之间的数量关系【解答】解：理由如下：，且，且，且，9. （2022鹿城区二模）如图，在中，点在边上，点在边上，连接，已知，（1）求证：；（2）若，求的长【分析】（1）根据可证明；（2）得出，求出，则可求出【解答】（1）证明：，在与中，；（2）解：，10. 如图，三点都在一条直线上，且，试探究，与之间的数量关系【分析】由“”可证，可得，可得结论【解答】解：，理由如下：，且，在和中，11. （2021秋东至县期末）如图，在中，、三点都在直线上，并且有，若，求的长【分析】由，推出，再根据证明得，即可得出结果【解答】解：，在与中，12. （2020秋江

8、津区期末）问题1：如图，在四边形中，是上一点，求证：；问题2：如图，在三角形中，是上一点，且求的值【分析】问题1：证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；问题2：过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出答案【解答】问题1：证明：，在与中，；问题2：过点作于点，在中，在与中，在中，13. 如图，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角已知，求证：应用：如图，在中，点在边上，且，点，在线段上，若的面积为15，求与的面积之和【分析】（1）由“”可证；（2）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由三角形的面积关系可求解【解答】证明：（1），且，且，（2），且，且，的面积为

9、15，14. 如图，在等腰三角形中，分别为，上一点，（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，过点作，垂足为，若，求的值【分析】（1）根据判定，即可得到；（2）先证，得，再在上取点，使得，进而判定，得，然后由等腰三角形性质得，即可求解【解答】解：（1），又，在和中，；（2）解：，又，如图2，在上取点，使得，在和中，又，15. （2021春榆次区校级期末）综合与实践（1）观察理解：如图1，中，直线过点，点，在直线同侧，垂足分别为，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，且，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的

10、图形的面积；（3）类比探究：如图3，中，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角已知，求证：；（5）拓展应用：如图5，在中，点在边上，点、在线段上，若的面积为15，则与的面积之和为 【分析】（1）根据证明三角形全等即可（2）利用“三垂模型”证明三角形全等，利用全等三角形的性质，解决问题即可（3）如图3，过作于，构造全等三角形解决问题即可（4）证明，可得结论（5）利用（4）中结论，解决问题即可【解答】解：（1）如图1中，又，在和中，故答案为：（2）如图2中，由（1）得：，故答案为50（3）如图3，过作于，由旋转得：，由（1）可知，（4）如图4中，在和中，（5）如图5中，的面积为15，的面积是：，由图4中证出，与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是5，故答案为：5