人教八下数学17.2 第2课时勾股定理的逆定理的应用导学案.docx

1、第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第2课时 勾股定理的逆定理的应用学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.自主学习一、知识回顾1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？2. 快速填一填：(1)已知ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_三角形，_是最大角;(2)等腰ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是_cm.课堂探究一、 要点探究探究点1：勾股定理的逆定理的应用典例精析例1

2、如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.变式题 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我

3、边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？分析：根据勾股定理的逆定可得ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中A和DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？练一练1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？2.如图

4、，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用典例精析例3 如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.变式题1 如图，四边形ABCD

5、中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.变式题2如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30 cm2，DC12 cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面积.例4 如图，ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC，BD=2（1）求证：BCD是直角三角形；（2）求ABC的面积航海问题二、课堂小结与勾股定理结合解决不规则图形等问题应用勾股定理的逆定理的应用认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题方法当堂检测1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25的方向，且到医院

6、的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东_的方向.2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （） A B C D3. 如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.4. 如图，在ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.5. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，

7、在海面上有疑似漂浮目标A、B于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6. 如图，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长参考答案自主学习一、知识回顾1. 勾股定理：RtABC，C 是直角， a2 + b2 = c2 (a，

8、b 为直角边，c 为斜边). 勾股定理的逆定理： a2 + b2 = c2 (a，b 为直角边，c 为斜边)，RtABC，C 是直角.2. (1) 直角 A (2) 8课堂探究一、要点探究探究点1：勾股定理的逆定理的应用典例精析例1 解：根据题意得 PQ = 161.5 = 24(海里)，PR = 121.5 = 18 (海里)，QR = 30 海里. 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，QPR = 90. 由“远航”号沿东北方向航行可知 1 = 45.2 = 45，即“海天”号沿西北方向航行. 变式题1 解： AC = 10，AB = 6，BC = 8， AC

9、2 = AB2 + BC2，即ABC是直角三角形.设 PQ 与 AC 相交于点 D，根据三角形面积公式有BCAB = AC BD，即 68 = 10BD，解得 BD =在RtBCD 中，又 该船只的速度为 12.8 海里/时，6.412.8 = 0.5(小时)= 30(分钟)， 需要 30 分钟进入我领海，即最早晚上 10 时 58 分进入我领海.例2 解：解：在ABD 中， AB2AD2 32 + 42 = 25= 52 BD2 ABD 是直角三角形，A 是直角.在BCD 中， BD2BC2 52 + 122 = 169= 132 CD2 BCD 是直角三角形，DBC 是直角. 因此，这个零

10、件符合要求.练一练：1.解： BC2 + AB2 = 52 + 122 = 169，AC2 = 132 = 169， BC2 + AB2 = AC2.即ABC 是直角三角形，B = 90.答：C 在 B地的正北方向2.解： ABDC8 m，ADBC6 m， AB2+ BC282626436100.又 AC29281， AB2BC2 AC2， ABC 90， 该农民挖的不合格探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用典例精析例3 解：连接 AC. 在 RtABC 中，在ACD 中，AC2 + CD2 = 52+ 122 = 169 = AD2，ACD 是直角三角形，且ACD=90.S四边形ABCD

11、= SRtABC+SRtACD= 6+30=36.变式题1 解：连接 BD. 在RtABD 中，由勾股定理得 BD2 = AB2 + AD2， BD = 5 m.又 CD = 12 cm，BC = 13 cm， BC2 = CD2 + BD2. BDC 是直角三角形.S四边形ABCD = SRtBCDSRtABD=BDCDABAD =(51234) = 24 (cm2)变式题2 解： SACD=30 cm2，DC12 cm, SACD =CDAC =12AC = 30 (cm2), AC = 5 cm. 又AB2BC2 32 + 42 = 25= 52 AC2 , ABC 是直角三角形， B

12、是直角. SABC =ABBC =34 = 6 (cm2).例4 解：(1) 证明： CD = 1，BC ，BD = 2， CD2 + BD2 = BC2，BDC 是直角三角形.(2) 解：设腰长 AB = AC = x，在 RtADB 中， AB2 = AD2 + BD2， x2 = (x - 1)2 + 22，解得当堂检测1. 65 2. D 3. 解： 出发 2 小时，A 组行了 122 = 24 (km)，B 组行了 92 = 18 (km)，又 A，B 两组相距 30 km，且有 242 + 182 = 302， A，B 两组行进的方向成直角 4. 解：BC = 16，AD 是 BC

13、 边上的中线， BD = CD =BC = 8.在ABD 中，AD2 + BD2 = 152 + 82 = 172 = AB2，ABD 是直角三角形，即ADB = 90ADC 是直角三角形.在RtADC 中， AB = AC.5.解：根据题意得 OA = 161.5 = 24 (海里)，OB = 121.5 = 18 (海里)， OB2 + OA2 = 242 + 182 = 900， AB2 = 302 = 900， OB2 + OA2 = AB2. AOB = 90.第一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口O (如图)沿北偏东 40的方向向目标 A 的前进， BOD = 50，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西 50 度6.解：设 AB 为 3x cm，BC 为 4x cm，AC 为 5x cm， 周长为 36 cm，即 AB + BC + AC = 36 cm， 3x + 4x + 5x = 36，解得 x = 3. AB = 9 cm，BC = 12 cm，AC = 15 cm. AB2 + BC2 = AC2， ABC 是直角三角形，过 3 秒时，BP = 9 - 32 = 3 (cm)，BQ = 12-13 = 9 (cm)，在 RtPBQ 中，由勾股定理得