人教版 九年级上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程根与系数的关系学案(无答案).docx

1、根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(一)、前提：一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0 (a0) 0 （二）、结果：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是，那么 特殊的：x2+px+q=0的两个实数根是，那么x1+x2=-p,x1x2=q（三）、应用：1、已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；2、已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；3、已知两数，求以这两个数为根的一元二次方程。以为根的一元二次方程：二次项系数是1， 一次项系数是x1与x2和的相反数；常数项是x1与x2的积。即：x2-(x1+x2)x+x1x2=04、不解方程可以求某些关

2、于的对称式的值，通常利用到的有： (x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2. .5、特殊关系：（1）两根互为相反数，即：=0且0； （2）有一根是0，=0且0（3）两根互为倒数，即=1且0。（注意：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a0，0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验；我们可以先利用根与系数的关系进行求解，把求得的结果再进行检验，是否满足a0，0，如果满足则保留，不满足就舍去。）例题及巩固练习（一）、已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；例1 已知方程5x2kx6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一根是x1，由根与系数的关系得：2x1= -6/5

3、 解得：x1= - 由()2=，得k=7，所以，方程的另一个根为，k的值为7.例2方程x23xk=0的一根是2，则方程的另一根及k的值。解：设方程的另一根是x1，由根与系数的关系得：2+x1=-3,解得：x1=-5,又由2x1=k 得k=-10说明：当已知二次项系数和一次项系数时，先利用两根之和，再利用两根之积；当已知二次项系数与常数项时，先利用两根之积，再利用两根之和。练习：1、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。2、已知是的一根，则另一根为，的值为 。3、（2019山东潍坊）关于x的方程3x2+mx8=0有一个根是，求另一个根及m的值4、（2019日照）关于x的方

4、程2x2ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为5、（2019盐城）已知一元二次方程x2+k3=0有一个根为1，则k的值为（）A2B2C4D4（二）、不解方程可以求某些可化为方程两根之和与积的代数式的值，例1、已知x1,x2是方程2x2-7x-4=0的两个根，求：（1）x12+x22 （2）（x1+1）(x2+1)(3)x1-x2的值。解：由根与系数的关系得：x1+x2= 7/2 x1.x2=-2 则：（1）x12+x22= x12+2x1x2+x22-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2=(7/2)2-2.(-2)=49/4+4=65/4 (2) （x1+1）(x2+1)= x1x2+

5、x1+x2+1=-2+7/2+1=5/2()xx4xx|2122121=-+=-xx (3) 巩固练习：1、设x1、x2是方程x2+3x3=0的两个实数根，则的值为（）A.5 B.5 C.1 D.12、若m、n是一元二次方程x25x2=0的两个实数根，则m+nmn的值是（）A.7 B.7 C.3 D.33、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A B3 C6 D94、 昆明中考 已知x1，x2是一元二次方程x24x10的两个实数根，则x1x2等于( )A4B1C1D45、（眉山）若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-m

6、n的值是（）A-7 B7 C3 D-36、（2019江西）设、是一元二次方程x2+2x1=0的两个根，则的值是（）A2 B1 C2 D17、（2019宜宾）一元二次方程x22x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A2B1C2D08、（2019眉山）若，是一元二次方程3x2+2x9=0的两根，则+的值是（）ABCD9. (2019日照)已知x1、x2是方程2x2+14x16=0的两实数根，那么的值为 10.东南中考 若一元二次方程x2x10的两根分别为x1，x2，则_ _11、（2019德州市）方程2x23x1=0的两根为x1，x2，则x12+x22=12、（2019四川宜宾）已知一元二

7、次方程x2+3x4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22= 13、（2019四川攀枝花）设x1、x2是方程5x23x2=0的两个实数根，则+的值为 14、若关于x的方程有两个实数根x1、x2，则的最小值为 。注意：所求代数式只含有一根的平方时，要结合根的定义进行求解。例：已知：、是方程x2+x-2019=0的两个实数根，求的值）解：是方程x2+x-2019=0的根 2+-2019=0 2+=2019 2+2+ =2+=2019+ 又由根与系数的关系得：+=-1 原式=2019+=2019+（-1）=2019练习：1、已知m、n是方程x2+3x2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2

8、mn的值为（）A.1 B.3C.5 D.92、已知m，n是方程x22x2019=0的两个实数根，则n2+2m的值为于（）A.2019 B.2019 C.2020D.20223、设a，b是方程x2x2019=0的两个不相等的实数根，则a22ab的值为_.4、若a，b分别是方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则a2 +3a+b=_.5、已知一元二次方程的两根、，则x1 2-4x1+x1x2= .6、若m，n是方程x2+x2019=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 .7、（2019日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2m=3，n2n=3，那么代数式2n2mn+2m+2019=8.

9、（2019四川眉山）设m、n是一元二次方程x2+2x7=0的两个根，则m2+3m+n=式子适当变形后，使用根与系数的关系1、 已知实数a、b满足等式，求的值。（提示：把a，b都换成x，则形式为x2-ax-1=0,a，b就是方程的两根）2、 若ab1,且有，求的值。（提示：因为ab1，a，b都不为0,把第二个方程两边同除以b2再利用根与系数的关系）（三）方程满足两根的某种关系，进行求所含字母的值可以先利用根与系数的关系进行求值，但是注意求出值以后，一定要保证二次项系数不为0，判别式0例1、已知关于x的一元二次方程x2mx2m1=0两个实数根的平方和为7，求m的值解：设方程的两根为：x1、x2 由

10、根与系数的关系得：x1+x2=m, x1.x2=2m-1 由题意得：x12+x22=7 即：x12+x22= x12+2x1x2+x22-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(2m-1)=m2-4m+2=7 解方程 m2-4m+2=7得 m1=5 m2=-1 = m2-4(2m-1)=m2-8m+4 当m=5时 =-110（舍去），当m=-1时 =140 所以 m=-1.巩固练习：1、已知m，n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，若（m1）（n1）=6，则a的值为（ ） A.10 B.4 C.4 D.102、.设方程的两根分别为，且，那么m的值等于（ ） A. B.2

11、 C. D.3、已知关于x的一元二次方程x22xa-1=0有两根为x1和x2，且x12-x1x2=0，则a的值是( ) A.a=1 B.a=1或a=-2 C.a=2 D.a=1或a=24、若x1，x2是关于x的方程x2bx3b=0的两个根，且x12x22=7，则b的值为()A.1 B.7 C.1或7 D.7或15、已知x1，x2是关于x的方程x2+ax2b=0的两实数根，且x1+x2=2，x1x2=1，则ba的值是( ) A. B. C.4 D.16、方程x2(m6)xm2=0有两个相等的实数根，且满足x1x2=x1x2，则m的值是()A.2或3 B.3 C.2 D.3或27、若一元二次方程x

12、2ax2a=0的两根之和为4a3，则两根之积为( )A2 B2 C6或2 D6或28、关于x的方程x2ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）A.1或5 B.1 C.5 D.19德州中考 方程x22kxk22k10的两个实数根x1，x2满足xx4，则k的值为_10、已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm1=0的两个实数根为x1，x2，若x12x22=4，则m的值为_.（四）、特殊关系 1、两根互为相反数 x1+x2=0 且0 2、两根互为倒数 x1.x2=1 且0 3、有一根为0 c=0 4、两根都为正数 x1+x20 x1.x20 且0 5、两根都为负数 x1+x20 x1.x20

13、 且0巩固练习：1、若关于x的一元二次方程x2mxm2-3m+3=0的两根互为倒数，则m的值等于（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.02、若关于x的一元二次方程x2mxm2-3m+3=0的两根互为倒数，则m的值等于 （ ）A.1 B.2 C.1或2 D.03、关于的方程的两根同为负数，则（ ）A且 B且 C且 D且4.（2019内蒙古包头）若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（） AB C或D15、（2019泰州）已知x1、x2是关于x的方程x2ax2=0的两根，下列结论一定正确的是（）Ax1x2Bx1+x20Cx1x20Dx10，x206（201

14、9包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A6B5C4D37.（2019湖北黄石）关于x的一元二次方程x2+2x2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 8、如果关于x的方程m2x2（m2）x+1=0的两个实数根互为倒数，那么m= .9、已知关于的方程的一个根是另一个根的2倍，求的值.10、k为何值时，方程x2-（k+1）x+(k-2)=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.（五）、求做方程已知两数，求以这两个数为根的一元二次方程。以为根的一元二次方程：

15、二次项系数是1， 一次项系数是x1与x2和的相反数；常数项是x1与x2的积。即：x2-(x1+x2)x+x1x2=0例：求做以2与-5为根的一元二次方程解： 2+（-5）=-3 2.(-5)=-10 所以 所求方程为： x2-(-3)x+(-10)=0 即：x2+3x-10=01、已知实数x1，x2满足x1x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A.x211x30=0 B.x211x30=0 C.x211x30=0 D.x211x30=02、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：3、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。课后巩固练习：1、若关于

16、的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（ ） A、1或 B、1 C、 D、不存在2、已知一元二次方程的两根为、，则_3、关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2，则_，_4、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。5、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。6、已知关于的方程的两根为，且，则。7、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则 ；4、已知方程的两个根为、，求的值.5、已知关于的一元二次方程有两个实数根和（1）求实数的取值范围； （2）当时，求的值6、已知关于的方程的一个根是另一个根的2倍，求的值.7、已知，是关于的方程的两个实数根（1）求，的值；（2）若，是某直角三角形的

17、两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值8、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。9、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。10、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。11、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。12、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。13（2019南充）已知关于x的一元二次方程x26x+（2m+1）=0有实数根（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x220，求m的取值范围14.南充中考 已知关于x的一

18、元二次方程x22 xm0有两个不相等的实数根(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式xxx1x2的值15.【怀化】已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根， 是否存在实数a，使x1x1x2=4x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； 求使（x11）（x21）为负整数的实数a的整数值16（2019湖北荆州）已知在关于x的分式方程和一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n均为实数，方程的根为非负数（1）求k的取值范围；（2）当方程有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程的整数根；（3）当方程有两个实数根x1、x2，满足x1（x1k）+x2（x2k）=（x1k）（x2k），且k为负整数时，试判断|m|2是否成立？请说明理由