初中数学几何模型之 对角互补模型.docx

1、数学模型-对角互补模型旋转型类型一（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)）已知直角ABC和等腰直角DBC，则AB+AC=AD1. 如图1，在RtABC中，ABC=90，BA=BC，直线MN是过点A的直线CDMN于点D，连接BD（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BEBD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请

2、直接写BD的长【答案】（1）；（2）ADDC=BD；（3）BD=AD=+1【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系（2）过点B作BEBD，交MN于点EAD交BC于O，证明，得到， 根据为等腰直角三角形，得到，再根据，即可解出答案.（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，ABD的面积最大在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，由即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：，AE=CD，BE=BD，CD+AD=AD+AE=DE，是等腰直角三角形，DE=BD，DC+AD=BD，故答案为（2）证明：如图，过

3、点B作BEBD，交MN于点EAD交BC于O，又，为等腰直角三角形，（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，ABD的面积最大此时DGAB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.类型二（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)）已知直角ABC和等腰直角DBC，则AB-AC= AD2. 已知:ABC中，CA=CB, ACB=90，D为ABC外一点，且满足ADB=90(1)如图所示，求证：DA+DB=DC(

4、2)如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.(3)如图所示，过C作CHBD于H,BD=6,AD=3,则CH= .【答案】（1）详见解析；（2）DA-DB=DC；(3)【解析】【分析】（1）过C点作CQCD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得ACD=QCB，ADC=Q，由“AAS”可证ACDBCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ=CD，即可得结论；（2）过点C作CQCD交AD于点Q，由“SAS”可证ACQBCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且QCD=90，即可得DA、DB、DC之间关系；（3）过点C作CQCD交BD于点Q，由“SAS”可证A

5、CDBCQ，可得AD=BQ，可证DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长【详解】证明：（1）如图，过C点作CQCD交DB的延长线于Q点ACB=90，CQCD，ADB=90ACD+DCB=90，DCB+QCB=90，ADC+CDQ=90，CDQ+Q=90ACD=QCB，ADC=Q，且AC=BCACDBCQ（AAS）CD=CQ，AD=BQDQ=DB+BQ=DB+ADCDCQ，DCQ=90DQ=CDDB+AD=CD（2）DA-DB=CD理由如下：如图，过点C作CQCD交AD于点Q，CA=CB，ACB=90，ABC=CAB=45ACB=90，QCCDACB=ADB=90，点A，点B，

6、点D，点C四点共圆，ADC=ABC=45QCCDCQD=CDQ=45CQ=CD，且QCD=90QD=CDACB=DCQ=90，ACQ=DCB，且AC=BC，CQ=CDACQBCD（SAS）AQ=BDQD=CD=DA-AQ=DA-BD，即：DA-DB=（3）如图，过点C作CQCD交BD于点Q，ACB=90，QCCDACB=ADB=90，点A，点B，点C，点D四点共圆，CDQ=CAB=45QCCDCQD=CDQ=45CQ=CD，且QCD=90DCQ是等腰直角三角形，ACB=DCQ=90，ACD=QCB，且AC=BC，CQ=CDACDBCQ（SAS）AD=BQ，DQ=DB-BQ=DB-AD=3DCQ

7、是等腰直角三角形，DQ=3，CHDBCH=DH=HQ=DQ=故答案为【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键类型三“等边三角形对120模型”ABC是等边三角形，BPC=120，则有PB+PC=PA；类型四“120等腰三角形对60模型”ABC是等腰三角形，且BAC=120，BPC=60，则有PB+PC=PA；3. 例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题（1）如图1，AB

8、C是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC=120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：将ABD绕点A逆时针旋转60得到ACE，可得AE=AD， CE=BD，ABD=ACE，DAE=60，根据BAC+BDC=180，可知ABD+ACD=180，则 ACE+ACD=180，易知ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是_；（2）如图2，RtABC中，BAC=90，AB=AC点D是边BC下方一点，BDC=90，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论【答案】(1)DA=DB+DC;(2) DA=DB+D

9、C,证明见解析.【解析】【分析】(1)由旋转60可得AE=AD， CE=BD，ABD=ACE，DAE=60，根据BAC+BDC=180，可知ABD+ACD=180，则 ACE+ACD=180，易知ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题(2) 延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,由已知可得,根据,可得=,可证,进而可得AD=AE, ,可得,由勾股定理可得：,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：ABD绕点A逆时针旋转60得到ACE，AE=AD， CE=BD，ABD=ACE，DAE=60，BAC+BDC=180，ABD+ACD=180，ACE+ACD=18

10、0，D,C,E三点共线，AE=AD，DAE=60，ADE是等边三角形，AD=DE，AD=DC+CE=DB+DC;(2)结论：DA=DB+DC,证明如下：如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,=,AB=AC,CE=BD,(SAS),AD=AE, ,DA=DB+DC.【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.4. 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，EAF=BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系（1）思路梳理将ABE绕点A逆时针

11、旋转至ADG，使AB与AD重合，由B+ADC=180，得FDG=180，即点F，D，G三点共线，易证AFGAFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为_；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，EAF=BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D，E均在边BC上，且DAE=45，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为_.【答案】（1）EFBEDF；（2）EFDFBE；证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，使

12、AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出EAFGAF，然后证明AFGAFE，根据全等三角形的性质解答；（2）将ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到ADE，首先证明E，D，F三点共线，求出EAFEAF，然后证明AFEAFE，根据全等三角形的性质解答；（3）将ABD绕点A逆时针旋转至ACD，使AB与AC重合，连接ED，同（1）可证AEDAED，求出ECD90，再根据勾股定理计算即可【详解】解：（1）将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，使AB与AD重合，BADC180，FDG180，即点F，D，G三点共线，BAEDAG，EAFBAD，EAFGAF，在AFG和AFE中，AFGAFE，E

13、FFGDGDFBEDF；（2）EFDFBE；证明：将ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到ADE，则ABEADE，DAEBAE，AEAE，DEBE，ADEABE，ABCADC180，ABCABE180，ADEADC，即E，D，F三点共线，EAFBAD，EAFBAD（BAFDAE）BAD（BAFBAE）BADEAFBAD，EAFEAF，在AEF和AEF中，AFEAFE（SAS），FEFE，又FEDFDE，EFDFBE；（3）将ABD绕点A逆时针旋转至ACD，使AB与AC重合，连接ED，同（1）可证AEDAED，DEDEACBBACD45，ECD90，在RtECD中，ED，即DE，故答案为

14、：【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键构造全等型类型五-全等型90条件：AOB=DCE =90，OC平分AOB结论：CD=CE；OD+OE=OC；SDCE=SOCD +SOCE =OC2 辅助线的做法，可有下面两种方法来证明当C与AO的延长线相交时，也是相同的方法结论变：CD=CE；OE - OD =OC；SOCE- SOCD =OC25. 探究：如图1和2,四边形中,已知，点，分别在、上， （1）如图 1,若、都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，则能证得，请写出推理过程； 如

15、图 2，若、都不是直角，则当与满足数量关系_时，仍有;（2）拓展：如图3,在中，,，点、均在边上,且若，求的长 【答案】（1）见解析；，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出AEAG，BAEDAG，BEDG，求出EAFGAF45，根据SAS推出EAFGAF，根据全等三角形的性质得出EFGF，即可求出答案；根据旋转的性质得出AEAG，BADG，BAEDAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出EAFGAF，根据全等三角形的性质得出EFGF，即可求出答案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出ABCC45，BC4，根据旋转的性质得出AFAE，FBAC45，BAFCAE

16、，求出FADDAE45，证FADEAD，根据全等得出DFDE，设DEx，则DFx，BFCE3x，根据勾股定理得出方程，求出x即可【详解】（1）如图1，把绕点逆时针旋转至，使与重合， ， ， 即， 在和中 ， ； ，理由是：把绕点旋转到，使和重合， 则， ， ， ，在一条直线上， 和知求法类似， 在和中， ， ， ； 故答案为： （2）中， ，由勾股定理得： ，把绕点旋转到,使和重合，连接 则， ， ， ， 在和中 ， ， 设，则， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ，解得：， 即【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然

17、后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高类型六-全等型120条件：AOB=2DCE =120，OC平分AOB结论：CD=CE；OD+OE=OC；SDCE=SOCD +SOCE =OC2证明提示：可参考“全等型-90”证法一；如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明OCF等边三角形6. 如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点.（1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，

18、求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）【解析】【分析】（1）先判断出OCE60，再利用特殊角的三角函数得出ODOC，同OEOC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OFOGOC，再判断出CFDCGE，得出DFEG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论【详解】解：（1）是的角平分线在中，同理：（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于由（1）知，且点是的平分线上一点（3）结论为：.理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFCOGC90，AOB60，FCG120，同（1）的方法得，OFOC，

19、OGOC，OFOGOC，CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CFCG，DCE120，FCG120，DCFECG，CFDCGE，DFEG，OFDFODEGOD，OGOEEG，OFOGEGODOEEGOEOD，OEODOC【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键7. 如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，与交于点，与交于点(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积【答案】（1），证明详见解

20、析；（2），【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得到POF=60，推出PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQOA，PHOB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，PQO=PHO=90，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=，根据三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：（1），平分， ，是等边三角形，； （2）过点作，平分，QPH60， ， 在与中， ， ，平分，四边形的面积【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键8. （1）方法导引：问题：如图1，等边三角

21、形的边长为6，点是和的角平分线交点，绕点任意旋转，分别交的两边于，两点求四边形面积讨论：小明：在旋转过程中，当经过点时，一定经过点小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积老师：同学们的思路很清晰，也很正确在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积：_（2）应用方法：特例：如图2，的顶点在等边三角形的边上，边于点，于点，求的面积探究：如图3，已知，顶点在等边三角形的边上，记的面积为，的面积为，求的值应用：如图4，已知，顶点在等边三角形的边的延长线上，记的面积为，的面积为，请直接

22、写出与的关系式 【答案】（1）；（2）的面积；xy=12；【解析】【分析】（1）连接、，利用ASA证出，从而得出的面积与四边形的面积相等，过点作于点，利用锐角三角函数求出OH即可求出OBC的面积，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质可得，从而求出BOD，然后根据30所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OD和BD，从而求出结论；过点作于，于，根据相似三角形判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，然后根据三角形的面积公式即可求出结论；过点作交的延长线于，于，根据相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，分别求出OM和ON，再结合三角形的面积公式即

23、可求出结论【详解】解：（1）连接、是等边三角形，是和的角平分线交点，的面积与四边形的面积相等过点作于点，四边形的面积为故答案为：（2）是等边三角形，于点，的面积过点作于，于由得：，同理：是等边三角形，过点作交的延长线于，于，【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键类型七-全等型条件：AOB = 2， DCE = 180- 2； CD=CE；结论：OC平分AOB；OD+ OE = 2OCcosS四边形oocE = SocD +SocE =

24、OC2sincos当DCE的一边交AO的延长线于点D时，上述条件不变，结论有所变化9. 综合实践初步探究：如图，已知AOB=60，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个120角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E (1)当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为 ；解决问题：(2)当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为 ；拓展应用：(4)

25、当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；【答案】（1）OD+OE=OC；（2）仍然成立，理由见解析；（3）不成立，OE-OD=OC；（4）四边形CDOE的周长为(+1)OC，理由见解析【解析】【分析】（1）先判断出OCE=60，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同理OE=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出CFDCGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论；（4）同（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OC，进而可得结论【详解】：（1）OM是AOB的角平分线，AOC

26、=BOC=AOB=30，CDOA，ODC=90，OCD=60，OCE=DCE-OCD=60，在RtOCD中，OD=OCcos30=OC，同理：OE=OC，OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，OF+OG=OC，CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=CG，DCE=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，OD+OE

27、=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE-OD=OC，理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，OF+OG=OC，CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=CG，DCE=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，OE-OD=OC（4）由（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OCOD+OE+CD+CE=(+1)OC，故四边形CDOE的周长为(+1)OC【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键