北京市2020-2021学年高一上学期期末数学试题汇编：函数解答题 .docx

1、2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题一解答题（共17小题）1（2020秋房山区期末）已知函数（）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（）求解关于的不等式2（2020秋海淀区期末）已知函数（）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；（）解不等式3（2020秋西城区校级期末）已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何，（其中为函数的定义域），均有成立（）已知函数，判断与集合的关系，并说明理由；（）是否存在实数，使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；（）对于实数，用表示集合中定义域为区间，的函数的集合，定义：已知是定义在，上的函数，如果存在常数，对区间，的任意划分

2、：，和式恒成立，则称为，上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”， 的最小值称为的“绝对差上确界”，符号求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”4（2020秋大兴区期末）已知函数（）判断在内的单调性，并证明你的结论；（）是否存在实数使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由5（2020秋顺义区期末）已知函数是定义在上的奇函数（1）确定的解析式；（2）用定义证明：在区间上是减函数；（3）解不等式6（2020秋石景山区期末）已知函数（）求函数的定义域及的值；（）判断函数的奇偶性；（）判断在上的单调性，并给予证明7（2020秋海淀区校级期末）已知函数（1）

3、求函数的值域：（2）若函数的图象与函数的图象有交点，请直接写出实数的取值范围8（2020秋丰台区期末）已知函数的图象过原点，且（1）（）求实数，的值；（）若，请写出的最大值；（）判断并证明函数在区间上的单调性9（2020秋西城区校级期末）已知函数为奇函数（1）求函数的解析式；（2）若，求的范围；（3）求函数的值域10（2020秋昌平区期末）已知函数且（）试判断函数的奇偶性；（）当时，求函数的值域；（）若对任意，恒成立，求实数的取值范围11（2020秋西城区期末）设函数（）求函数的图象与直线交点的坐标；（）当时，求函数的最小值；（）用单调性定义证明：函数在上单调递增12（2020秋西城区期末）设

4、函数（）若（a），求实数的值；（）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（）若对于，恒成立，求实数的最小值13（2020秋海淀区校级期末）已知函数，（1）直接写出函数的奇偶性；写出函数的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：；（4）（2）（2）；（9）（3）（3）；（3）由（2）中的各式概括出和对所有不等于0的实数都成立的一个等式，并加以证明14（2020秋东城区期末）已知函数是奇函数（）求的值；（）判断的单调性；（只需写出结论）（）若不等式恒成立，求的取值范围15（2020秋房山区期末）设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且，则称是上的“距增函数”（）判断函数是否为上的“1距增函

5、数”？说明理由；（）写出一个的值，使得是区间上的“距增函数”；（）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，若为上的“2021距增函数”，求的取值范围16（2020秋丰台区期末）设函数的定义域为，如果存在区间，使得在区间，上是单调函数且值域为，那么称在区间，上具有性质（）分别判断函数和在区间，上是否具有性质；（不需要解答过程）（）若函数在区间，上具有性质，（）求实数的取值范围；（）求的最大值17（2020秋朝阳区期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”若函数的图象关于点对称，且当，时，（）求（2）的值；（）设函数（）证明函数的图象关于点对称；（）若对任意，总存在，使

6、得成立，求实数的取值范围2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题参考答案一解答题（共17小题）1【分析】（）根据题意，由函数的解析式可得，解可得函数的定义域，由奇偶性的定义可得结论，（）根据题意，原不等式变形可得，则有，解可得的取值范围，即可得答案【解答】解：（）根据题意，函数，则有，解可得，则函数的定义域为，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数（）由，得，因为在是减函数，所以有，解得，因此不等式的解集为【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题2【分析】（）任取，且，由作差法证明可得结论，（）根据题意，由指数的运算性质可得，结合的单调性可得，变形可得答案【

7、解答】解：（）证明：任取，且，则，且，即，函数在区间上单调递增；（）根据题意，对于，有，而函数在区间上单调递增，则有，即，解可得不等式的解集为【点评】本题考查函数单调性的证明以及性质的应用，涉及不等式的解法，属于基础题3【分析】（）利用已知条件，通过任取，证明成立，说明属于集合（）若，则有，然后可求出当，时，（）直接利用新定义加以证明，并求出的“绝对差上确界”的值【解答】解：（）设，则，因为，所以，所以，所以函数属于集合（）若函数，属于集合，则当，时，恒成立，即，对，恒成立，所以，对，恒成立，因为，所以，所以，即，所以的取值范围为，（）取，则对区间，的任意划分，和式，所以集合中的函数是“绝对差

8、有界函数”，且的“绝对差上确界” 【点评】本题考查函数的新定义，解题中需要一定的阅读理解能力，属于中档题4【分析】先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断，若为奇函数，则，代入可求，然后结合奇函数定义进行检验即可判断【解答】解：在内的单调递增，证明如下：设，则，所以，所以在上单调递增，存在使得为奇函数，若为奇函数，则，故，此时，故为奇函数，此时【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，定义法的应用是求解问题的关键5【分析】（1）由奇函数的性质得，代入可求，进而可求函数解析式；（2）先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；（3）结合在区间上是减函数且为奇函数即可直接求解【解答】解：（1

9、）由奇函数的性质得，故，证明：（2）设，则，所以，故在区间上是减函数；（3）因为在区间上是减函数且为奇函数，由得，所以，解得，故不等式的解集，【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义及性质的应用，还考查了利用函数的性质求解不等式，属于中档题6【分析】（）根据题意，由函数的解析式可得，然后求出的取值范围，再求出的值；（）先求出函数的定义域，根据，可得，从而判断为偶函数；（）先判断的单调性，然后设，利用定义法证明的单调性即可【解答】解：（）根据题意，函数，则有，解得，即函数的定义域为，；（），其定义域为，则，则为偶函数；（）在上为减函数，证明：当时，设，则，又由，则，所以，所以，故在上为减函

10、数【点评】本题考查了函数的奇偶性和利用定义法证明函数的单调性，考查了转化思想，属于中档题7【分析】（1）分段去掉绝对值，即可求解值域；（2）对进行讨论，根据图象有交点，可得实数的取值范围【解答】解：（1）函数则，因为在单调递减，可得值域为，（2）当，当时，的图象与函数的图象恒有交点，当时，当时，是单调递增函数，则，可得则故得实数的取值范围是或【点评】本题考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题8【分析】（）利用函数的图象过原点，且（1），列出方程组，求解即可；（）利用是单调递增函数，求出的范围，利用恒成立的解法，可得到的取值范围，进而得到答案；（）利

11、用函数单调性的定义进行证明即可【解答】解：（）因为的图象过原点，且（1），所以，解得（）因为，所以是单调递增函数，对，所以，故的最大值为（）由（）知，所以，所以在区间上是单调递减函数，证明如下：令，且，则，因为，且，所以，所以，即，所以在区间上是单调递减函数，即在区间上是单调递减函数【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，涉及了指数函数单调性的应用、不等式恒成立的求解，证明函数单调性的关键是掌握函数单调性的定义以及证明的一般步骤9【分析】（1）可看出的定义域为，即在原点有定义，并且是奇函数，从而得出，从而得出；（2）由即可得出，从而求出的范围；（3）分离常数得出，根据即可求出的范围，即得出的

12、值域【解答】解：（1）的定义域为；在原点有定义，且是奇函数；（2）由得：；（3）；，；的值域为【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，指数函数的单调性，指数与对数的互化，指数函数的值域，分离常数法的运用10【分析】（）利用函数奇偶性的定义即可求解；（）由对数函数的性质即可求解值域；（）对分类讨论，由对数函数的性质即可求解的取值范围【解答】解：（）函数且的定义域为，且，所以为偶函数（）当时，因为，所以，所以函数的值域为，（）若对任意，恒成立，即恒成立，当时，则有恒成立，因为，所以，不符合题意；当时，则有恒成立，因为，所以，综上，实数的取值范围是，【点评】本题主要考查函

13、数奇偶性的判断，函数值域的求法，对数函数的性质，以及不等式恒成立问题，属于中档题11【分析】（）联立方程组，解出即可；（）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（）根据函数的单调性的定义证明即可【解答】（）解：令，则由题意得：，解得：或，故函数的图象与直线交点的坐标是，；（）解：，当且仅当即时“”成立，故在上的最小值是7；（）证明：不妨设，则，故，即，故函数在上单调递增【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查图象交点问题，是基础题12【分析】（）将代入解析式，解指数方程即可求出得值；（）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算、得数量关系，结合定义可得结论

14、；（）先求出在，上得最大值，再根据要使对于，恒成立，即，求出得最小值即可【解答】解：（）因为（a），所以，所以且，所以，所以；（）为奇函数，证明如下：因为，所以定义域为关于原点对称，又因为，所以为奇函数；（）因为，又因为在，上单调递增，所以在，上单调递减，所以（1），又因为对于，恒成立，所以，即所以得最小值为3【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题13【分析】（1）由幂函数的奇偶性及奇偶性的性质可直接判断；利用增函数的定义即可证明；（2）代入计算即可得结论；（3）由（2）归纳出等式，代入即可证明【解答】解：（1）函数为奇函数的单

15、调递增区间为，证明：任取，且，则因为，且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增，由奇函数的性质可得在上单调递增，故的单调递增区间为，（2）经过代入计算可得，（4）（2）（2），（9）（3）（3）（3）由（2）中的各式概括出和对所有不等于0的实数都成立的一个等式为，证明：【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题14【分析】由奇函数的性质可得，即可求得值，并验证其成立即可；（）由复合函数的单调即可判断；（）由函数的奇偶性与单调性将不等式转化为恒成立，由即可求得的取值范围【解答】解：因为为奇函数，定义域为，所以，即，解得则，验证，满足题意（）为增函数（）由奇函数在定义域上单调递增，

16、不等式恒成立，得恒成立，即恒成立由恒成立，有，得所以，的取值范围是【点评】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，考查不等式恒成立问题，属于中档题15【分析】要判断函数是否为上的“1距增函数”，只要任意，检验是否成立即可判断；（）结合已知函数及，即可求解；（）由已知结合函数是定义在上的奇函数，对进行分类讨论及绝对值不等式性质进行转化可求【解答】解：（）函数是上的“1距增函数”，任意，有，且，所以，因此是上的“1距增函数”（）（答案不唯一，不小于4即可）（）因为为上的“2021距增函数”，当时，由定义恒成立即恒成立，由绝对值几何意义可得，当时，分两种情况：当时，由定义恒成立即恒成立，由绝对值几何意

17、义可得，当时，由定义恒成立即恒成立当时，显然成立当时，可得综上，的取值范围为【点评】本题以新定义为载体，综合考查函数性质的综合应用，属于中档试题16【分析】（）直接根据题中给出的信息判断即可；（）根据题意，在，有两个不相等的实数根，利用换元法设，转化为在，有两个不相等的实数根，方法1：利用二次方程根的分布列出不等关系，求解即可；方法2：利用换元法，转化为求解函数的值域问题，求解即可利用的表达式结合的范围，即可得到答案【解答】解：（）函数在区间，上不具有性质，在区间，上具有性质（）方法1：因为函数在区间，上具有性质，则在，有两个不相等的实数根，即在，有两个不相等的实数根设，即在，有两个不相等的实

18、数根所以，即解得所以，实数的取值范围方法2：因为函数在，单调递增，函数在区间，上具有性质，则在，有两个不相等的实数根，即在，有两个不相等的实数根设，即在，有两个不相等的实数根所以，实数的取值范围因为，又，所以当时，取最大值1【点评】本题考查了函数性质的综合应用问题，涉及了函数单调性的性质与判断、方程根的分布问题，对学生知识的综合应用能力有较高的要求17【分析】（）由函数的图象关于点对称”的充要条件，计算可得所求和；（）（）计算，由函数的图象关于点对称”的充要条件即可得证；（）求得的值域，记函数，的值域为再由二次函数的最值求法和恒成立思想，即可得到所求范围【解答】解：（）由函数的图象关于点对称，

19、可得，则（2）；（）（）证明：，即对任意的，都有成立函数的图象关于点对称（），易知在，上单调递增，在，时的值域为，记函数，的值域为若对任意的，总存在，使得成立，则，时，（1），即函数的图象过对称中心（1）当，即时，函数在上单调递增由对称性知，在上单调递增函数在上单调递增易知又（2），（2），则，由，得，解得（2）当，即时，函数在上单调递减，在，上单调递增由对称性，知在上单调递增，在，上单调递减函数在上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减结合对称性，知（2），或，又（2），（2）易知又，当时，成立（3）当，即时，函数在上单调递减由对称性，知在上单调递减函数在上单调递减易知又（2），（2），则，由，得解得综上可知，实数的取值范围为，【点评】本题考查函数的对称性的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力、推理能力，属于难题