卷09 高二上学期12月阶段测（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题卷09 高二上学期12月阶段测考试范围：直线与圆的方程、圆锥曲线的方程、数列一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设为实数，若直线与圆相交于，两点，且，则A3BC3或D或1【解答】解：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，由题意可得：，即，结合点到直线距离公式有：，解得或故选：2已知抛物线，斜率为2的直线与抛物线交于，两点，且弦中点的纵坐标为1，则抛物线的标准方程为ABCD【解答】解：抛物线的焦点为，设，线段的中点的纵坐标为1，则，两式相减可得：，故选：3设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点若，且，则双曲线的渐近线方程是A

2、BCD【解答】解：由双曲线的定义知，即，在中，由余弦定理知，化简得，双曲线的渐近线方程为，即故选：4已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，且线段被点平分，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：设，则，两式相减得：，线段的中点坐标为，由斜率，即，故选：5已知是椭圆的左焦点，是该椭圆的右顶点，过点的直线（不与轴重合）与该椭圆相交于点，记，设该椭圆的离心率为，下列结论正确的是A当时，B当时，C当时，D当时，【解答】解：设为，则，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，设，则由韦达定理有，又，又不平行，故为锐角，即对任意，均有故选：6已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若，则当最大

3、时，AB1CD2【解答】解：过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，抛物线的焦点为，点，设过与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程可得，由，得，即的最小值为，的最大值为，此时方程化为，解得，则故选：7过直线上一动点，向圆引两条切线，、为切点，则圆的动点到直线距离的最大值为AB6C8D【解答】解：根据题意，点在直线上，设，则，过点作圆的两条切线，切点分别为，则，则点、在以为直径的圆上，又由，则以为直径的圆的方程是，圆的方程为，联立两个圆的方程可得：直线的方程为，即，因为，所以，代入直线的方程，得，即，当且，即，时该方程恒成立，所以直线过定点，点到直线距离的最大值即为点，之间的距离加上圆的半径，即点到

4、直线距离的最大值为动点到直线距离的最大值为，故选：8已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，则双曲线的渐近线方程为ABCD【解答】解：设，由双曲线定义得：，所以，作，中，可得，中，勾股定理得：，中，勾股定理得：，可得，由可得，整理可得，即可得所以渐近线的斜率为，故渐近线方程为故选：二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于且交于点，若，则A为等边三角形BCD【解答】解：如图，因为即轴，所以，由抛物线定义知：，所以为等边

5、三角形，故正确；因为，过作，垂足为，所以，则，所以，故正确；在等边三角形中，则，故正确；因为，所以可得，故错误，故选：10已知、两点的坐标分别是，直线、相交于点，且两直线的斜率之积为，则下列结论正确的是A当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）B当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）C当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线D当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点）【解答】解：点的坐标为，直线的斜率为，由已知得，化简得点的轨迹方程为，当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）所以正确；当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）所以正确；当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线，不正确，应

6、该是双曲线，所以不正确；当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点），所以正确；故选：11在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是A实数的取值范围是或B若数列为等差数列，则数列的前7项和为C若数列为等比数列且，则D若数列为等比数列且，则的最小值为4【解答】解：因为关于的一元二次方程有两个根，所以，解得或，故选项正确；若数列为等差数列，且，则，故选项错误；若数列为等比数列且，由 可得，所以，当且仅当时，等号成立，故选项错误，选项正确，故选：12设是数列的前项和，则下列说法正确的有A数列的前项和为B数列为递增数列C数列的通项公式为D数列的最大项为【解答】解：由，得，即，又

7、，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，则，可得，故正确；当时，数列的最大项为，故错误，正确故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为，最小值为【解答】解：设为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，则由椭圆定义，而当在直线与椭圆交点上时，在轴的上方时，取得最小值，最小值为：，当在直线与椭圆交点，在轴的下方时，有最大值，其最大值为故答案为：，14已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在、两点关于直线对称，设弦的中点为，为坐标原点，则的值为 5【解答】解：抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为，设点，的中点为，则，两

8、式相减得，即，又因为，两点关于直线对称，所以，解得，可得，则，故答案为：515已知数列与前项和分别为，且，则【解答】解：，当时，两式作差可得，整理得，由知，从而，即当时，当时，解得或（舍则是首项为1，公差为1的等差数列，则，则故答案为：16已知一组双曲线，设直线与在第一象限的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为点，记的面积为，则数列前2020项和为【解答】解：如图所示：，双曲线的渐近线为，互相垂直，设点，则，易知为直角三角形，数列前2020项和为：，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17设非常数数列满足，其中常数，均为非零实数，且（1）证明：

9、数列为等差数列的充要条件是；（2）已知，求证：数列与数列中没有相同数值的项【解答】证明：（1）已知数列，充分性：若，则有，得，所以为等差数列必要性：若为非常数等差数列，可令代入，得化简得，即因此，数列为等差数列的充要条件是（2）由已知得又因为，可知数列为等比数列，所以从而有时，于是由上述两式，得由指数函数的单调性可知，对于任意，所以，数列中项均小于等于而对于任意的时，所以数列中项均大于因此，数列与数列中没有相同数值的项18已知椭圆的离心率为，设，是椭圆上的一动点，以为圆心作一个半经的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆交于点、，若存在圆与两坐标轴都相切（1）求椭圆的方程；（2）若直线，的斜率都

10、存在，且分别记为，求证：为定值；（3）探究是否为定值？若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）存在圆与两坐标轴都相切，存在点的坐标满足，代入椭圆方程得，又椭圆的离心率，则，解得，椭圆的方程为证明：（2）直线的方程为，直线的方程为，分别为圆的切线，点到直线，的距离为半径，是方程的不相等的两个根，即，又，为定值解：（3）设，由（2）知，又，在椭圆上，为定值，当且仅当时，等号成立，的最大值为已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4（1）求椭圆的标准方程；（2）设，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为求证：为定值； 求证：

11、直线过定点.【答案】（1） （2）证明见解析；证明见解析【解析】【小问1详解】由题意解得 所以椭圆的标准方程为：；【小问2详解】 设MN的方程为，与联立得：，设，则，【法二】平移坐标系+齐次化处理将坐标系中的图像整体向下平移2个单位，平移后的椭圆方程为：，整理得：，设平移后的直线MN的方程为：，代入点得，齐次化处理：则有，整理得： 令，将两边同除，得，故说明：因为平移后，而式子中x，y的值对应平移后的m和n所以同除后得到的就是一个以和为根一个关于k的一元二次方程设PQ的方程为 ，与联立，设，则 由，即此时，的方程为，故直线恒过定点.注：问同样可以平移+齐次化处理.20在离心率，椭圆过点，面积的

12、最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_（1）求椭圆的方程；（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值【解答】解：（1）选择离心率，可得，即，解得，即有椭圆的方程为；选椭圆过点，即有，又，即，解得，即有椭圆的方程为；选面积的最大值为，可得位于短轴的端点时，取得最大值，且为，即为，又，即，即有椭圆的方程为；（2）证明：设直线的方程为，联立椭圆方程可得，设，可得，可得，设的中点为，可得，由题意可得，解得，可得，可得，即为定值21已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于，两点（1）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）若点是直线上的动点，且，求面积的最小值【解答】解：（1）由已知可得，所在直线的斜率存在，设，联立，得则，为定值；（2）若的斜率为0，则，到的距离为8，；若的斜率不为0，则的斜率为，则，到的距离，则综上所述，面积的最小值为22在等差数列和等比数列中，且，成等差数列，成等比数列（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对所有正整数恒成立，求常数的取值范围【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，成等差数列，成等比数列，可得，得，解得，故；（2），即恒成立，即令，则，所以单调递增，故（1），即常数的取值范围是