四川省 2024届高三数学（理）零诊模拟考试试题（Word版附解析）.docx

1、成都七中高 2024 届零诊模拟考试数学试题(理科)一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1. 设，则的虚部为（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法及加减运算求解作答.【详解】依题意，所以复数的虚部为1.故选：C2. 若直线与直线平行，则（ ）A. 0B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行的条件可直接求出的值.【详解】因为，所以，解得.故选：B.3. 一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（ ）A B. C. 10D. 50【答案】A【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意这组数据的平

2、均数为，所以方差为，则标准差为.故选：A4. 已知函数在其定义域上的导函数为，当时，“”是“单调递增”的（ ）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为函数在其定义域上的导函数为，若当时，则单调递增，故充分性成立；若在上单调递增，则，如，显然函数在上单调递增，但是，故必要性不成立；故“”是“单调递增”的充分不必要条件.故选：D5. 如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的、分别为、，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C

3、【解析】【分析】根据题意，由程序框图，逐步运算，即可得出结果【详解】第一步：初始值，；此时；进入循环；第二步：，计算，此时，进入循环；第三步：，计算，此时，进入循环；第四步：，计算，此时，进入循环；第五步：，计算，此时，结束循环，输出.故选：C.【点睛】本题主要考查循环程序框图求输出值，属于基础题型.6. 直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出点、的坐标，根据求出的值，即可得出抛物线的准线方程.【详解】不妨设点在第一象限，则点在第四象限，联立可得，则点、，所以，解得，因此，的准线方程为.故选：B.7. 函数的图象经

4、过变换后得到函数的图象，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可得出，代入可得出的表达式，即可得出的表达式.【详解】由已知可得，代入可得，则，即，因此，.故选：B.8. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖了”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】【分析】逐一验证即可.【详解】若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲

5、、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故获奖的歌手是丙故选：C9. 设曲线C的参数方程为(为参数，且)，曲线C上动点P到直线的最短距离为（ ）A. 0B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】设，由点到直线的距离公式结合三角函数的性质求解即可.【详解】设，直线由动点P到直线的距离为：，其中，因为，所以，所以，所以当时，.故选：B.10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请100名同学每人随机写下一个，都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，

6、假如某次统计结果是，那么本次实验可以估计的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案.【详解】而满足构成钝角三角形，则需画出图像：弓形面积：，故选【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.11. 点在以为直径的球的表面上，且，已知球的表面积是，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球半径为，下列说法中正确的个数是（ ）平面；平面平面；A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，由线面垂直判定可知正确；根据，由线面垂直和面面垂直的判定可知正确；根据平行关系

7、和异面直线所成角定义可知，由面面垂直性质和线面角定义可知，由长度关系可求得正确；利用体积桥可求得，知错误.【详解】 对于，为球的直径，为球上一点，又，平面，平面，正确；对于，为球的直径，为球上一点，由知：平面，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，正确；对于，取中点，连接，分别为中点，；分别为中点，又平面，平面，平面，；球的表面积为，解得：，；，又，为等边三角形，则；，为中点，又平面平面，平面平面，平面，平面，正确；对于，四面体的表面积，四面体内切球半径，错误.故选：C.12. 函数在上的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】当时，；当时，；当，令，即求与的

8、图像在的交点个数，从而结合图像即可得解.【详解】当时，当时，故当时，无零点，当，令，即，即求与在的交点个数，因为，而，所以，两边同时取对数，则，而，因为，而，所以，所以，所以，两边同时取对数，则，所以，又因为的最小正周期为，因为，画出与在上的大致图象，由图可知与的图像在上只有一个交点，而在上单调递增，且在处取不到最大值，所以，故与的图像在上没有交点，综上：当，与的图象只有一个交点.综上：函数在上的零点个数为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于当，令，将本题转化为与的交点个数，再判断得，从而画出图象即可得解.二、填空题:共4道小题，每题5分，共20分.13. 命题“，”的否定为_【答案

9、】，【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.故答案为：，14. 函数的图象在处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程.【详解】因为，则，则，所以切线方程为，整理得.故答案为：15. 某区为了解全区名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了名学生进行体能测试，并将这名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图根据此频率分布直方图，这名学生平均成绩的估计值为_ 【答案】【解析】【分析】根据所有矩形面积之和为求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相

10、加可得这名学生平均成绩.【详解】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为，可得，解得，由频率分布直方图可知，这名学生平均成绩的估计值为分.故答案为：.16. 双曲线其左、右焦点分别为，倾斜角为的直线与双曲线H在第一象限交于点P，设内切圆半径为r，若，则双曲线H的离心率的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】设内切圆与分别相切于点，由题意结合双曲线的定义可得，再由双曲线的焦半径公式即可求出，代入，解方程即可得出答案.【详解】设内切圆与分别相切于点，则，且，所以，因为直线的倾斜角为，所以，所以，因为，由双曲线的定义可知，所以，即，所以，过点作轴于点，设，则，由双曲线的焦半径公式可得：，则，因，所以，

11、则，即，化简可得：，则双曲线H的离心率的取值范围为，故答案为：.三、解答题：共5道大题，共70分.17. 设函数，（1）求、的值；（2）求在上的最值【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出；（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.【小问1详解】因为，所以，取，则有，即；所以，取，则有，即故，【小问2详解】由（1）知，则，所以、与，的关系如下表：0120单调递增极大值单调递减故，18. 信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一在政府、企业等多方面的

12、共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力下表为20182022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中20182022年对应的代码依次为15年份代码x12345中国信创产业规模y/千亿元8.19.611.513.816.7（1）从20182022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元参考数据：2.4538.526.811.192.84其中，参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距

13、的最小二乘估计公式分别为，【答案】（1） （2），不会超过20千亿元【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为；（2）将指数型函数模型两边取对数可得，即，再利用参考数据可得回归方程为，将2023年的年份代码6代入可得，即可得出结论.【小问1详解】从20182022年中国信创产业规模中任取2个数据有，共10种情况其中这2个数据都大于10的有，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率【小问2详解】两边同时取自然对数，得，则因为，所以，所以，即，所以，即y关于x的回归方程为2023年的年份代码为6，把代入，得，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过2

14、0千亿元19. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接与交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）由已知条件得面，则，由得.以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由面得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由求得，然后利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】连接与交于点，连接为三棱柱，为平行四边形，点为的中点又为的中点，则，又平面平面，平面【小问2详解】解法1：，面面，即以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，面，则平面的一个法向量为设平面的法向量为

15、，则，即令设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角的余弦值是解法2：设点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接，设点为的中点，连接点为的中点，点为的中点且，点为的中点为矩形，又平面，在中，可得为等腰直角三角形，其中而点为的中点，且点为中点，点为的中点且，又在Rt中，点为的中点，在中，且点为的中点且即为平面与平面的夹角在中，平面与平面的夹角的余弦值是20. 椭圆上顶点为B，左焦点为F，中心为O.已知T为x轴上动点，直线BT与椭圆C交于另一点D；而P为定点，坐标为，直线PT与y轴交于点Q.当T与F重合时，有，且.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设T的横坐标为t，当时，求面积的最大值.【答案】（1）

16、（2）【解析】【分析】（1）由代入可求出，再由，用两点间的距离公式可求出，再由，即可得出答案.（2）设直线BT的方程为，与联立，由韦达定理可求出，设直线PT的方程为，令，可求出，表示出，即可求出，结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】设，因为当T与F重合时，有，且，所以，由，知所以，即，由知，所以，即，则，故椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】设直线BT的方程为，与联立，可得且，有，即，设直线PT的方程为，令，可得，由，由题意知：，则，而，当，即时取等，且，故面积的最大值为. 21. 设函数，其中.（1）讨论函数在上的极值；（2）若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.【答案】

17、（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）求出，分、讨论，可得答案；（2）由零点存在定理可知，而题设，消去a可得，令，且，求出，将其代入得，再利用导数分、讨论可得答案.【小问1详解】由知，1）当时，且有，单调递增，故无极值；2）当时，有，单调递减，而，单增，故，无极大值.综上，当时，无极值；当时，极小值为，无极大值；【小问2详解】由（1）可知当时，且，由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得，令，且，即， 将其代入，整理可令得，而，1)当时，且，有，单调递增，满足题设；2)当时，且，有，单调递减，不满足题设；综上，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是消去a可得，令得、，

18、将其代入构造函数，本题还考查了学生思维能力、运算能力.22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线和直线的极坐标方程分别为和：且二者交于，两个不同点（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若点的极坐标为，求的值【答案】（1）， （2）2或【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标方程互化公式进行求解；（2）先判断出的直角坐标为，在直线上，写出直线的标准参数方程，代入曲线的普通方程中，得到，分且，两种情况，列出方程，求出答案.【小问1详解】由，得，故曲线的直角坐标方程为，即；由，得，故直线的直角坐标方程为【小问2详解】因为，所以点的直角坐标为，在直线上，而直线的标准参数方程为（为参数），将其代入，整理可得由题设知，解得又，当，且时，有，则，解得，满足要求；当时，有，则，解得，满足要求故的值为2或