四川省成都市状元廊学校2022届中考数学思维方法讲义 第12讲 圆心角与圆周角.docx

1、第12讲 圆心角与圆周角【今日目标】1、牢记圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理（即四量定理）、圆周角定理及其推论；2、熟练运用四量定理、圆周角定理进行圆的有关计算与推理。【知识点击】1、圆的旋转不变性：把圆绕着圆心旋转 角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的 。则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（即四量定理）：在 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个 、 、 或 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等3、圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数 。4、圆周角定理：

2、同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。5、 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。【典例精析】考点1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理与圆周角定理的基本理解【例1】1、下列说法：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； 同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等； 等弧所对的圆周角相等； 圆心角相等，所对的弦相等，其中正确的说法有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2、如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8， BAC= BOD，则O的半径为 。3

3、、如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：圆O半径为，tanABC，则CQ的最大值是 。变式训练：1、已知和是同圆中的两条弧，且, 那么弦CD与2AB的大小关系为 。2、.如图，AB为O的直径，点P为其半圆上一动点（不与A，B重合），点Q为另一半圆上一定点，若POA=x，PQB=y，则y与x的函数关系是 。3、如图，点A，B，C，D为O上的四个点，AC平分BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为 。4、如图，弧BE是半径为 6 的D的圆周，C点是弧BE上的任意一点， ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取

4、值范围是 . 2小题图 3小题图 4小题图5、在O中，BC是弦，OCB40，A是圆上的一动点（点A不与B、C重合），则A的度数等于 。6、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（6，0），点C是y轴上的一个动点，当BCA=45时，点C的坐标为 考点2、运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理与圆周角定理进行有关计算与证明【例2】如图O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE=DF (1)求证：EF的垂直平分线必过圆心 (2)若AB与CD在O内相交于P，同样延长AB、CD，使BE=DF，那么是否还有(1)中相同的结论，请说明理由(如图2) 图1 图2【例3】如图，AB是O的弦，CP为

5、O的直径，且P为弧AB的中点，过点C任作一弦CF交AB于点E。（1）求证：；（2）连结BP，若BD:CD=2:3，求sinBPD的值。【例4】如图，AD是ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且B=CAE，EF:FD=4:3（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cosAED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长变式训练：1、如图：O是ABC的外接圆，D为弧AC的中点，BD交AC于E，求证：CD是DE和DB的比例中项；当CD，O到AC的距离为1时，求O的半径。2、已知：在ABC中，以AC边为直径的O交BC于点D，在劣弧AD上到一点E，

6、使EBC=DEC，延长BE依次交AC于G，交O于H（1）求证：ACBH；（2）若ABC=45，O的直径等于10，BD=8，求CE的长【例5】如图，已知A、B、C、D是O上的四等分点，O的半径为4cm, 以AB为边在四边形ABCD内作等边ABQ, P是四边形ABCD的对角线AC上一动点，求PD+PQ的最小值。变式训练：如图，已知O的半径为R,CD是直径AB同侧圆周上的两点弧AC的度数为96 o,弧BD的度数为36o,P是直径AB上的一动点 ，则PC+PD的最小值为 。（用含R的式子表示）【思维拓展】【例6】正方形ABCD的四个顶点都在O上，E是O上的一点。（1）如图，当点E在弧AB上时，求证：D

7、EBE= AE；（2）如图，当点E在弧AD上时，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。 图 变式训练： 图如图，在中，是的中点，以为直径的O交的三边，交点分别是点的交点为，且，（1）求证：；（2）求的O直径的长；（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式【例6】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，经过A、B、C三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为，设M与轴交于D，抛物线的顶点为E。求的值以及抛物线的解析式；设DBC，CBE，求的值；探究：坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存

8、在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由。【众里寻她】1下面命题中，正确的命题个数为（ ） (1)顶点在圆周上的角是圆周角 (2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半 (3)90的圆周角所对的弦是直径 (4)圆周角相等，则它们所对的弧也相等 A1个 B2个 C3个 D4个2、如图1，O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）A2B8C2D23、如图2，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为O的直径，AD=6，则DC= 图1 图2 图34、如图3，AB是半圆直径，半径OCAB于点O，AD平分CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，

9、连结CD、OD，给出以下四个结论：SAEC=2SDEO；AC=2CD；线段OD是DE与DA的比例中项；其中正确结论的序号是 5、如图5，A、B、C是O上的三点，以BC为一边，作CBD=ABC，过BC上一点P，作PEAB交BD于点E若AOC=60，BE=3，则点P到弦AB的距离为 。6、如图，在已知O中弧AB=弧AC,P是弧AB上的一点，且APC=60。（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）若BC=4cm，求O的面积。7、如图，AB是ABC的外接圆O的直径，D是O上一点，DEAB于点E，且DE的延长线分别交AC、O、BC的延长线于F、M、G（1）求证：AEBE=EFEG；（2）连接BD，若BDBC，且EF=MF=2，求AE和MG的长 8、如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：（1）D是BC的中点；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD9、如图，在O的内接ABC中，AB+AC=12,ADBC ,垂足为 D ,且AD=3，设O的半径为y，AB的长为x。（1）求y与x的关系式；（2）当AB的长等于多少时，O的面积最大？最大面积是多少？