备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破2空间几何体的截面交线问题命题点3截面的交线问题.docx

1、命题点3截面的交线问题例3 新高考卷已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD60.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为22.解析如图，连接B1D1，易知B1C1D1为正三角形，所以B1D1C1D12.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1GD1H22125，D1M平面BCC1B1，且D1M3.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点.在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP2，连接D1P，则D1PD1M2MP2（3）2（2）25，连接MG，MH，易得MGMH2，故可知以M为圆心，2为半径的圆弧GH为球面与侧

2、面BCC1B1的交线.由B1MGC1MH45知GMH90，所以GH的长为142222.方法技巧1.作截面的三种常用方法一是直接法，解题关键是截面上的点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，可以直接借助基本事实2作出截面.二是作平行线法，解题关键是截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可借助线面平行的性质定理和面面平行的性质定理作出截面.三是延长交线得交点，解题关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上，可通过由作延长线得到的交点辅助得出截面与立体几何图形的交点，进而得交线和截面图形.2.求解截面的交线长度问题，关键是准确找到截面与几何体相交的轨迹形状

3、，突破口是找到截面与几何体的公共点的位置和变化轨迹.常见的轨迹形状为特殊四边形（正方形、平行四边形、菱形、梯形）的组合图形、圆周或圆弧、圆锥曲线的部分等.训练3 2023武汉市武昌实验中学模拟测试已知在圆柱O1O2内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球的交线长为105.解析设该球的球心为O，半径为r，则ABBC2r，而S四边形ABCDABBC4r28，解得r2.如图，连接PO2，O1P，作OHO2P于H，易知O1O2AB，因为P为CD的中点，所以APBP.又O2为AB的中点，所以O2PAB.又O1O2O2PO2，所以AB平面O1O2P.又OH平面O1O2P，所以ABOH.因为OHO2P，且ABPO2O2，所以OH平面ABP.因为O1O22r22，O1P2，O1O2O1P，所以O2PO1O22O1P2（22）2（2）210，所以sinO1O2PO1PO2P21055，所以OHOO2sinO1O2P255105.易知平面PAB与球O的交线为一个圆，其半径为r1r2OH2（2）2（105）22105，所以交线长为2r1221054105.