2013版高中全程复习方略数学（理） 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系.ppt

1、第九节直线与圆锥曲线的位置关系三年7考高考指数:1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2.了解圆锥曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点，常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题；2.直线与圆锥曲线相交，求其弦长、中点、定点、定值、最值、面积、对称、存在性问题等是高考的热点；3.以解答题的形式出现，多属于中、高档题目，重点考查学生分析问题、解决问题的能力.1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2+bx+c=

2、0(或ay2+by+c=0).(1)当a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线_；=0直线与圆锥曲线_；0直线与圆锥曲线_.相交相切相离(2)当a=0，b0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_；若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_.平行平行或重合【即时应用】(1)思考：直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件？提示：必要不充分条件.因为当直线与圆锥曲线相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；当直线与圆锥曲线有一个公共点时，直线与圆锥曲线不一定相切，如与抛物线对称轴平行(

3、或重合)的直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线相交；与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交.(2)直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=_.【解析】直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1联立，消去y得：(1+4m2)x2+8mx+3=0.又因为其=(8m)2-12(1+4m2)=16m2-12=0，解得：m2=.答案：2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=_=_=_【即时应用】(1)抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为则k值为_.(2)过

4、椭圆的左焦点且倾斜角为的直线被椭圆所截得的弦长为_.【解析】(1)直线方程与抛物线方程联立，消去y得：4x2-4(1-k)x+k2=0，所以x1+x2=1-k，x1x2=依题意得：即9=解得：k=-4.(2)设直线与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由椭圆方程得：a=3，b=1，所以因此，直线方程为：，与椭圆联立，消去y得：则所以=答案：(1)-4 (2)2直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用【方法点睛】1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法.直线

5、与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题.2.直线与圆锥曲线相交的两个问题及求解方法(1)与弦的中点有关的问题,常利用“点差法”求解；(2)与抛物线焦点弦长有关的问题,要注意应用抛物线的定义.【提醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.【例1】(1)(2012珠海模拟)直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_.(2)已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【解题指南】(1)直线恒过定点A(0，1)，

6、令点A在椭圆的内部即可求解m的范围.(2)直线与抛物线公共点的个数问题，即为直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数问题，可将两方程联立求解.【规范解答】(1)表示椭圆，m0且m5.直线y=kx+1恒过定点(0，1).要使直线与椭圆恒有公共点，应有：即m1.m的取值范围是m|m1且m5.答案：m|m1且m5(2)由题意，得直线l的方程为y-1=k(x+2)，由，得ky2-4y+4(2k+1)=0 (*)()当k=0时，由方程(*)得y=1,方程组有一个解,此时，直线与抛物线只有一个公共点.()当k0时，方程(*)的判别式为=-16(2k2+k-1).由=0，即2k2+k-1=0，解得k=-1或

7、k=,当k=-1或k=时，方程组有一个解，此时，直线与抛物线只有一个公共点.由0,得2k2+k-10，解得-1k，当-1k且k0时，方程组有两个解，此时，直线与抛物线有两个公共点.由0，得2k2+k-10,解得k-1或k,当k-1或k时，方程组无解,此时直线与抛物线没有公共点.综上，当k=-1或k=0或k=时，直线与抛物线只有一个公共点；当-1k且k0时，直线与抛物线有两个公共点；当k-1或k时，直线与抛物线没有公共点.【反思感悟】1.直线与圆锥曲线公共点有零个、一个、两个和直线与圆锥曲线的相离、相切、相交不是等价关系；2.在直线与圆锥曲线所组成的方程组消元后，要注意所得方程的二次项系数是否含

8、有参数.若含参数，需按二次项系数是否为零进行讨论，只有二次项的系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数，进而说明直线与圆锥曲线的位置关系.圆锥曲线中的存在性问题【方法点睛】存在性问题的解题步骤(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程或不等式(组).(2)解此方程或不等式(组),若有解即存在,若无解则不存在.【例2】已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)已知直线l1、l2都过点B(0,1)，且l1l2，l1、l2与轨迹C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线使得BDE是等腰直角三角形.若存在，指出

9、这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.【解题指南】(1)由椭圆的定义可知，点M的轨迹为椭圆，只需再确定a、c即可.(2)可先假设存在，由题意知两条直线的斜率存在且不为零，可分别设为k、，由等腰直角三角形满足的条件求出其值，或经计算得知其值不存在，从而得出结论.【规范解答】(1)方法一：设A(-,0)，则 动点M的轨迹为以A、A为焦点，长轴长为4的椭圆.由c=,2a=4，得a=2,动点M的轨迹C的方程为方法二:设点M(x,y),则点M的轨迹C是以(,0)，(-，0)为焦点，长轴长为4的椭圆.a=2,c=,动点M的轨迹C的方程为(2)轨迹C是椭圆，点B(0,1)是它的上顶

10、点，设满足条件的直线l1、l2存在，由题意知两直线斜率存在且不为零，不妨设直线l1的方程为y=kx+1(k0)则直线l2的方程为 将代入椭圆方程并整理得：(1+4k2)x2+8kx=0，可得，则.将代入椭圆方程并整理得：(4+k2)x2-8kx=0，可得，则由BDE是等腰直角三角形得|BD|=|BE|(k-1)(k2+k+1)=4k(k-1)k=1或k2-3k+1=0 方程的判别式=50，即方程有两个不相等的实根，且不为1.方程有三个互不相等的实根.即满足条件的直线l1、l2存在，共有3组【反思感悟】1.本题第(1)问是利用定义法求轨迹方程，解决本题的关键是对的转化与理解.2.第(2)问探索存

11、在性问题，此类问题一般是先假设存在，依据题设条件及假设结论进行逻辑推理、论证，若得出矛盾，则说明不存在；否则就存在.圆锥曲线中的最值问题【方法点睛】圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)求最值常见的解法有两种：几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值.【提醒】求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论.如直线

12、斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等.【例3】(2011新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l的距离的最小值.【解题指南】(1)可设点M的坐标为(x,y)，依已知等式即可得出曲线C的方程.(2)可先设点P的坐标，求出切线，然后利用点到直线的距离公式求出距离的解析式，求其最值即可.【规范解答】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1),所以再由，可知：,即(-x,-4-2y)(x,-2)=0.所以曲线C的方程为(2)设P

13、(x0,y0)为曲线C：上一点，因为,所以l的斜率为因此直线l的方程为即则O点到l的距离d=又所以当且仅当x0=0时取等号，所以O点到l的距离的最小值为2.【反思感悟】1.本题第(1)问是求轨迹方程，采用的是直接法求轨迹方程，依据题设中的等式求解即可；2.第(2)问是求点到直线的距离的最值，解决此类问题一般是依据题设条件得出函数解析式，利用函数的单调性或求导数或利用基本不等式求得最值.【满分指导】直线与圆锥曲线综合问题的规范解答【典例】(12分)(2011湖南高考)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相

14、垂直的直线l1，l2,设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D,E，求的最小值【解题指南】(1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l1的斜率为k，依题设条件可求出关于k的解析式，利用基本不等式求最值.【规范解答】(1)设动点P的坐标为(x,y)，由题意得2分化简得y2=2x+2|x|,当x0时，y2=4x;当x0时，y=0.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x0)和y=0(x0).5分(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k(x-1)由，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.7分设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是

15、上述方程的两个实根，于是x1+x2=2+,x1x2=1因为l1l2，所以l2的斜率为设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.9分=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=11分故当且仅当即k=1时，取最小值，即16.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有以下两点容易造成失分:(1)在第(1)问求轨迹方程时，点P到y轴的距离易写成x，从而结果出错；(2)不会转化为，从而思路受阻，解题不完整，造成失分.备考建议解

16、决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几点：(1)注意点到两坐标轴的距离，两点与坐标轴平行时的距离；(2)涉及平面向量运算时，一定要注意平面几何性质的运用，如垂直、中点等.1(2011浙江高考)已知椭圆C1：(ab0)与双曲线C2:有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()(A)(B)a2=13(C)b2=(D)b2=2【解析】选C.方法一：由双曲线知渐近线方程为y=2x，又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为b2x2+(b2+5)y2(b2+5)b2，联立直线y=2x与椭圆方程消y得，又C1将线段AB三等分，解之得方法二：由双曲

17、线知渐近线方程为y=2x,设渐近线y=2x与椭圆C1:(ab0)的交点分别为C(x1,2x1),D(x2,2x2),则即又由C(x1,2x1)在C1:上,所以有又由椭圆C1:(ab0)与双曲线C2:有公共的焦点可得a2-b2=5 由解得,故选C.2.(2012揭阳模拟)已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是()【解析】选C.通过直线斜率等于m,在y轴上的截距为n，从直线中可判断m，n的正负，从而确定nx2+my2=mn为椭圆还是双曲线,选项C中，从直线可以看出m0,n0，而nx2+my2=mn可化为即焦点在x轴上的双曲线.3.(2012广州模拟)过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_.【解析】y2=8x的焦点坐标为(2，0)，又直线过焦点且倾斜角为45，直线方程为：y=x-2，与抛物线方程y2=8x联立，消去y得：x2-12x+4=0,x1+x2=12,由抛物线的定义知：所求弦长等于x1+x2+p=12+4=16.答案：16