安徽省2023中考数学 第4章 三角形 第2节 三角形及其性质(含特殊三角形)试题.docx

1、第二节三角形及其性质(含特殊三角形)考 点 帮易错自纠易错点1已知等腰三角形一个角的度数,求顶角(或底角)的度数时忽略分类讨论1.若等腰三角形的一个内角为50,则该三角形顶角的度数是50或80.易错点2已知等腰三角形两边长求第三边长时忽略三角形的三边关系2.2020贵州黔南州已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为(D)A.9B.17或22C.17D.22易错点3已知三角形两边与第三边上的高(未给出图形)求第三边长时忽略分类讨论3.在ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长为4或14.方 法 帮提分特训1.2020浙江绍兴长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首

2、尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为(B)A.4B.5C.6D.72.2020北京如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是(A)A.1=2B.2=3C.14+5D.2”“=”或“”).12.2020黑龙江大庆一个周长为16cm的三角形,由它的三条中位线构成的三角形的周长为8cm.13.如图,学校有一块三角形空地(ABC),现准备将它分成面积相等的两块地,栽种不同的花草,请你把它分出来.(作图要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证明)解:如图所示,AD将空地分成了面积相等的两块地.14.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是B

3、C,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N.求证:BME=CNE.证明:连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,如图.E,F分别是BC,AD的中点,FH,EH分别是ABD,BCD的中位线,FHBM,FH=12AB,EHCN,EH=12CD,BME=HFE,CNE=HEF.AB=CD,FH=EH,HFE=HEF,BME=CNE.考点3等腰三角形的判定与性质15.2020贵州毕节已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为(B)A.13B.17C.13或17D.13或1016.2020四川自贡如图,在RtABC中,ACB=90,A=50,以点B为圆心,BC

4、长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则ACD的度数为(D)A.50B.40C.30D.2017.2020四川南充如图,在等腰三角形ABC中,BD平分ABC,A=36,AB=AC=a,BC=b,则CD=(C)A.a+b2B.a-b2C.a-bD.b-a18.2020湖北荆门如图,ABC中,AB=AC,BAC=120,BC=23,D为BC的中点,AE=14AB,则EBD的面积为(B)A.334B.338C.34D.3819.2020浙江绍兴如图,已知边长为2的等边三角形ABC中,分别以点A,C为圆心,m为半径作弧,两弧交于点D,连接BD.若BD的长为23,则m的值为2或27.20.2020江苏常

5、州如图,在ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若AFC是等边三角形,则B=30.21.2020广东如图,在ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE,ABE=ACD,BE与CD相交于点F.求证:ABC是等腰三角形.证明:在BDF与CEF中,ABE=ACD,BFD=CFE,BD=CE,BDFCEF,BF=CF,FBC=FCB,ABE+FBC=ACD+FCB,即ABC=ACB,AB=AC,ABC是等腰三角形.22.2020浙江绍兴问题:如图,在ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作AEC,使EA=EC,若BAE=90,B=45,求DAC的度数.答案:DA

6、C=45.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“B=45”去掉,其余条件不变,那么DAC的度数会改变吗?说明理由;(2)如果把以上“问题”中的条件“B=45”去掉,再将“BAE=90”改为“BAE=n”,其余条件不变,求DAC的度数.解:(1)DAC的度数不会改变.理由:EA=EC,AED=2C,EAC=C.又BAE=90,BAD=12180-(90-2C)=45+C,DAE=90-BAD=90-(45+C)=45-C,DAC=DAE+CAE=DAE+C=45.(2)设B=m,则BAD=12(180-m)=90-12m,AEB=180-n-m,DAE=n-BAD=n-90+12m.又EA=E

7、C,CAE=12AEB=90-12n-12m,DAC=DAE+CAE=n-90+12m+90-12n-12m=12n.考点4直角三角形的判定与性质23.2019合肥蜀山区期末下列各组数中,是勾股数的为(D)A.13,14,15B.0.6,0.8,1C.1,2,3D.9,40,4124.2020湖北仙桃将一副三角尺如图摆放,点E在AC上,点D在BC的延长线上,EFBC,B=EDF=90,A=45,F=60,则CED的度数是(A)A.15B.20C.25D.3025.2020四川德阳已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上,点P为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM的最小值为(B)

8、A.2B.22-2C.22+2D.2226.2020浙江宁波如图,在RtABC中,ACB=90,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE的中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为(B)A.2B.2.5C.3D.427.2020河北如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图所示的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是(B)A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,428.2020湖南岳阳如图,在RtABC中,

9、CD是斜边AB上的中线,A=20,则BCD=70.29.如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=3,CE=5,求CD的长.解:在RtABC中,ACB=90,CE为AB边上的中线,CE=5,AE=CE=5.AD=3,DE=5-3=2.在RtCDE中,根据勾股定理得CD=CE2-DE2=52-22=21.30.如图,在RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的中线,过点A作AECD于点F,交CB于点E,且EAB=DCB.(1)求B的度数;(2)求证:BC=3CE.(1)解:AECD,AFC=ACB=90,CAF+ACF=ACF+ECF=90,ECF=

10、CAF.又EAD=DCB,CAD=2DCB.CD是斜边AB上的中线,CD=BD,B=DCB,CAB=2B.又B+CAB=90,B=30.(2)证明:B=BAE=CAE=30,AE=BE,CE=12AE,BC=3CE.综合提升练(建议用时:30分钟)1.2020江苏无锡中考改编如图,等边三角形ABC的边长为3,点D在边AC上,AD=12,线段PQ在边BA上运动,PQ=12,则四边形PCDQ周长的最小值为(D)A.2+372B.3+372C.2+392D.3+3922.2019湖北黄石如图,在ABC中,B=50,CDAB于点D,BCD的平分线和BDC的平分线相交于点E,点F为边AC的中点,且CD=

11、CF,则ACD+CED=(C)A.125B.145C.175D.1903.如图,在四边形ABCD中,B=D=90,AD=CD=32,BCD=75.连接AC,点M,N是AC的三等分点,点P是四边形ABCD边上的动点,若PMN的周长为7,则点P的位置有(C)A.8处B.7处C.6处D.2处4.2019黑龙江哈尔滨如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,A=60,点E为AD边上一点,连接BD,CE,CE与BD交于点F,且CEAB,若AB=8,CE=6,则BC的长为27.5.2020山西如图,在RtABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,CDAB,垂足为点D,点E为BC的中点,AE与CD

12、交于点F,则DF的长为5485.6.如图,BDAC,垂足为E,ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G,B=C.(1)求证:EG是CDE的高.(2)若EG是CDE的中线,探索ABE的形状(请写出完整过程).(1)证明:BDAC,EF是ABE的中线,EF=BF=12AB,BEC=90,B=BEF,BEF+CEG=90.B=C,C=BEF,C+CEG=90,EGC=90,EG是CDE的高.(2)EG是CDE的中线,EGCD,直线EG是线段CD的垂直平分线,DE=CE,D=C,B=C=D=45,A=45,AE=BE,ABE是等腰直角三角形.全国视野创新练操作型2020浙江绍兴将两条邻边长分别为2,1

13、的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各种剪法剪出的等腰三角形中,腰长可以是下列数中的(填序号).2,1,2-1,32,3.参考答案【易错自纠】1.50或80分两种情况讨论:顶角为50;当底角为50时,顶角为180-250=80.2.D分两种情况讨论:当腰长为4时,4+44,9-93,1=4+5,25.故选A.3.BDEAB,A=35,CFD=AFE=90-35=55,ACB=D+CFD=15+55=70.故选B.4.D由题意可知AC=22+32=13,SABC=12BDAC=33-1212-1213-1223=72,BD=71313.5.BACB=90,点H是边AB的中点,AB=2C

14、H.点E,F分别是边BC,CA的中点,AB=2EF,CH=EF.又EF+CH=8,CH=4.故选B.6.BAD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,CD=BD=5.7.D分情况讨论.若等腰三角形的顶角为70,则底角为(180-70)2=55.若等腰三角形的底角为70,则顶角为180-70-70=40.8.D连接BD,由作图步骤可知DA=DC=AC,ADC是等边三角形,ADC=DAC=60.DA=DC,AB=BC,直线BD是线段AC的垂直平分线,ADB=CDB=30.DAB=DAC+CAB=90,AD=3AB=3,SDAB=1233=332.易知四边形ABCD关于直线BD对称,S四边形ABC

15、D=2SDAB=33,故选D.9.40AD=DC,DAC=C=35,ADB=DAC+C=70.AB=AD,B=ADB=70,BAD=180-B-ADB=180-70-70=40.10.45由题意可知直角三角形的斜边长为3,一条直角边长为2,故另一条直角边长为32-22=5,故阴影部分的面积是2524=45.11.45如图,在BD上取一点F,连接FC,使FC=FB,过点C作CMAB交BD的延长线于点M.设CBE=,则A=2CBE=2.又EA=EB,ABE=A=2.FC=FB,FCB=FBC=,CFM=CBF+BCF=2.CMAB,M=ABE=A=ECM=2=CFM,CM=CF,EC=EM.又CD

16、FM,EB=EA,DF=DM,BM=AC=11,DF=MD=BM-BD=11-8=3,FC=FB=BD-DF=8-3=5,CD=52-32=4,BC=82+42=45.1.D在RtBCD中,BD=4,CD=3,根据勾股定理可得BC=5.H,G两点分别是BD,CD两边的中点,HG=12BC=52.同理可得EF=12BC=52,EH=FG=12AD=3,故四边形EFGH的周长=HG+EF+EH+FG=11.2.C本题分为两种情况.(1)如图(1),DE是RtABC的中位线,AE=4.又DE=3,AD=AE2+DE2=42+32=5,AB=10.(2)如图(2),DE是RtABC的中位线,AE=4.

17、又DE=2,AD=AE2+DE2=42+22=25,AB=45.图(1) 图(2)基础分点练1.B2.CA中,2+34,能组成三角形;B中,3+66,能组成三角形;C中,2+27,能组成三角形.故选C.3.DACD是ABC的外角,ACD=B+A,A=ACD-B=110-50=60.4.D不妨设A=B-C,则A+C=B,又A+B+C=180,2B=180,B=90,故必有一个内角等于90.故选D.5.C如图,易得1=4+2.又4=90-30=60,2=3=90-45=45,1=4+2=60+45=105.6.30由题意得=2,=100,则=50,故最小的内角度数为180-100-50=30.7.

18、A8.DA=65,ANM=45,AMN=180-A-ANM=70.点M,N分别是AB,AC的中点,MN是ABC的中位线,MNBC,B=AMN=70.故选D.9.CA=30,B=50,ACB=180-30-50=100.CD平分ACB,BCD=12ACB=12100=50,ADC=BCD+B=50+50=100.10.B如图,过点B作BECD,垂足为点E.点D是ABC的内心,BD,CD分别平分ABC,ACB,BDC=180-12(ABC+ACB)=180-12(180-A)=180-60=120.在RtBDE中,BDE=60,BD=4,BE=32BD=23,SDBC=12CDBE=12223=2

19、3.11.=连接CD,易知CDAB,SABC=SABD.12.8如图,ABC的周长为16cm,DE,DF,EF是ABC的中位线,DE=12BC,DF=12AC,EF=12AB,DE+DF+EF=12(BC+AC+AB)=1216=8(cm),三条中位线构成的三角形的周长为8cm.13.略14.略15.B当腰长是3,底边是7时,3+341,9,40,41是勾股数.24.A由三角板的特点可知ACB=45,DEF=30.EFBC,CEF=ACB=45,CED=CEF-DEF=45-30=15.故选A.25.B等腰直角三角形ABC的腰长为4,斜边AB=42.易知点P在以点C为圆心,PC为半径的圆上,当

20、点P在斜边AB的中线上,且点M为AB的中点时,PM的值最小.连接CM,ABC是等腰直角三角形,CM=12AB=22.PC=2,PMmin=CM-CP=22-2.26.B在RtABC中,AB=AC2+BC2=82+62=10.CD是RtABC斜边上的中线,CD=12AB=5.BE=BC,点F为DE的中点,BF是CDE的中位线,BF=12CD=2.5.27.B设选取的三块纸片的面积分别为a,b,c(abc),则三块纸片的边长分别为a,b,c,所围成的三角形的面积S=12ab=12ab.根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片有6种情形:a=b=1,c=2,此时S=12;a=1,b=2,c=3

21、, 此时S=22;a=1,b=3,c=4, 此时S=32;a=1,b=4,c=5, 此时S=1;a=2,b=2,c=4, 此时S=1;a=2,b=3,c=5, 此时S=62.122232162,选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的直角三角形的面积最大.28.70CD是斜边AB上的中线,CD=12AB=AD,DCA=A=20,BCD=90-DCA=70.29.略30.略综合提升练1.D如图(1),作PQDM,则DMPQ,DM=PQ=12,QD=PM,四边形PCDQ的周长为PQ+QD+CD+CP=3+PM+PC,求四边形PCDQ周长的最小值,只需求PM+PC的最小值.如图(2),分别过

22、点D,M作AB的垂线DT,MO,垂足分别为点T,O,则四边形TDMO是矩形.延长MO至点M,使OM=OM,连接CM交AB于点P,此时PM+PC的值最小,最小值为CM的长.过点C作CIAB于点I,过点M作MNCI交CI的延长线于点N.易得AT=14,NI=MO=OM=TD=34,CN=332+34=734,NM=OI=32-14-12=34,MC=(734)2+(34)2=392,四边形PCDQ周长的最小值为3+392.图(1)图(2)2.CCDAB,ADC=BDC=90,DCB=90-B=40.点F为AC的中点,CF=12AC.CD=CF,CD=12AC,A=30,ACD=60.CE平分BCD

23、,DCE=12BCD=20.DE平分BDC,CDE=12BDC=45,CED=180-20-45=115,ACD+CED=60+115=175.故选C.3.C由题意可知ACD是等腰直角三角形,ACD=45,AC=2AD=6.BCD=75,点M,N是AC的三等分点,ACB=30,AM=MN=NC=2,AB=12AC=3,BC=ACcosACB=33.PMN的周长为7,PM+PN=5.如图,当点P在BC边上时,以直线BC为对称轴作线段AC的对称图形AC,点M的对称点为M,连接MN交BC于点P,则PM=PM,PM+PN的最小值为线段MN的长.连接MM,易证MMC是等边三角形.又点N为MC的中点,MN

24、MC,MN=MCsin60=235,故在AB边上,不存在点P使PMN的周长为7.当点P在边AD或边CD上时,易得PM+PN的最小值为25,当点P分别与点A,D重合时,PM+PN的值分别为6,210,故在边AD与边CD上,点P分别有两个位置,使得PM+PN=5,即使得PMN的周长为7.综上所述,使得PMN的周长为7的点P的位置有6处.4.27AB=AD,A=60,ABD为等边三角形,BD=AB=8.又ABCE,DEF=DAB=60,DFE=DBA=60,DEF为等边三角形.如图,连接AC,交BD于点M.AB=AD,CB=CD,直线AC垂直平分线段BD,BM=MD=4,ACBD.设DF=x,则EF

25、=x,MF=4-x,CF=6-x.CFM=DFE=60,CF=2MF,6-x=2(4-x),解得x=2,故MF=2,CF=4,CM=3MF=23,BC=CM2+BM2=(23)2+42=27.5.5485在RtABC中,AC=3,BC=4,ACB=90,AB=5.SABC=12ACBC=12ABCD,ACBC=ABCD,CD=ACBCAB=125.在RtBCD和RtACD中,根据勾股定理,得BD=BC2-CD2=165,AD=AC2-CD2=95.如图,过点E作EMAB于点M,则EMCD.又点E是BC的中点,点M是BD的中点,BM=DM=12BD=85,EM是BCD的中位线,EM=12CD=65.易知AM=DM+AD=175.EMCD,ADFAME,DFEM=ADAM,即DF65=95175,DF=5485.6.略全国视野创新练如图(1)、图(2)、图(3)所示,其中一个等腰三角形的腰长可以是1,2,2-1,2-2,32.矩形中任意两点连线,对角线最长,最长为3,故不存在以3为腰的等腰三角形.故答案为.图(1)图(2)图(3)