安徽省2023中考数学 第4章 三角形 第5节 解直角三角形试题.docx

1、第四章三角形第五节解直角三角形考 点 帮易错自纠易错点1根据定义求锐角三角函数值时忽略“直角三角形”这个前提1.如图,在44的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sinACB的值为(D)A.355B.175C.35D.45易错点2误认为坡度是“坡面的水平宽度与铅直高度的比”2.如图所示的斜坡AB的坡度为34,若坡面AB长为 10m,则BC=6m.易错点3直角三角形的直角顶点不明确,求锐角三角函数值时忽略分类讨论3.2019浙江杭州在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=32或255.方 法 帮提分特训1.2020湖北十堰要想使人安全地攀上

2、斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足5075.如图,现有一架长为6m的梯子AB斜靠在墙面BC上,当梯子底端A离墙面2m时,人是否能够安全地攀上梯子的顶端?(参考数据:sin500.77,cos500.64,sin750.97,cos750.26)解:当=50时,cos50=ACAB=AC6,所以AC=6cos5060.64=3.84(m).当=75时,cos75=ACAB=AC6,所以AC=6cos7560.26=1.56(m),所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子底端与墙面的距离应该在1.56m3.84m之间(包括1.56m和3.84m),故当梯子底端离墙面

3、2m时,人能够安全地攀上梯子的顶端.2.2020山东菏泽如图,某兴趣小组为了测量大楼CD的高度,先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处,然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53,已知斜坡AB的坡度i=12.4,点A到大楼的距离AD为72米,求大楼的高度CD.(参考数据:sin5345,cos5335,tan5343)解:如图,过点B作BEAD于点E,BFCD于点F,易知四边形BEDF是矩形,FD=BE,FB=DE.在RtABE中,BEAE=12.4=512.设BE=5x,AE=12x,根据勾股定理,得AB=13x,13x=52,解得x=4,FD=BE=5x=20,AE=12x=48,FB=DE=

4、AD-AE=72-48=24,在RtCBF中,CF=FBtanCBF2443=32,CD=FD+CF=20+32=52(米).答:大楼的高度CD约为52米.3.“防洪防汛,人人有责”.为加强防洪工作,某灾区在某一楼顶上竖起4米高的宣传牌(GH).如图,在点A处,用测角仪测得点H的仰角为26.6,在点B处测得点G的仰角为38.7.已知测角仪AE=1.5米,AB=10米,求楼高CH.(点A,B,C,E,F,H,G在同一平面上)(参考数据:tan26.60.50,sin26.60.45,tan38.70.80,sin390.63)解:如图,延长EF交CH于点D,则CD=BF=AE=1.5,EF=AB

5、=10.在RtDEH中,DE=DHtanDEH2DH.在RtDFG中,DF=DGtanDFG54(DH+4).由题意可知DE-DF=10,2DH-54(DH+4)=10,解得DH=20,CH=DH+CD=20+1.5=21.5.故楼高CH约为21.5米.4.2020合肥蜀山区一模某校数学兴趣小组选取南淝河两岸互相平行的一段,开展了测量这段河的宽度的活动.如图,在河的南岸边点A处,测得河的北岸边点C在其东北方向,然后向南走20m到达点B处,测得点C在点B的北偏东30方向上.(1)求ACB的度数;(2)求出这段河的宽度.(结果精确到1m.参考数据:21.41,31.73)解:(1)如图,延长BA交

6、CE于点D.由题意得CAD=45,B=30,ACB=CAD-B=15.(2)设这段河的宽度为xm,则CD=AD=xm,BD=(x+20)m.在RtBCD中,B=30,tanB=CDBD=33,即xx+20=33,x=10(3+1)10(1.73+1)27.真 题 帮【考法速览】考法1解直角三角形(10年2考)考法2解直角三角形的实际应用(10年8考)考法1解直角三角形1.2020安徽,8如图,RtABC中,C=90,点D在AC上,DBC=A.若AC=4,cosA=45,则BD的长度为(C)A.94B.125C.154D.42.2012安徽,19如图,在ABC中,A=30,B=45,AC=23,

7、求AB的长.解:过点C作CDAB于点D(如图).在RtACD中,A=30,AC=23,所以AD=ACcos30=2332=3,CD=ACsin30=3.在RtBCD中,B=45,所以BD=CD=3,故AB=AD+BD=3+3.考法2解直角三角形的实际应用类型1背靠背型3.2015安徽,18如图,平台AB高为12米,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45,底部点C的俯角为30,求楼房CD的高度.(参考数据:31.7)解:如图,作BECD于点E,则CE=AB=12米.在RtBCE中,BE=CEtanCBE=12tan30=123(米).在RtBDE中,DBE=45,DE=BE=123米.CD=CE

8、+DE=12+12332.4(米),故楼房CD的高度约为32.4米.类型2母子型4.2020安徽,18如图,山顶上有一个信号塔,已知信号塔的高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的仰角CBD=36.9,塔顶A的仰角ABD=42.0,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上).(参考数据:tan36.90.75,sin36.90.60,tan42.00.90)解:在RtABD和RtCBD中,AD=BDtanABD0.9BD,CD=BDtanCBD0.75BD,于是AC=AD-CD=0.15BD.因为AC=15米,所以BD=100米,所以CD=0.75BD=75米.答:山高CD约为75米.5.2

9、018安徽,19为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米.(结果保留整数,参考数据:tan39.30.82,tan84.310.02)解:如图,过点F作FGAB于点G,则AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.由题意知ABE和FDE均为等腰直角三角形,AB=BE,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=AB+1.8.

10、在RtAFG中,AG=FGtanAFG,AB-1.80.82(AB+1.8),解得AB18.218.答:旗杆AB的高度约为18米.6.2016安徽,19如图,河的两岸l1与l2相互平行,A,B是l1上的两点,C,D是l2上的两点.某人在点A处测得CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得DEB=60,求C,D两点间的距离.解:如图,过点D作l1的垂线,垂足为点F.DEB=60,DAB=30,ADE=DEB-DAB=30,DE=AE=20米.在RtDEF中,EF=DEcos60=2012=10(米).DFAF,DFB=90,ACDF.l1l2,CDAF,

11、四边形ACDF为矩形,CD=AF=AE+EF=30米.答:C,D两点间的距离为30米.7.2013安徽,19如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中ADBC,坡角=60.汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角=45.若原坡长AB=20m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)解:过点A作AFBC于F.在RtABF中,ABF=60,AF=ABsin60=2032=103(m).在RtAEF中,=45,EF=AF=103m.AE=AF2+EF2=106m,即改造后的坡长AE为106m.8.2011安徽,19如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高的C处的飞机上,

12、测量人员测得正前方A,B两点处的俯角分别为60和45,求隧道AB的长.(参考数据:31.73)解:由题意可知COB为等腰直角三角形,OB=OC=1500m.在RtCOA中,ACO=90-60=30,OA=OCtan30=150033=5003(m),AB=OB-OA=1500-50031500-5001.73=635(m).故隧道AB的长约为635m.类型3解有公共顶点的两个直角三角形9.2017安徽,17如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600m,=75,=45,求DE的长.(参考数据:sin750.97,cos750.26,2

13、1.41)解:在RtBDF中,由sin=DFBD可得,DF=BDsin=600sin45=60022=3002423(m).在RtABC中,由cos=BCAB可得,BC=ABcos=600cos75156(m).所以DE=DF+EF=DF+BC423+156=579(m).10.2014安徽,18如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30角,长为20km;BC段与AB,CD段都垂直,长为10km;CD段长为30km.求两高速公路间的距离(结果保留根号).解:如图,过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E,过点E作l1的垂线与l1,l2分

14、别交于点H,F,则HFl2.由题意知ABBC,BCCD.又AEAB,四边形ABCE为矩形.AE=BC,AB=EC.DE=DC+CE=DC+AB=30+20=50(km).又AB与l1成30角,EDF=30,EAH=60.在RtDEF中,EF=DEsin30=5012=25(km),在RtAEH中,EH=AEsin60=1032=53(km),HF=EF+HE=(25+53)km,即两高速公路间的距离为(25+53)km.作 业 帮基础分点练(建议用时:40分钟)考点1解直角三角形1.2020浙江杭州如图,在ABC中,C=90,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(B)A.c=bsinBB.

15、b=csinBC.a=btanBD.b=ctanB2.2020四川南充如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sinBAC=(B)A.26B.2626C.2613D.13133.2020贵州遵义中考改编构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan15时,如图,在RtACB中,C=90,ABC=30,延长CB使BD=AB,连接AD,得D=15,所以tan15=ACCD=12+3.类比这种方法,计算1tan22.5的值为(A)A.2+1B.2-1C.2D.124.2020山东菏泽如图,在ABC中,ACB=90,点D为AB边的中点,连接CD,若BC=4,CD=3,则cosDC

16、B 的值为23.5.2019四川雅安中考改编在RtABC中,AB=5,BC=4,则sinA=45或44141.6.2019广西柳州如图,在ABC中,sinB=13,tanC=22,AB=3,则AC的长为3.考点2解直角三角形的实际应用7.2020浙江温州如图,在离铁塔150米的D处,用测倾仪测得塔顶的仰角为,测倾仪的高AD为1.5米,则铁塔的高BC为(A)A.(1.5+150tan)米B.(1.5+150tan)米 C.(1.5+150sin)米D.(1.5+150sin)米8.2020四川自贡如图,我市在建高铁的某段路基的横断面为梯形ABCD,DCAB.BC长为6米,坡角为45,AD的坡角为

17、30,则AD的长为62米(结果保留根号).9.2020湖北孝感某型号飞机的机翼形状如图所示,其中ABCD,根据图中数据计算AB的长为(533-1.6)m.(结果保留根号)10.2020合肥庐阳区模拟如图,水渠两边ABCD,一个矩形竹排EFGH斜放在水渠中,AEF=45,EGD=105,竹排宽EF=2米,求水渠的宽.解:如图,过点F作FPAB于点P,延长PF交CD于点Q,则FQCD.在RtPEF中,PEF=45,EF=2,PF=EFsin45=2.ABCD,AEG=EGD=105,GEF=AEG-AEF=105-45=60,FG=EFtanGEF=2tan60=23.EGF=90-GEF=30,

18、FGQ=180-EGD-EGF=180-105-30=45,FQ=FGsin45=2322=6,PQ=PF+FQ=2+6,即水渠的宽为(2+6)米.11.2020湖北荆门如图,海岛B在海岛A的北偏东30方向,且与海岛A相距20海里,一艘渔船从海岛B出发,以5海里/时的速度沿北偏东75方向航行,同时一艘快艇从海岛A出发,向正东方向航行.2小时后,快艇到达C处,此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.(1)求ABE的度数;(2)求快艇的速度及C,E之间的距离.(参考数据:sin150.26,cos150.97,tan150.27,31.73)解:(1)如图,过点B作BDAC于点D,作BFCE于点F.由

19、题意得NAB=30,GBE=75.ANBD,ABD=NAB=30.又DBE=180-GBE=180-75=105,ABE=ABD+DBE=30+105=135.(2)BE=52=10(海里).在RtBEF中,EBF=90-75=15,EF=BEsin15100.26=2.6(海里),BF=BEcos15100.97=9.7(海里).在RtABD中,AB=20海里,ABD=30,AD=ABsin30=2012=10(海里),BD=ABcos30=2032=103101.73=17.3(海里).BDAC,BFEC,CEAC,BDC=DCF=BFC=90,四边形BDCF为矩形,DC=BF=9.7海里

20、,FC=BD=17.3海里,AC=AD+DC=10+9.7=19.7(海里),CE=EF+CF=2.6+17.3=19.9(海里).设快艇的速度为v海里/时,则v=19.72=9.85.答:快艇的速度约为9.85海里/时,C,E之间的距离约为19.9海里.12.2020合肥包河区二模某水产养殖户计划开发一个三角形的养殖区域,已知三角形顶点A,B,C的位置如图所示,CAB=105,B=45,AB=1002米.(1)求养殖区域ABC的面积;(2)养殖户计划在边BC上选一点D,修建垂钓栈道AD,测得CAD=40,求垂钓栈道AD的长.(参考数据:21.41,31.73,sin200.34,cos200

21、.94,tan200.36.结果保留整数)解:(1)如图,过点A作AHBC于点H.在RtABH中,B=45,AB=1002,AH=BH=100,BAH=45,CAH=105-45=60.在RtACH中,CH=100tan60=1003,CB=100(1+3),SABC=12BCAH=12100(3+1)10013650.答:养殖区域ABC的面积约为13650米2.(2)如图,CAD=40,DAH=CAH-CAD=20.在RtADH中,cosDAH=AHAD,AD=AHcos201000.94106.答:垂钓栈道AD的长约为106米.13.2019山东潍坊自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行

22、健身的人越来越多.为方便群众步行健身,某地政府决定对一段坡路进行改造,改造后如图(1)所示.改造前的斜坡AB=200米,坡度为13,如图(2)所示.将斜坡AB的高度AE降低20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为14,点E,B,D在同一水平线上.求斜坡CD的长.(结果保留根号)图(1)图(2)解:在RtABE中,tanABE=13=33,ABE=30.AB=200米,AE=100米.AC=20米,CE=100-20=80(米).在RtCDE中,tanD=14,CEED=80ED=14,ED=320米,CD=3202+802=8017(米).答:斜坡CD的长是8017米.综合提升练(建议用时:

23、10分钟)2020湖北黄冈因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园,“国庆黄金周”期间,游人络绎不绝,现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览.如图,当船在A处时,船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向;当游船向正东方向行驶600m到达B处时,游客发现遗爱亭在北偏西15方向;当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时,游客发现临皋亭在北偏西60方向.(1)求A处到临皋亭P1处的距离;(2)求临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离.(计算结果保留根号)解:(1)依题意知P2AB=45,P2BA=75,P1CA=30.如图(1),过点P1作P1MAC于点M.设P1M=xm,则在RtAP1M中,A

24、M=P1M=xm,AP1=2xm.在RtP1MC中,P1C=2P1M=2xm,MC=3xm.又AC=AB+BC=AM+MC,600+400=x+3x,x=500(3-1).AP1=2500(3-1)=(5006-5002)(m),故点A处到临皋亭P1处的距离为(5006-5002)m.图(1)图(2)(2)如图(2),过点B作BNAP2于点N.在RtABN中,ABN=45,AN=BN=AB2=6002=3002(m).在RtNP2B中,NBP2=30,NP2=NB3=30023=1006(m),AP2=AN+NP2=(3002+1006)m,P1P2=AP2-AP1=3002+1006-500

25、6+5002=(8002-4006)(m),临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为(8002-4006)m.参考答案【易错自纠】1.D如图,在RtACH中,AH=4,CH=3,AC=AH2+CH2=42+32=5,sinACB=AHAC=45.2.6由题意可知tanA=BCAC=34,易得BCAB=35,BC=35AB=3510=6(m).3.32或255设AB=k,2AB=AC,AC=2k.易知C90.当B=90时,由勾股定理得BC=AC2-AB2=(2k)2-k2=3k,cosC=BCAC=3k2k=32;当A=90时,由勾股定理得BC=AC2+AB2=(2k)2+k2=5k,cosC=A

26、CBC=2k5k=255.综上可知,cosC=32或255.提分特训14.略1.C在RtABC中,cosA=ACAB=45,则AB=54AC=5,BC=AB2-AC2=3.DBC=A,BCBD=cosDBC=cosA=45,BD=54BC=543=154.210.略基础分点练1.B根据三角函数的定义,得sinB=bc,cosB=ac,tanB=ba,b=csinB,a=ccosB,b=atanB,故选B.2.B过点B作AC的垂线,垂足为点H.不妨设小正方形的边长为1,则AC=32,AB=13.又SABC=1213=32,所以BH=SABC12AC=22,所以sinBAC=BHAB=2213=2

27、626.故选B.3.A如图,在RtACB中,C=90,ABC=45,延长CB至点D,使BD=AB,连接AD,得D=22.5.设AC=BC=1,则AB=BD=2,tan22.5=ACCD=11+2,1tan22.5=2+1.4.23过点D作DEBC,垂足为E.ACB=90,DEBC,DEAC.又点D为AB的中点,E是BC的中点,BE=EC=12BC=2.在RtDCE中,cosDCB=ECCD=23.5.45或44141在RtABC中,若AB为斜边,则sinA=BCAB=45.若AC为斜边,则AC=AB2+BC2=41,故sinA=BCAC=44141.6.3过点A作ADBC,垂足为点D.在RtA

28、BD中,sinB=13,AB=3,AD=ABsinB=1.在RtACD中,tanC=22,CD=ADtanC=2,根据勾股定理,得AC=AD2+CD2=1+2=3.7.A过点A作AEBC于点E,则BAE=,四边形AECD是矩形,AE=CD=150米,CE=AD=1.5米,BE=150tan,故铁塔的高BC=CE+BE=(1.5+150tan)米.故选A.8.62如图,过点C作CEAB于点E,过点D作DFAB于点F,则四边形CEFD为矩形,CE=DF.在RtCEB中,CE=BCsin=32米,DF=32米.在RtDFA中,AD=DFsin=62米.9.(533-1.6)如图,过点A作AEBF,交DF于点E,则四边形ABFE是矩形,AB=EF,AE=BF.由图中数据可知,CD=3.4m,CBF=30,DAE=45,F=90.在RtBCF中,CBF=30,BF=5m,CF=BFtanCBF=533=533(m).AEEF,DAE=45,RtADE是等腰三角形,DE=AE=5m,CE=DE-CD=5-3.4=1.6(m),EF=CF-CE=(533-1.6)m,故AB的长为(533-1.6)m.1013.略综合提升练略