安徽省亳州市蒙城县五校2023-2024学年高三数学上学期期中联考试题（Word版附解析）.docx

1、20232024学年高三上学期期中联考数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合， ，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ）

2、A. 1B. 2C. D. 3. 下列说法不正确是（ ）A. ，使成立B. “，有”的否定为“，使”C. ，有成立D. “，使”的否定为“，有”4. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.若请你设计一个测量方案，则需要测量的数据可以是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 6. 在中，与交于点，且，则（ ）A. B. C. D. 17. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 设，则（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题

3、5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. （多选）函数(，)在一个周期内的图像如图所示，则（ ）A. 该函数的解析式为B. 该函数图像的对称中心为，C. 该函数的增区间是，D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像10. 十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知函数，函数，

4、则方程解的个数可能是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 512. 已知定义在上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则（ ）A. 的周期为4B. 的图象关于直线对称C. D 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 _.14. 已知，则在方向上投影向量的坐标为_.15. 已知函数，则不等式的解集为_.16. 已知等腰直角三角形的斜边，且的内切圆圆心为，则其半径_；若点在以为圆心，1为半径的圆上，则与的面积之比的最大值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.（1）请将这一

5、事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；（2）在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.18. 已知向量，其中，且函数的对称轴间的距离最小值为.（1）求的解析式；（2）方程在上有且仅有两个不同的实数解，求实数的取值范围.19. 低碳环保新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，已知国道限速.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的部分数据如下表所示：0104060082524004200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗

6、电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：；.（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出相应的函数表达式；（2）现有一辆同型号纯电动汽车在甲、乙两地间的国道上匀速行驶，其中甲、乙两地间国道长度为，求车速为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？20. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在使？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.21. 在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件；条件.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答.你选择的条件是_.（1）求角；（2）若为边上

7、一点，且，.当的面积取到最大值时，求角.注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分.22 已知函数.（1）证明：时，；（2）当时，证明：不等式对恒成立.20232024学年高三上学期期中联考数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共

8、40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合， ，则（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用集合的基本运算求解即可.【详解】，即，即，所以.故选：D.2. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据复数的乘方及复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义及复数的模的计算公式即可得解.【详解】因为，则，即为，所以，则.故选：A.3. 下列说法不正确的是（ ）A. ，使成立B. “，有”的否定为“，使”C. ，有成立D. “，使”的否定为“，有”【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题和特称量词命

9、题的否定的概念以及其真假的判断方法一一判断.【详解】对于，当成立，A正确；对于，“，有”的否定为“，使”，B错误；对于C,，有成立，C正确；对于D，“，使”的否定为“，有”，D正确故选:B.4. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.若请你设计一个测量方案，则需要测量的数据可以是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据题意结合正弦定理和余弦定理分析判断.【详解】对于选项：当测出，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，在中，可得，由余弦定理即可求得间的距离；对于选项：结合选项A可知：中仅确定，条件不足，无法求出，所以无法

10、求得间的距离，且中仅能得出边BM，所以无法求得间的距离，故B错误；对于选项C：中仅确定，条件不足，无法求出，更无法求得间的距离，故C错误；对于选项，结合选项A可知：中仅确定，条件不足，无法求出，所以无法求得间的距离，且中仅能得出边，所以无法求得间的距离，故D错误；故选：.5. 已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析的单调性，即可得到的单调性及变化趋势，即可判断.【详解】由题知且不恒等于，又在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，即当时，的值由小变大，再由大变小，即函数图象从左到右是单调递增，且变

11、化趋势是先慢后快再变慢.故选：B.6. 在中，与交于点，且，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得和，运算求解即可.【详解】因为，则为的中点，可得，注意到三点共线，可得，又因为三点共线，则，则存在实数，使得，即，则，可得，综上所述：，解得，可得.故选：B.7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由导函数在上恒成立可得【详解】，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，即当时，恒成立，因为对称轴为，当时，所以当时，不恒成立，不符题意；当时，当时，恒成立，则，解得故选：D

12、8. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数函数的单调性，直接比较a和b的大小；构造函数，求导判断其单调性，进而比较b和c的大小.【详解】，令，令，所以，即，故在上单调递增，所以，即，综上，.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. （多选）函数(，)在一个周期内的图像如图所示，则（ ）A. 该函数的解析式为B. 该函数图像的对称中心为，C. 该函数的增区间是，D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函

13、数图像【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解.【详解】由题图可知，周期，所以，则，因为当时，即，所以，即，又，故，从而，故A正确；令，得，故B错误；令，得，故C正确；函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到，故D正确故选:ACD10. 十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记

14、两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解.【详解】设一楼到五楼的距离为，由题知，A错误；因为，且，所以，所以，所以，又因为，（因为，所以取不到等号），所以，B正确；对C，因为，所以，又因为，所以，即，C正确；对D，因为，所以，即，D正确；故选:BCD.11. 已知函数，函数，则方程解的个数可能是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】ABC【解析】【分析】先利用导函数研究出的单调性和极值情况，得到的图象，进而得到的图象，令，则，得到有两个不等实根，分别是和，得到，且，从而分，；

15、，和，三种情况，结合函数图象得到答案.【详解】因为的导函数是，所以，当时，函数单调递增；当时，函数单调递递减，所以有极小值另外有有且，画出简图，如图所示.所以由图形变换可得的简图，如下：令，则，因为，所以，故有两个不相等的实数根，令方程有两个根分别是和，则，且，所以且.当时，此时有三个解，有一个解，故有四解；当时，此时有两个解，有一个解，故有三解；当时，此时有1个解，有1个解，故有两解；故选：ABC.【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：利用换元思想，设出内层函数；分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在

16、不同范围下的零点个数.12. 已知定义在上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则（ ）A. 的周期为4B. 的图象关于直线对称C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据已知可得图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期可判断A；对两边求导可判断B；根据，可判断CD.【详解】为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称，所以，可得，则的周期为4，故A选项正确；又，则的图象关于对称，故选项B错误；又，所以，故选项C正确；由以上可知，但是不知道等于多少，函数的周期为4，则，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. _.【答案】【解析】【

17、分析】直接利用诱导公式即可求解.【详解】.故答案为：14. 已知，则在方向上投影向量的坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据投影向量的公式计算出答案.【详解】.故答案为：15. 已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】先判断和函数的奇偶性，可判断出是上的偶函数，继而得出取值范围对应的函数值得正负，再根据，分情况讨论，得出答案.【详解】解：易知是上的奇函数，当时，当时，当时，当时，；函数是上的奇函数，当时，当时，.所以是上的偶函数，且当时，当时，当时，当时.偶函数的性质可知，当时，当时，当时，另外，得，得，得；所以由等价于或，得.故答案是：16. 已知等腰直角三角形的斜边，且的内切

18、圆圆心为，则其半径_；若点在以为圆心，1为半径的圆上，则与的面积之比的最大值为_.【答案】 . . 【解析】【分析】因为到每条边的距离即内切圆半径，所以，代入即可求半径；表示出与的面积之比即，当且仅当在近侧与圆相切时最大，求解即可.【详解】因为，所以，三角形为等腰直角三角形，所以，所以因为为的内切圆圆心，所以，因为到每条边的距离即内切圆半径，所以，即， 因为为的内切圆圆心，所以，则，与面积之比即为， 由于与均为锐角且互余，上式即为.易知最大当且仅当在近侧与圆相切时，此时记切点为，如下图，连接，则，所以 所以，即为所求最大值.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、

19、证明过程或演算步骤.17. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；（2）在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.【答案】（1）若，则；证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）用作差比较法即可；（2）结合（1）的结论即可证明.【小问1详解】若，则.证明：.因为，所以，又，故，因此.【小问2详解】在锐角三角形中，由（1）得，同理，.以上式子相加得.18. 已知向量，其中，且函数的对称轴间的距离最小值为.（1）求的解析式；（2）方程在上有且仅有两个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【

20、分析】（1）利用向量的数量积运算得到，再根据周期求出即可；（2）先求出的取值范围，再根据条件得出的取值范围.【小问1详解】，由于函数的对称轴间的距离最小值为，从而函数的最小正周期为，所以.，综上，.【小问2详解】，当时，单调递增，此时，当时，单调递减，此时，所以满足条件的取值范围为.19. 低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，已知国道限速.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的部分数据如下表所示：010406

21、0082524004200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：；.（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出相应的函数表达式；（2）现有一辆同型号纯电动汽车在甲、乙两地间的国道上匀速行驶，其中甲、乙两地间国道长度为，求车速为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？【答案】（1）选择， （2）行驶速度为时，该车从甲地行驶到乙地的总耗电量最少，最少为【解析】【分析】（1）由题意选择合适的函数模型，代入数据求得参数即可.（2）由题意将总耗电量的表达式先求出来，然后根据二次函数取最值的条件即可求解.【小问1

22、详解】由题意显然选择，由表中数据，可得，解得，.【小问2详解】国道上行驶，所用时间为，则所耗电量为，当时，当这辆车在国道上的行驶速度为时，该车从甲地行驶到乙地的总耗电量最少，最少为.20. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在使？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1） （2）不存在的值，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；（2）假设存在的值，使得，依题意可得、是方程的两不等实数解，利用韦达定理得到且，不妨令，则，即可表示出，即可得到，再构造函数，利用导数说明函数

23、的单调性，即可判断.【小问1详解】由题意得：函数的导函数.当时，即是切点为，所以曲线在处的切线方程是，即；【小问2详解】不存在的值.假设存在的值，使得，易知：、是方程的两不等实数解，即且，不妨令，则，因为，所以由得，令，而恒成立.所以在上单调递增，即，所以当时，恒成立，即无解.所以不存在值，使得.21. 在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件；条件.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答.你选择的条件是_.（1）求角；（2）若为边上一点，且，.当的面积取到最大值时，求角.注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分.【答案】21. 条件选择见解析， 22. 【解析】【分析】（

24、1）选条件，利用正弦定理，结合两角差的正弦公式以及辅助角公式求解；选条件，利用正弦定理，结合两角和差的正弦公式可得，进而可得答案.（2）求得，平方可得，再利用基本不等式，结合正弦定理。余弦定理求解即可.【小问1详解】选条件：由，及正弦定理，.又为内角，所以，从而，即，则，或（舍去），从而.选条件：由，及正弦定理，.又为内角，所以，代入上式即得，而，所以，从而.则，或（舍去），因此，.【小问2详解】由为边上一点，且，从而，即.平方，得，即，由基本不等式，等号当且仅当时成立，此时有最大值，从而面积为也有最大值.当时，由余弦定理，可得由正弦定理，又，所以.22. 已知函数.（1）证明：时，；（2）当时，证明：不等式对恒成立.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）构造，利用导数研究单调性，即可证结论；（2）由（1）得，且在上成立，分析法将问题化为证，再构造函数利用导数证明即可.【小问1详解】令，则，令，故，对恒成立，故在上单调递增，从而，故在上单调递增，从而，即时，恒有成立.【小问2详解】对于，由（1）得，且，对于，要证，只需证，即证，当时，显然成立；当时，即证，令，则，令，则，故时，故在上单调递增，所以故在上单调递增，所以，即成立.综上：当时对恒成立.