2014年高考数学总复习（人教新课标理科）配套精讲课件：第七章　平面解析几何 第十一节.ppt

1、第十一节 轨迹方程的求法第七章 平面解析几何考 纲 要 求1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2能根据所给条件求出点的轨迹方程课 前 自 修知识梳理一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化

2、为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐暧泄氐姆匠(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用.(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点

3、坐标M(x，y)；列几何等式：写出适合条件的点的集合P=M|P(M)，关键是根据条件列出适合条件的等式；化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；化简：把方程f(x，y)=0化成最简形式；证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤可以省略不写如有特殊情况，可适当加以说明，步骤也可省略(2)求曲线轨迹方程应注意的问题要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性；若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位

4、置、类型基础自测1(2012合肥市月考)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则点Q的轨迹方程是()A2x+y+1=0 B2x-y-5=0C2x-y-1=0 D2x-y+5=0解析：由题意知M是PQ是中点，设Q(x，y)，由中点公式可得P(2x,4y)，代入已知直线方程2xy30得2xy50.故选D.答案：D2(2012泉州市质检)方程x2+xy=x的曲线是()A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线解析：方程变为x(xy1)0，x0或xy10.表示两条直线故选C.答案：C3已知椭圆=1的左、右两个焦点分别是F1

5、，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得|PQ|=|F2P|，则Q的轨迹方程是_解析：提示：用定义法求轨迹方程答案：(x1)2y216考 点 探 究考点一用直接法求点的轨迹【例1】已知直角坐标系中，点Q(2,0)，圆C的方程为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与的比等于常数l(l0)，求动点M的轨迹点评：(1)求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程，而且要说明轨迹是什么(2)当轨迹方程中含有参数时，应对参数进行分类讨论变式探究1(2012襄阳市调研)平面内动点P(x，y)与A(-2，0)，B(2,0)两点连线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为()A.+y2=1

6、B.-y2=1C.+y2=1(x2)D.-y2=1(x2)考点二用定义法求点的轨迹方程【例2】如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：(x+1)2+y2=16上的一动点，点B(1,0)，点M是BN的中点，点P在线段AN上，且.(1)求动点P的轨迹方程；(2)试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系，并说明理由点评：本题考查求曲线方程的基本方法定义法及两圆间的位置关系变式探究2(2012厦门市模拟)已知点F ，直线l：x=-，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆D抛物线解析：已知|MF|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹

7、是以F为焦点，l为准线的抛物线故选D.答案：D考点三用相关点代入法求轨迹方程【例3】如图所示，已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程思路点拨：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程解析：设AB的中点为R，坐标为(x，y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)，又|AR|=|PR|=，所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2)，即

8、x2+y2-4x-10=0，因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的轨迹上运动设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，整理得x2+y2=56，这就是所求的轨迹方程点评：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程变式探究3设P为圆x2+y2=1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若(其中l为正常数)，则点M的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线考点四用待定系数法求点的轨迹方程【例4】(2011佛山市一模)已知椭圆C：=1(ab0)的离心率为e=，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径

9、的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左、右两个顶点，P为椭圆C上的动点(1)求椭圆的标准方程；(2)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值；(3)M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=l，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.变式探究考点五用交轨法求点的轨迹方程【例5】(2012温州市适应性测试)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E，F，G，H分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设(l0)(1)求直线EP与GQ的交点M的轨迹的方程；(2)过圆x2+y2=r2(0r1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标

10、原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析：曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a1，与条件不符；曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1|PF2|a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1|PF2|a2；三角形的面积SF1F2P ，因为SF1F2P|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|.所以正确答案：2(2012辽宁卷)如图，椭圆C0：=1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2+y2=t ，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点.(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2+y2=t 与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2b0)过点P(，1)，F1，F2，为其左、右焦点，且PF1F2的面积等于.(1)求椭圆E的方程(2)若M，N是直线x=-上的两个动点，满足F1MF2N，问：以MN为直径的圆C是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由