2022秋高中数学 模块综合测评 新人教A版选择性必修第一册.docx

1、模块综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东青岛模拟)“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.如图,四面体S-ABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,则SE=()A.13SA+12SB+13SCB.23SA+16SB+16SCC.12SA+14SB+14SCD.12SA+13SB+16SC3.圆P:(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q的方程是()A.(x+2)2+

2、(y-1)2=1B.(x+2)2+(y-5)2=1C.(x-2)2+(y+5)2=1D.(x-4)2+(y+3)2=14.如图,在一个60的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,若AB=AC=BD=4,则线段CD的长为()A.43B.16C.8D.425.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.2,32B.2,22C.22,32D.1,326.(2021辽宁沈阳期末)正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛

3、物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cm7.如图,四棱柱S-ABCD中,底面是正方形,各侧棱都相等,记直线SA与直线AD所成角为,直线SA与平面ABCD所成角为,二面角S-AB-C的平面角为,则()A.B.C.D.8.已知双曲线x24y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,|AB|=35,M(4,1),若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|t,则t的最小值为()A.52B.2C.52+4D.52-4二、选择题:本题

4、共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在下列四个命题中,错误的有()A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角的取值范围是0,C.若一条直线的斜率为tan ,则此直线的倾斜角为D.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为tan 10.若a=(-1,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120,则的值为()A.17B.-17C.-1D.111.(2021河北石家庄检测)已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.椭圆C的焦距为5B.

5、椭圆C的离心率为306C.圆D在椭圆C的内部D.|PQ|的最小值为25512.定义空间两个向量的一种运算ab=|a|b|sin,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A.ab=baB.(ab)=(a)bC.(a+b)c=(ac)+(bc)D.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.14.下列结论中,正确的个数是.若a,b,c共面,则存在实数x,y,使a=xb+yc若a,b,c不共面,则不存在实数x,y

6、,使a=xb+yc若a,b,c共面,b,c不共线,则存在实数x,y,使a=xb+yc若a=xb+yc,则a,b,c共面15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的余弦值是.16.(2021山东聊城期末)已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,|AB|=8,则p=,M为抛物线弧AOB上的动点,AMB面积的最大值是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)

7、已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)l过点P(2,1)且在x轴、y轴上截距的绝对值相等.18.(12分)已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),(1)求平面ABC的一个法向量;(2)证明:向量a=(3,-4,1)与平面ABC平行.19.(12分)(2021河南洛阳检测)过点P(0,2)的直线与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点.(1)若AP=2PB,且点A在第一象限,求直线AB的方程;(2)若A,B在直线y=-2上的射影分别为A1,B1,线段A1B1的中点为Q,求证:BQPA1.20.(12分)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互

8、相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点. (1)求证:AM平面BDE;(2)求二面角A-DF-B的大小;(3)试在线段AC上找一点P,使得PF与CD所成的角是60.21.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在抛物线C上,点A(-2p,0).若当MFx轴时,MAF的面积为5.(1)求抛物线C的方程;(2)若MFA+2MAF=,求点M的坐标.22.(12分)(2021黑龙江双鸭山期中)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:x24+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆C上且异于点A,B,直线AP,PB与直线l:y=-2分别交于点M,N.(1)设直线PA,

9、PB的斜率分别为k1,k2,判断k1k2是否为定值?请证明你的结论.(2)求线段MN长的最小值.(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过y轴上的定点?请证明你的结论.模块综合测评1.B两直线平行,斜率相等,即可得ab=4,不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,两直线平行时需ab=4,且a1,b4.故选B.2.B四面体S-ABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,SE=SA+13AD=SA+1312(AC+AB)=SA+16AC+16AB=SA+16(SCSA)+16(SBSA)=23SA+16SB+16SC.3.B圆P:(x+3)2+(y-4)2=1,圆心为(-3

10、,4),半径为1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a,b),则a-32+b+42-2=0,b-4a+3=1,解得a=-2,b=5,所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.DCD=CA+AB+BD,CD2=CA2+AB2+BD2+2CAAB+2CABD+2ABBD.CAAB,BDAB,CAAB=0,BDAB=0,CABD=|CA|BD|cos120,AB=AC=BD=4,CD2=42+42+42-21612=32,|CD|=42.5.A直线mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直

11、线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,故OPM=90,所以P在以OM为直径的圆上,圆的圆心为C(1,1),半径为2,根据点与圆的关系,|CQ|=(1+1)2+(1+1)2=22,故2=222|PQ|2+22=32.6.A设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p10,得p=5,则p2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.C连接AC,BD,交于点O,连接OS,则OA,OB,OS两两垂直,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OS为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则S(0,0,2),A(2,0,0),D

12、(0,-2,0),B(0,2,0),SA=(2,0,-2),AD=(-2,-2,0),SB=(0,2,-2),cos=|SAAD|SA|AD|=244=12,平面ABCD的法向量n=(0,0,1),cos=|nSA|n|SA|=24=22,设平面SAB的法向量m=(x,y,z),则mSA=2x-2z=0,mSB=2y-2z=0,取x=1,得m=(1,1,1),cos=|mn|m|n|=13=33,coscos.8.D双曲线的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),渐近线方程为y=bax,令x=c,解得y=bca,可得|AB|=2bca,|AB|=35,即2bca=35,由a=2,c2

13、=a2+b2,解得b=5,c=3,即有双曲线的方程为x24y25=1.由题意可知,若P在左支上,由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|,|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a|MF1|+4=(4+3)2+1+4=52+4,当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值4+52;若P在右支上,由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a,|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|-2a|MF1|-4=52-4,当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值52-4.综上可得,所求最小值为52-4.9.ABCD对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90,斜率不存在,A错误;对于B,直线倾斜

14、角的取值范围是0,),B错误;对于C,一条直线的斜率为tan,此直线的倾斜角不一定为,如y=x的斜率为tan54,它的倾斜角为4,C错误;对于D,一条直线的倾斜角为时,它的斜率为tan或不存在,D错误.10.ACa=(-1,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120,cos120=ab|a|b|=-2-25+26,解得=-1或=17.11.BC依题意可得c=6-1=5,则C的焦距为25,e=56=306.设P(x,y)(-6x6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=562+454515,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为4515=55.12.AD对于A,

15、ab=|a|b|sin,ba=|b|a|sin,故ab=ba恒成立;对于B,(ab)=(|a|b|sin),(a)b=|a|b|sin,故(ab)=(a)b不会恒成立;对于C,取a,b,c为两两垂直的单位向量,易得(a+b)c=2,(ac)+(bc)=2,则此时(a+b)c=(ac)+(bc)不成立;对于D,cos=x1x2+y1y2|a|b|,sin=1-x1x2+y1y2|a|b|2,即有ab=|a|b|1-x1x2+y1y2|a|b|2=|a|b|2-x1x2+y1y2|a|2=x12+y12x22+y22-x1x2+y1y2x12+y122=(x12+y12)(x22+y22)-(x1

16、x2+y1y2)2=x12y22+x22y12-2x1x2y1y2=|x1y2-x2y1|.则ab=|x1y2-x2y1|恒成立.13.22过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,2)的连线垂直的直线,连线的斜率是2-01-2=-2,直线l的斜率k=22.14.3对于,向量b,c共线,且a与b,c不共线时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,错误;对于,根据空间向量的共面定理,结合逆否命题与原命题的真假性,得:a,b,c不共面时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,正确;对于,若a=0时,与b,c共面,且

17、b,c不共线,则存在实数x=y=0,使a=0b+0c=0,正确;对于,根据空间向量的共面定理得,当a=xb+yc时,a,b,c共面,正确.综上,正确的命题是.15.333建立如图空间直角坐标系,A(0,1,0),B(1,0,0),C1(0,0,1),A1(0,1,1),B1(1,0,1),BC1=(-1,0,1),A1B1=(1,-1,0),AB=(1,-1,0).由cos=-122=-12,故异面直线BC1与A1B1所成角为3.设平面ABC1的一个法向量为m=(a,b,c),由mBC1=-a+c=0,mAB=a-b=0,由a=1,得m=(1,1,1),平面BC1C的一个法向量n=(0,1,0

18、),cos=13=33.16.242抛物线的方程为x2=2py(p0),过抛物线的焦点F,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,故直线AB的方程为y-p2=x-0,即y=x+p2,且直线AB的倾斜角为45.代入抛物线的方程为x2=2py,可得x2-2px-p2=0.设A,B两点的横坐标分别为m,n,m0),A(x1,y1),B(x2,y2),x10,联立方程得x2=4y,y=kx+2,消去y,得x2-4kx-8=0,=16k2+320.x1+x2=4k,x1x2=-8,又AP=(-x1,2-y1),PB=(x2,y2-2),由AP=2PB,得x1=-2x2,代入解得k=12,直线AB的方程为

19、y=12x+2,即x-2y+4=0.(2)证明设直线y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),A1(x1,-2),B1(x2,-2),Qx1+x22,-2.BQ=x1+x22-x2,-2-y2,PA1=(x1,-4).x1+x22-x2(-4)-x1(-2-y2)=4x2-x12+x1(y2+2)=2x2-2x1+x1y2+2x1=2x2+x1y2=2x2+x1x224=2x2+x24x1x2=2x2+x24(-8)=0.BQPA1.20.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系.设ACBD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别是22,22,0,(0,0,1),NE=-22,-22,1,又

20、点A,M的坐标分别是(2,2,0),22,22,1,AM=-22,-22,1.NE=AM且NE与AM不共线,NEAM.又NE平面BDE,AM平面BDE,AM平面BDE.(2)解AFAB,ABAD,AFAD=A,AB平面ADF.B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,2,1).AB=(-2,0,0)为平面DAF的法向量.NEDB=-22,-22,1(-2,2,0)=0,NENF=-22,-22,122,22,1=0,得NEDB,NENF,NE为平面BDF的法向量.cos=12.AB,NE的夹角是60,即所求二面角A-DF-B的大小是60.(3)解设P(x,x,0),PF=(2-x,2-x,1

21、),CD=(2,0,0),则cos3=2(2-x)22(2-x)2+1,解得x=22或x=322(舍去).所以当点P为线段AC的中点时,直线PF与CD所成的角为60.21.解(1)当MFx轴时,点Mp2,p,Fp2,0,则|AF|=p2+2p=5p2,|MF|=p,SMAF=12|AF|MF|=125p2p=5,解得p=2,抛物线方程为y2=4x.(2)设M(x0,y0),由(1)可知A(-4,0),F(1,0),|AF|=5.MFA+2MAF=,在FAM中,有MFA+MAF+AMF=,MAF=AMF,|FA|=|FM|.又|MF|=x0+p2=x0+1,x0+1=5,x0=4,y0=4.故点

22、M的坐标为(4,4)或(4,-4).22.解(1)是定值.证明:由题设x24+y2=1可知,点A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则由题设可知x00,所以直线AP的斜率k1=y0-1x0,PB的斜率为k2=y0+1x0,又点P在椭圆上,所以x024+y02=1(x00),从而有k1k2=y0-1x0y0+1x0=y02-1x02=-14.(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线PB的方程为y-(-1)=k2(x-0),由y-1=k1x,y=-2,解得x=-3k1,y=-2,由y+1=k2x,y=-2,解得x=-1k2,y=-2,所以直线AP与直线l的交点M

23、-3k1,-2,直线PB与直线l的交点N-1k2,-2.于是MN=3k1-1k2,又k1k2=-14,所以MN=3k1+4k1=3|k1|+4|k1|23|k1|4|k1|=43,等号成立的条件是3|k1|=4|k1|,解得k1=32,故线段MN长的最小值是43.(3)设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点,则QMQN=0,故有x+3k1x+1k2+(y+2)(y+2)=0.又k1k2=-14,所以以MN为直径的圆的方程为x2+(y+2)2-12+3k1-4k1x=0.令x=0,解得x=0,y=-2+23或x=0,y=-2-23.所以以MN为直径的圆恒过定点(0,-2+23),(0,-2-23).