2022秋高中数学 第一章 空间向量与立体几何 综合测评 新人教B版选择性必修第一册.docx

1、模块综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k的取值范围为()A.-12,12B.-12,0C.12,+D.-,-122.在空间直角坐标系中,若直线l的方向向量为a=(1,-2,1),平面的法向量为n=(2,3,4),则()A.lB.lC.l或lD.l与斜交3.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0,则l1与l2的交点一定在()A.2x2+3y2=1(x0)上B.x2+2y2=1(x0)上C.2x2+y2=1

2、(x0)上D.3x2+2y2=1(x0)上4.若双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.2335.已知圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,则实数m的取值范围是()A.(1,3)B.(-1,1)C.(3,+)D.(-3,-1)(1,3)6.(2021安徽宿州期中)若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.1,3C.(-3,-1)(1,3)D.-3,-11,37.过双曲线C:x2a2y2b2=1的

3、右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A,若以双曲线C的右焦点F为圆心、以2为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为()A.3B.2C.5D.38.如图,若抛物线过点A14,1,平行于x轴的光线经过点A反射后,反射光线经过抛物线的焦点,且交抛物线于点B,则线段AB的中点到准线的距离为()A.254B.258C.174D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(

4、-1,2,-1),则下列结论正确的有()A.APABB.APADC.AP是平面ABCD的一个法向量D.APBD10.(2021辽宁大连期中)已知F是双曲线C:x2a2y2a2=1(a0)的右焦点,点P是双曲线上任意一点,O为坐标原点,则POF的大小可能是()A.30B.45C.60D.15011.(2021辽宁沈阳检测)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是()A.x2+y2的最大值为2+5B.(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+122C.x+y的最大值为3+22D.4x-3y的最大值为812.(2021江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的

5、对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C:(x2+y2)2=4(x2-y2)是双纽线,则下列结论正确的是()A.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(x2+y2)2=4(y2-x2)D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为(-,-11,+)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设向量a=(1,2,),b=(2,2,-1),若cos=49,则实数的值为.14.如图,在

6、空间四边形OABC中,E,F分别是AB,BC的中点,H是EF上一点,且EH=14EF,记OH=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)=;若OAOB,OAOC,BOC=60,且|OA|=|OB|=|OC|=1,则|OH|=.15.(2021河北邢台检测)在ABC中,A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点C在椭圆上,且ABC=30,(AB+AC)BC=0,则该椭圆的离心率为.16.(2021江苏常州期中)已知圆C:(x-3)2+y2=1,点M在抛物线T:y2=4x上运动,过点M引直线l1,l2与圆C相切,切点分别为A,B,则|AB|的取值范围为.四、解答题:本题共6小题

7、,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)圆心为C的圆经过点A(-4,1),B(-3,2),且圆心C在直线l:x-y-2=0上.(1)求圆C的标准方程;(2)过点P(3,-1)作直线m交圆C于M,N两点,且|MN|=8,求直线m的方程.18.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.(1)借助向量证明平面A1BD平面B1CD1;(2)借助向量证明MN平面A1BD.19.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,点E,F分别在AD,BC上,且AE=1,BF=4,沿EF将四边形AEFB折成四边形AEFB,使点B在平面

8、CDEF上的射影H在直线DE上.(1)求证:平面BCD平面BHD;(2)求证:AD平面BFC;(3)求直线HC与平面AED所成角的正弦值.20.(12分)(2021浙江学业考试)如图,直线l与圆E:x2+(y+1)2=1相切于点P,与抛物线C:x2=4y相交于不同的两点A,B,与y轴相交于点T(0,t)(t0).(1)若T是抛物线C的焦点,求直线l的方程;(2)若|TE|2=|PA|PB|,求t的值.21.(12分)(2021江苏南通模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,ABDC,BC=CD=2,AB=4.M,N分别是AB,AD的中点,且PDNC,平面PAD平面ABCD

9、.(1)证明:PD平面ABCD;(2)已知三棱锥D-PAB的体积为23,求平面PNC与平面PNM的夹角的大小.22.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(2,1),且离心率为32,直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的中点为M.(1)求椭圆C的方程;(2)若APB的角平分线与x轴垂直,求PM长度的最小值.模块综合测评1.A联立kx-y-1=0,x+2y-2=0,解得x=41+2k,y=2k-11+2k,41+2k0且2k-11+2k0,-12k12.2.C由an=12+(-2)3+14=0,可知an.l或l.3.C直线l1:y=k1x+1,k1=y-1x(x0);直线

10、l2:y=k2x-1,k2=y+1x(x0).又k1k2+2=0,y-1xy+1x+2=0,整理得2x2+y2=1(x0),l1与l2的交点一定在2x2+y2=1(x0)上.4.A双曲线的渐近线方程为bxay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=22-12=3,则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=|2b+a0|a2+b2=2bc=3,即4(c2-a2)c2=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e=c2a2=4=2.5.D圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,两圆相交.又C1圆心为(0,-m),半径为2,C2圆心为(m,0),半径为22,22

11、|m|32,即1|m|3,解得-3m-1或1m3.6.C根据题意,到坐标原点的距离为1的点的轨迹方程为x2+y2=1,是圆心为(0,0),半径r=1的圆,若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则圆x2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,圆x2+(y-a)2=4,圆心为(0,a),半径R=2,则有2-1|a|2+1,即1|a|3,解得-3a-1或1a0)的渐近线方程为y=x,双曲线的渐近线与x轴的夹角为45.F是双曲线C:x2a2y2a2=1(a0)的右焦点,O为坐标原点,点P是双曲线上任意一点,0POF45或135POF180.POF的大小可能是30,150.故选

12、AD.11.BCD由x2+y2-2x-4y+1=0,知(x-1)2+(y-2)2=4,表示圆心为M(1,2),半径为r=2的圆,对于A,x2+y2的几何意义为圆上的点与原点距离的平方和,其最大值为(|OM|+r)2=(5+2)2,即A错误;对于B,(x+2)2+(y+1)2的几何意义为圆上的点与点(-2,-1)距离的平方和,其最大值为(2+32)2=22+122,即B正确;对于C,令z=x+y,则其几何意义为直线y=-x+z在y轴上的截距,当该直线y=-x+z与圆相切时,可满足题意,此时圆心M(1,2)到直线y=-x+z的距离为d=|1+2-z|2=2,解得z=322,显然zmin=3-22,

13、zmax=3+22,即C正确;对于D,令t=4x-3y,则其几何意义为直线y=43x-13t在y轴上的截距乘以-3,当该直线y=43x-13t与圆相切时,可满足题意,此时圆心M(1,2)到直线y=43x-13t的距离为d=|4-32-t|5=2,解得t=8或-12,显然tmin=-12,tmax=8,即D正确.故选BCD.12.BCD当y=0时,x4=4x2,解得x=0或2或-2,即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知-2x2,令x=1,得y2=23-3,不是整点,曲线C共经过3个整点,故A错误;x2+y2=4(x2-y2)x2+y24,曲线C上任取一点P(x,y)到原

14、点的距离d=x2+y22,故B正确;曲线C上任取一点M关于y=x的对称点为N,设N(x,y),则M(y,x),M在曲线C上,(x2+y2)2=4(y2-x2),故C正确;y=kx与曲线C一定有公共点(0,0),y=kx与曲线C只有一个公共点,则x4(1+k2)=4x2(1-k2),1-k20,k1或k-1,故D正确.13.-1227或2因为向量a=(1,2,),b=(2,2,-1),所以ab=2+4-=6-,|a|=1+4+2=5+2,|b|=4+4+1=3.若cos=49,则ab|a|b|=6-5+23=49,化简得72+108-244=0,解得=-1227或=2,则实数的值为-1227或2

15、.14.38,12,18308OH=OE+EH=OA+AE+14EF=OA+12AB+14(OFOE)=OA+12(OBOA)+1412(OB+OCOAOB)=38OA+12OB+18OC,(x,y,z)=38,12,18.OAOB,OAOC,BOC=60,且|OA|=|OB|=|OC|=1,OH2=38OA+12OB+18OC2=964|OA|2+14|OB|2+164|OC|2+21218cos60=964+14+164+116=3064,|OH|=308.15.3-12如图,作平行四边形ABEC,由(AB+AC)BC=0,得AEBC,故|AC|=|AB|=2c.又ABC=30,|BC|=

16、22csin60=23c.由椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2(1+3)c,故a=(3+1)c,离心率e=ca=13+1=3-12.16.142,217.解(1)由已知直线AB的斜率kAB=1,AB中点坐标为-72,32,所以AB垂直平分线的方程为x+y+2=0.则由x+y+2=0,x-y-2=0,解得x=0,y=-2,所以圆心C(0,-2),因此半径r=|AC|=5,所以圆C的标准方程为x2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C到直线m的距离d=52-42=3,所以当直线m斜率不存在时,其方程为x=3,即x-3=0;当直线m斜率存在时,设其方程为y+1=k(x-3),则d

17、=|-3k+1|k2+1=3,解得k=-43,此时其方程为4x+3y-9=0.所以直线m的方程为x-3=0或4x+3y-9=0.18.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0),DA1m=0,DBm=0,即2x+2z=0,2x+2y=0,令x=-1,则平面A1BD的一个法向量m=(-1,1,1).同理平面B1CD1的一个法向量为n=(-1,1,1),mn,平面A1BD平面B1

18、CD1.(2)M,N分别为AB,B1C的中点,M(2,1,0),N(1,2,1),MN=(-1,1,1),MNm,MN平面A1BD.19.(1)证明在矩形ABCD中,CDDE,点B在平面CDEF上的射影为H,则BH平面CDEF,且CD平面CDEF,BHCD.又BHDE=H,CD平面BHD.又CD平面BCD,平面BCD平面BHD.(2)证明AEBF,AE平面BFC,BF平面BFC,AE平面BFC.由DEFC,同理可得DE平面BFC.又AEDE=E,平面AED平面BFC,AD平面BFC.(3)解如图所示,过点E作ERDC,过点E作ES平面EFCD,分别以ER,ED,ES为x轴、y轴、z轴建立空间直

19、角坐标系.B在平面CDEF上的射影H在直线DE上,设B(0,y,z)(y0,z0).F(3,3,0),且BE=10,BF=4,y2+z2=10,9+(y-3)2+z2=16,解得y=2,z=6,B(0,2,6),FB=(-3,-1,6),EA=14FB=-34,-14,64.又ED=(0,5,0),设平面AED的法向量为n=(a,b,c),则有nEA=0,nED=0,即-3a-b+6c=0,5b=0,解得b=0,令a=1,得平面AED的一个法向量为n=1,0,62.又C(3,5,0),H(0,2,0),CH=(-3,-3,0),直线HC与平面AED所成角的正弦值为sin=|cos|=|CHn|

20、CH|n|=|-3+0+0|1+0+649+9+0=55.20.解(1)T(0,t)(t0)是抛物线C:x2=4y的焦点,t=1.设直线l的方程为y=kx+1,由直线l与圆E相切,得21+k2=1,即k=3,直线l的方程为y=3x+1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+t,x2=4y,得x2-4kx-4t=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4t,|PA|PB|=1+k2|x1-x0|1+k2|x2-x0|=(1+k2)x1x2-x0(x1+x2)+x02=(1+k2)x02-4(kx0+t)=(1+k2)(x02-4y0).

21、由直线l与圆E相切,得|t+1|1+k2=1,即1+k2=(t+1)2,由|TE|=t+1,|TE|2=|PA|PB|,得(1+k2)(x02-4y0)=(t+1)2,x02-4y0=1,又x02+(y0+1)2=1,y0(-2,0),解得y0=-3+22.由直线l与PE互相垂直,得k=-1kPE=-x0y0+1,t=y0-kx0=y0+x02y0+1=x02+y02+y0y0+1=-y0y0+1=3-2222-2=2-12.21.(1)证明连接DM,则DCBM且DC=BM,所以四边形BCDM为平行四边形,所以DMBC且DM=BC,所以AMD是等边三角形,所以MNAD.因为平面PAD平面ABC

22、D,且平面PAD平面ABCD=AD,所以MN平面PAD.因为PD平面PAD,所以PDMN.又因为PDNC,且MNNC=N,MN平面ABCD,NC平面ABCD,所以PD平面ABCD.(2)解连接BD,则BDMN,所以BDAD,BDPD.在RtDAB中,DA2+DB2=AB2,又AD=2,AB=4,所以DB=23,故DAB的面积为SDAB=12DADB=23.由等体积法可得VD-PAB=VP-DAB=13PDSDAB=13PD23=23,所以PD=33.建立空间直角坐标系如图所示,则D(0,0,0),N(1,0,0),C(-1,3,0),M(1,3,0),P0,0,33,所以PN=1,0,-33,

23、NC=(-2,3,0),NM=(0,3,0).设平面PNC的法向量为n=(x,y,z),则有PNn=0,NCn=0,即x-33z=0,-2x+3y=0,令x=1,则y=233,z=3,所以平面PNC的一个法向量n=1,233,3.设平面PNM的法向量为m=(a,b,c),则有PNm=0,NMm=0,即a-33c=0,3b=0,解得b=0,令a=1,则c=3,所以平面PNM的一个法向量m=(1,0,3).所以nm=1+3=4,|n|=433,|m|=2,所以|cos|=|nm|n|m|=44332=32,则平面PNC与平面PNM的夹角的大小为30.22.解(1)因为椭圆经过点P,且离心率为32,

24、所以22a2+12b2=1,ca=32,其中a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆的方程为x28+y22=1.(2)因为APB的角平分线与x轴垂直,所以直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数.设直线PA的斜率为k(k0),则直线PA的方程为y=k(x-2)+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-2)+1,x28+y22=1,得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+16k2-16k-4=0,所以2x1=16k2-16k-41+4k2,即x1=8k2-8k-21+4k2,y1=k8k2-8k-21+4k2-2+1=-4k2-4k+11+4k2,即A8k2-8k-21+4k2,-4k2-4k+11+4k2,同理可得B8k2+8k-21+4k2,-4k2+4k+11+4k2,则M在直线x+2y=0上,所以PM的最小值为P到直线x+2y=0的距离,即d=|2+2|5=455,此时M65,-35在椭圆内,所以PM的最小值为455.