新教材2020-2021学年人教B版数学必修第四册学案：11-4-1 直线与平面垂直 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。11.4空间中的垂直关系11.4.1直线与平面垂直新课程标准学业水平要求1.借助长方体,通过直观感知,了解直线与平面垂直的关系,并归纳出线面垂直的判定与性质定理.2.能运用直观感觉、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的命题.水平一1.能够了解用数学语言表达的线面垂直的判定与性质定理.(数学抽象)2.了解线面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系.(逻辑推理)3.掌握一些基本命题的证明,并有条理地表述论证过程.(逻辑推理)水平二1.能够理解用数学语言表达的线

2、面垂直的判定与性质定理.(数学抽象)2.理解线面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系.(逻辑推理)3.对于一些基本命题,能选择合适的论证方法表述论证过程,能够通过举反例说明某些数学结论不成立.(逻辑推理)必备知识自主学习导思1.如何求两条直线所成的角?2.两条垂直直线一定相交吗?3.直线与平面垂直的定义是什么?怎样判断直线与平面垂直?4.线面垂直的性质定理是什么?5.如何求直线与平面所成的角?1.直线与直线所成角(1)异面直线所成角的定义一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a,b,则a与b所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大

3、小.(2)两条直线的夹角两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.(3)两条直线垂直空间中两条直线所成角的大小为90时,称这两条直线垂直.(1)在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗?提示:根据等角定理可知,a与b所成角的大小与点O的位置无关.但是为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等).(2)研究范围推广到空间后,直线与直线垂直的含义有变化吗?有什么变化?提示:有变化.空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况.(3)两条异面直线所成角的范围是什么?两条直线夹角的范围是什么?提示:两条异面直线所成角的范围是0

4、90;两条直线夹角的范围是090.2.直线与平面垂直及其判定定理(1)直线l与平面垂直的充要条件文字表示符号表示图形表示直线l与平面垂直的充要条件是,直线l与平面内的任意直线都垂直lm,lm(2)直线与平面垂直的判定定理文字表示符号表示图形表示如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直m,n,mn,lm,ln,则l(1)定义中的“任何一条直线”与“所有直线”、“无数条直线”是同义语吗?提示:“任何一条直线”与“所有直线”是同义语;“任何一条直线”与“无数条直线”不是同义语.(2)判定定理的条件中,把“两条相交直线”改为“两条直线”或“无数条直线”可以吗?提示:不可以.

5、若两条直线不相交(即平行),即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判定直线与平面垂直.例如,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ABCD内无数条直线垂直(与直线AD平行或重合的所有直线),但是AB1与平面ABCD不垂直.3.直线与平面垂直的性质(1)直线与平面垂直的性质定理文字表示符号表示图形表示如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行l,m,则lm.(2)斜线段、斜足的定义如果A是平面外一点,C是平面内一点,且AC与不垂直,则称AC是平面的斜线段(相应地,直线AC称为平面的斜线),称C为斜足.(3)直线在平面内的射影、直线与平面所成的角设AB是平面的垂线段,B是垂足;AC是

6、平面的斜线段,C是斜足,则直线BC称为直线AC在平面内的射影.特别地,ACB称为直线AC与平面所成的角.(1)线面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据,你能想到其他转化依据吗?提示: b;a;.(2)若图中的POA是斜线PO与平面所成的角,则需具备哪些条件?提示:需要PA,A为垂足,OA为斜线PO的射影,这样POA就是斜线PO与平面所成的角.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)三角形的两边可以垂直于同一个平面. ()(2)垂直于同一个平面的两条直线一定共面. ()(3)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.()(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直

7、线也与这条直线垂直.()提示:(1). 若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.(2).由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.(3).假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.(4).由异面直线所成角的定义或等角定理都可得出,该命题正确.2.如图所示,若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍,则AB与平面所成的角是()A.60B.45C.30D.120【解析】选A.由题意知,在RtABO中,AOB=90,BO=AB,所以ABO=60.3.(教材二次开发:例题改

8、编)如图,设O为平行四边形ABCD对角线的交点,P为平面ABCD外一点,且有PA=PC,PB=PD,则PO与平面ABCD的关系是.【解析】因为PA=PC,所以POAC,又PB=PD,所以POBD.所以PO平面ABCD.答案:垂直关键能力合作学习类型一线面垂直的定义及线线角、线面角的求解(数学运算、直观想象)1.下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直,则l;如果直线l与平面内的任意一条直线垂直,则l;如果直线l不垂直于,则内没有与l垂直的直线;如果直线l不垂直于,则内也可以有无数条直线与l垂直.A.0B.1C.2D.32.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则

9、B1D与CC1所成角的正切值为.3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为()A.30B.45C.60D.135【解析】1.选D.由直线和平面垂直的判定定理知正确;由直线与平面垂直的定义知,正确;当l与不垂直时,l可能与内的无数条直线垂直,故不对;正确.2.如图,B1D与CC1所成的角为BB1D.因为DBB1为直角三角形,所以tanBB1D=.答案:3.选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1平面A1B1C1D1,BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1,所以BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角,在等腰直角三

10、角形BB1C1中,BC1B1=45.1.理解线面垂直判定定理要注意的两个问题(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况,所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点,是无关紧要的.2.求异面直线所成角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090,

11、则为所求;若90180,则180-为所求.【补偿训练】1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,则异面直线EF与B1D1所成的角为.【解析】连接BC1,AD1,AB1,可知EF为BCC1的中位线,所以EFBC1.又因为AB􀰿CD􀰿C1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形.所以BC1AD1.所以EFAD1.所以AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角.在AB1D1中,易知AB1=B1D1=AD1,所以AB1D1为正三角形,所以AD1B1=60.所以EF与B1D1所成的角为60.答案:602.如图,在三棱锥

12、P-ABC中,PA平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于.【解析】因为PA平面ABC,所以PBA为PB与平面ABC所成的角,又PA=AB,所以PBA=45.类型二直线与平面垂直的判断与性质(逻辑推理、直观想象)角度1直线与平面垂直的判定【典例】1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC2.如图,PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,AEPB于E,AFPC于F.(1)求证:PC平面AEF;(2)设平面AEF交PD于G,求证:AGPD.【思路导引】1.利用线面垂直的判定定理,由线线垂直,证明线面垂直.2.

13、PA平面ABCD,四边形ABCD为矩形,AEPB,AFPCAE面PBC;若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的所有直线.【解析】1.选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2.(1)因为PA平面ABCD,BC平面ABCD,所以PABC.又ABBC,PAAB=A,所以BC平面PAB,又AE平面PAB,所以AEBC.又AEPB,PBBC=B,所以AE平面PBC,又PC平面PBC,所以AEPC.又因为PCAF,AEAF=A,所以PC平面AEF.(2)由(1)知PC平面AEF,所以PCAG,同理CD平面PAD,AG平面PAD,所以CDAG,PCCD=C,所以AG平面PCD,又PD平面

14、PCD,所以AGPD.若本例2中,底面ABCD是菱形,H是线段AC上任意一点,AFPC于点C,求证:BDFH.【证明】因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC,又PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以BDPA,因为PA平面PAC,AC平面PAC,且PAAC=A,所以BD平面PAC,又FH平面PAC,所以BDFH.角度2直线与平面垂直的性质【典例】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EFBD1.【思路导引】证明EF与BD1都与平面AB1C垂直. 【证明】连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.因为DD1平面ABCD,AC平面ABCD,所

15、以DD1AC.又因为ACBD,BDDD1=D,所以AC平面BDD1B1,所以ACBD1.同理BD1B1C,又ACB1C=C,所以BD1平面AB1C.因为EFA1D,且A1DB1C,所以EFB1C.又因为EFAC,ACB1C=C,所以EF平面AB1C,所以EFBD1.1.线面垂直的判定方法(1)证明线面垂直的方法线面垂直的定义.线面垂直的判定定理.如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤:在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直;确定

16、这个平面内的两条直线是相交的直线;根据判定定理得出结论.2.利用线面垂直的性质定理,把证线线平行转化为证线面垂直.【拓展延伸】1.空间几何体中,确定线面角的关键是什么?提示:在空间几何体中确定线面角时,过斜线上一点向平面作垂线,确定垂足位置是关键,垂足确定,则射影确定,线面角确定.2.求斜线与平面所成角的步骤(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.【拓展训练】

17、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值.(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.【解析】(1)因为直线A1A平面ABCD,所以A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,设A1A=1,则AC=,所以tanA1CA=.(2)在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1,因为BB1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1,所以BB1A1C1,又BB1B1D1=B1,所以A1C1平面BDD1B1,垂足为O.所以A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在RtA1BO中,A1O=A1C1=A1B,所以A1BO=30,即A1B与平面B

18、DD1B1所成的角为30.1.如图,BC是RtABC的斜边,PA平面ABC,PDBC,则图中直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5【解析】选A.易知PAAC,PAAD,PAAB,BCAD,BCPD,ACAB.图中的直角三角形分别为PAC,PAD,PAB,ADC,ADB,PCD,PDB,ABC,共8个.2.四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=2,则四棱锥的侧面积是.【解析】如图,由已知PA平面ABCD,又CD平面ABCD,则CDPA,又CDAD,且PAAD=A,所以CD平面PAD,又PD平面PAD,所以CDPD,即PCD是直角三角形,同理PBC也

19、是直角三角形,且PBC和PCD的面积相同,四棱锥的侧面积S=2SPAD+2SPCD=222+22=4+4.答案:4+43.如图,在三棱锥S-ABC中,ABC=90,D是AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD平面ABC.(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.【证明】(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SDAC.在RtABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以ADSBDS,所以SDBD.又ACBD=D,AC,BD平面ABC,所以SD平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知SDBD.又因为SDAC=D,SD,AC平面SAC,所以BD平面SAC.

20、【补偿训练】如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,M是圆周上任意一点,ANPM,垂足为N.求证:AN平面PBM.【证明】设O所在的平面为,因为PA,且BM,所以PABM.又因为AB为O的直径,点M为圆周上一点,所以AMBM.由于直线PAAM=A,所以BM平面PAM,而AN平面PAM,所以BMAN.所以AN与平面PBM内的两条相交直线PM,BM都垂直.所以AN平面PBM.类型三直线与平面垂直的判定与性质的综合应用(逻辑推理、直观想象)【典例】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,AA1=,D,F分别是A1B1,BB1的中点.(1)求证:C1DAB1.(2)求

21、证:AB1平面C1DF.【思路导引】(1)要证C1DAB1,需证C1D平面AA1B1B,需证C1DA1B1,C1DAA1,由已知可证.(2)要证AB1平面C1DF,需证AB1DF,需证A1BAB1,需证四边形AA1B1B为正方形,由已知可证.【证明】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且A1C1B1=90.又 D是A1B1的中点,所以C1DA1B1,因为AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1C1D,又因为AA1A1B1=A1,所以C1D平面AA1B1B,又因为AB1平面AA1B1B,所以C1DAB1.(2)连接A1B,因为D,F分别是A1B

22、1,BB1的中点,所以DFA1B.又直角三角形A1B1C1中,A1=A1+B1,所以A1B1=,所以A1B1=AA1,即四边形AA1B1B为正方形,所以AB1A1B,即AB1DF,又(1)已证C1DAB1,又DFC1D=D,所以AB1平面C1DF.线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A

23、1DC.求证:MNAD1.【证明】因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1,所以CDAD1.因为A1DCD=D,所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC,所以MNAD1.备选类型距离问题(数学运算、直观想象)【典例】如图所示,直角ABC所在平面外有一点P,ACB=90,PC=24,PD垂直AC于D,PEBC于E,且PD=PE=6,求P点到平面的距离.【思路导引】作PO于O,则PO的长为P点到平面的距离,构造直角三角形列方程组求解.【解析】作PO于O,则PO的长为P点到平面的距离,连接OC,PCO为PC和平面所成的角,连接OE,OD.因为PD=PE,PE

24、BC于E,PDAC于D,所以PD,PE在平面上的射影OE=OD,且OEBC,ODAC,即在四边形ODCE中,OE=OD,且OEC=ODC=ACB=90,所以四边形ODCE为正方形,OC=OE.设OP=x,OC2=PC2-OP2=242-x2,OE2=PE2-OP2=-x2,OC=OE,解组成的方程组得x=12(舍去负值),即P点到平面的距离为12.距离问题一直是高考的重点与热点问题,本题考查了各种距离,其中求点到平面的距离关键是作出点到平面的垂线,线到面的距离关键是转化为点到面的距离,各种距离的基础是点与点的距离.已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形, PD平面ABCD,PD=AD=1,设点C

25、到平面PAB的距离为d1,点D到平面PAC的距离为d2,BC到平面PAD的距离为d3,则d1,d2,d3三者之间的大小关系是.【解析】如图,点C到平面PAB的距离就是点D到平面PAB的距离,过点D作DEPA,则DE平面PAB,所以DE的长就是点D到平面PAB的距离,故d1=DE=;令ACBD=M,在平面PDB内作DFPM,则DF平面PAC,所以点D到平面PAC的距离d2=DF=;BC到平面PAD的距离,即C到平面PAD的距离,所以d3=1,故有d2d1d3.答案:d2d1ACBC,故CB=CP不成立,故错误.【补偿训练】在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点.动点P在

26、线段MN上运动时,下列四个结论,不一定成立的为()EPAC;EPBD;EP平面SBD;EP平面SAC.A.B.C.D.【解析】选D.作出如图所示的辅助线.对,在正四棱锥S-ABCD中,因为ACBD,ACSO,BD平面SBD,SO平面SBD,且SOBD=O,故AC平面SBD.又因为E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,故平面EMN平面SBD,故AC平面EMN,因为EP平面EMN,故EPAC成立.故成立.对,当且仅当P与M重合时, EPBD.故不一定成立.对,由有平面EMN平面SBD,又EP平面EMN,故EP平面SBD.故成立.对, 当且仅当P与M重合时,才有EP平面SAC.故不一定成立.4.如

27、图所示,平面=CD,EA,垂足为A,EB,垂足为B,则CD与AB的位置关系是.【解析】因为EA,CD,根据直线和平面垂直的定义,则有CDEA.同理,因为EB,CD,则有EBCD.又EAEB=E,所以CD平面AEB.又因为AB平面AEB,所以CDAB.答案:CDAB5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过A点作平面A1BD的垂线,垂足为点H,有下列三个结论:点H是A1BD的中心;AH垂直于平面CB1D1;AC1与B1C所成的角是90.其中正确结论的序号是.【解析】正确,因为AH平面A1BD,AA1=AB=AD,所以RtAHA1RtAHDRtAHB,所以HA1=HB=HD,所以点H

28、是A1BD的外心,又因为A1B=BD=DA1,所以点H是A1BD的中心.正确,易证平面A1BD平面CB1D1,又因为AH平面A1BD,所以AH垂直于平面CB1D1.正确,易证A1D平面ABC1D1,所以AC1A1D,又A1DB1C,所以AC1B1C,所以AC1与B1C所成的角是90.答案:6.如图,正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD,AE平面CDE.求证:AB平面ADE.【证明】因为AE平面CDE,CD平面CDE,所以AECD,又在正方形ABCD中,CDAD,AEAD=A,所以CD平面ADE,又在正方形ABCD中,ABCD,所以AB平面ADE.(30分钟60分)一、单选题(

29、每小题5分,共20分)1.如图,设平面平面=PQ,EG平面,FH平面,垂足分别为G,H.为使PQGH,则需增加的一个条件是()A.EF平面B.EF平面C.PQGED.PQFH【解析】选B.因为EG平面,PQ平面,所以EGPQ.若EF平面,则由PQ平面,得EFPQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ平面EFHG,所以PQGH.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持APBD1,则动点P的轨迹是()A.线段B1CB.线段BC1C.BB1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与B1C1中点连成的线段【解析】选A.如图,由于BD1平面AB1C,故点P一定

30、位于B1C上.3.如图,在四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点,若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为,则点B到平面ACD的距离为()A.B.C.D.【解析】选B.因为ABBC,ABBD,所以AB平面BCD,故ABCD,因为CDBE,CDAB,可得CD平面ABE,则AB在平面ADC上的射影与AE在一条直线上,故直线AB与平面ACD所成角即为BAE.在RtABE中,BE=,sin BAE=,故可得AE=3,AB=4,故VA-BCD=VB-ACD,设点B到平面ACD的距离为x,则SBCDAB=SACDx,整理得2AB=6h,解得h=.4.如图,在矩形ABCD

31、中,AB=2AD,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点,则在ADE翻折过程中,下列结论中正确的有()总存在某个位置,使CE平面A1DE;总有BM平面A1DE;存在某个位置,使DEA1C.A.B.C.D.【解析】选A.在中,总存在某个位置,使CE平面A1DE,正确;在中,取CD中点F,连接MF,BF,则MFA1D且MF=A1D,FBED且FB=ED,由MFA1D与FBED,可得平面MBF平面A1DE,所以总有BM平面A1DE,故正确;在中,A1C在平面ABCD中的射影为AC,AC与DE不垂直,所以DE与A1C不垂直,故错误.二、多选题(每小题5分,共10分,

32、全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如果一条直线垂直于一个平面内的,则能得出直线与平面垂直()A.三角形的两边B.梯形的两边C.圆的两条直径D.正六边形的两边【解析】选AC.由线面垂直的判定定理知,直线垂直于平面内三角形的两边,因为这两边是相交的,所以能得出直线与平面垂直,所以A选项正确;直线垂直于梯形的两边,因为梯形的两边可能平行,所以不能得出直线与平面垂直,所以B选项不正确;直线垂直于圆的两条直径,因为任何一个圆的两条直径是相交的,所以能得出直线与平面垂直,所以C选项正确;直线垂直于正六边形的两边,因为正六边形的两边可能平行,所以不能得出直线与平面垂直,所以D选项不正确

33、.6.(2020惠州高一检测)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,下列说法正确的是()A.AG平面EFHB.AH平面EFHC.HF平面AEHD.HG平面AEF【解析】选BC.由题意可得:AHHE,AHHF.所以AH平面EFH,而AG与平面EFH不垂直,所以B正确,A不正确.又HFHE,所以HF平面AHE,C正确.HG与AG不垂直,因此HG平面AEF不正确,D不正确.【补偿训练】(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是()【解析】选BD.对于A,

34、由AB与CE所成角为45,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于B,由ABCE,ABED,CEED=E,可得AB平面CDE;对于C,由AB与CE所成角为60,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于D,连接AC,由ED平面ABC,可得EDAB,同理可得ECAB,又EDEC=E,所以AB平面CDE.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则下列结论:PBAE;平面ABC平面PBC;直线BC平面PAE;PDA=45.其中正确的有(把所有正确的序号都填上).【解析】对于,因为PA平面ABC,所以PAAE,又EAAB,PAAB=A

35、,所以EA平面PAB,从而可得EAPB,故正确.对于,由于PA平面ABC,所以平面ABC与平面PBC不可能垂直,故不正确.对于,由于在正六边形中BCAD,所以BC与EA必有公共点,从而BC与平面PAE有公共点,所以直线BC与平面PAE不平行,故不正确.对于,由条件得PAD为直角三角形,且PAAD,又PA=2AB=AD,所以PDA=45.故正确.答案:8.九章算术中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中PA平面ABC,ACB=90,CA=4,PA=2,D为AB中点,E为PAC内的动点(含边界),且PCDE.当E在AC上时,AE=;点E的轨迹的长度为.【解析】当E在

36、AC上时,因为PA平面ABC,故PADE,又PCDE,故DE平面PAC.故DEAC.又ACB=90,故DEBC,D为AB中点,所以E为AC中点.故AE=AC=2.取AC中点F,则由(1)有DF平面PAC,故PCDF,又PCDE,设平面DEFPC=G,则有PC平面DGF.故点E的轨迹为FG.又此时CF=2,tanPCA=,故sinPCA=.所以FG=CFsinPCA=.答案:2四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,四边形ABCD为矩形,AD平面ABE,F为CE上的点,且BF平面ACE.求证:AEBE.【证明】因为AD平面ABE,ADBC,所以BC平面ABE.又AE平面ABE,所以AE

37、BC.因为BF平面ACE,AE平面ACE,所以AEBF.又因为BF平面BCE,BC平面BCE,BFBC=B,所以AE平面BCE.又BE平面BCE,所以AEBE.【补偿训练】如图所示,四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面),C是圆柱底面圆周上异于A,B的任意一点.求证:AC平面BB1C.【证明】因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面,所以BB1底面ABC.因为AC底面ABC,所以BB1AC.因为AB为底面圆的直径,所以ACB=90,所以BCAC.又因为BB1BC=B,BB1平面BB1C,BC平面BB1C,所以AC平面BB1C.10.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的

38、菱形,BAD=60,侧面SBC为等边三角形,SD=2.(1)求证:SDBC;(2)求点B到平面ASD的距离.【解析】(1)设BC边中点是E,连接DE,SE.因为SBC是等边三角形,所以SEBC,又由已知得DBC是等边三角形,所以DEBC,又DESE=E,所以BC平面SDE,所以BCSD.(2)因为SBC是边长为2的等边三角形,所以SE=,同理DE=,又SD=2,所以SSDE=2=,又由(1)知BC平面SDE,所以VS-BCD=SSDEBC=2=VS-ABD,所以VS-ABCD=2VS-BCD=.又易知三棱锥S-BCD是正四面体,所以S在底面BCD上的射影H为BCD各边中线的交点,且为BCD的重

39、心,所以H在AC上,由勾股定理,SA=,又CH=OC=(其中O为AC与BD的交点),所以SH=,AH=+=,所以SA=2,所以SD2+AD2=SA2,所以SDAD,所以SSAD=22=2.设点B到平面ASD的距离为h.因为VS-ABD=VB-SAD,所以SSADh=,所以h=.故点B到平面ASD的距离为.1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF平面B1DF.【解析】由已知得A1B1C1是等腰直角三角形,A1B1=B1C1,D是A1C1的中点,所以B1DA1C1,由直三棱柱A

40、BC-A1B1C1知AA1平面A1B1C1,又B1D平面A1B1C1,所以B1DAA1,又AA1A1C1=A1且AA1,A1C1平面A1ACC1,所以B1D平面A1ACC1,又因为CF平面A1ACC1,所以B1DCF.若CF平面B1DF,则CFDF.设AF=x(0x3a),则CF2=x2+4a2,DF2=a2+(3a-x)2,CD2=a2+9a2=10a2,所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a.答案:a或2a【补偿训练】已知四棱锥S-ABCD的高为1,底面是边长为2的正方形,顶点在底面的投影是底面的中心,E是BC的中点,动点P在棱锥表面上运动,并且总保持PEAC,

41、则动点P的轨迹的周长为.【解析】设底面的中心为O,连接SO,则SO平面ABCD,所以SOAC,由四边形ABCD是正方形得ACBD,因为SOBD=O,所以AC平面SBD,取SC,CD的中点为G,F,易得平面SBD平面GEF,所以AC平面GEF,因此动点P的轨迹为GEF,因为SO=1,BD=2,所以BO=,所以SB=,所以GE=GF=,EF=,因此动点P的轨迹的周长为+.答案:+2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点,试确定F的位置,使得D1E平面AB1F.【解析】连接A1B,CD1,则AB1A1B,所以AB1平面A1BCD1,又D1E平面A1BCD1,所以D1EAB1,要使D1E平面AB1F,需D1EAF,连接DE,又D1DAF,D1ED1D=D1,所以AF平面EDD1,所以DEAF,因为四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,所以,当且仅当F是CD的中点时,DEAF,即当点F是CD的中点时,D1E平面AB1F.关闭Word文档返回原板块