新教材2020-2021学年北师大版高中数学必修第二册学案：第4章 3　第2课时　二倍角公式的综合应用 WORD版含解析.doc

1、第2课时二倍角公式的综合应用学 习 目 标核 心 素 养1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(难点)2能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(重点、难点)1. 通过对半角公式的推导以及利用半角公式证明三角恒等式，培养学生逻辑推理素养2通过利用公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养.半角公式：(1)sin (2)cos (3)tan .思考：1.半角公式的符号是由哪些因素决定的？提示：半角公式的符号是由所在的象限决定的2要想求角的正弦、余弦、正切的值，只需要知道角的哪个三角函数值？提示：有了半角公式，只需知道cos 的

2、值及相关的角的条件便可求的正弦、余弦、正切的值1若cos ，且(0，)，则cos的值为()ABCDA因为(0，)，所以，所以cos.2已知cos ，则sin等于()ABCDB因为，所以，所以sin.3. cos的值为_是第一象限角，cos.利用半角公式求值和化简【例1】(1)已知sin ，求sin，cos，tan的值(2)若tan m，则sin _.(1)解，sin ，cos ，且，sin ，cos ，tan2.(2)因为tan m，即m，所以，即.所以sin .已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值的一般思路(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及

3、角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值跟进训练1化简：(2)解原式.又2，cos0，原式cos .二倍角公式的实际应用【例2】点P在直径AB1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT1，PAB，问为何值时，四边形ABTP面积最大？解如图所示，AB为直径，APB，又AB1，PAcos ，PBsin .又PT切圆于P点，TPBPAB，S四边形ABTPSPABSTPBPAPBPTPBsin sin cos sin2 sin 2(1cos 2)(sin 2cos 2)sin.0，2，当2，即时，S四边形ABTP最大解答此类问题，关键是合理引入辅助角，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数

4、的有关知识求解，在求解过程中，要注意角的范围跟进训练2某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)解连接OC，设COB，则045，OC1.ABOBOAcos ADcos sin ，S矩形ABCDABBC(cos sin )sin sin2 sin cos (1cos 2)sin 2(sin 2cos 2)cos(245).当2450，即22.5时，Smax(m2)割出的长方形桌面的最大面积为m2.利用二倍角公式研究三角函数的性质探究问题1对于形如yasin xbcos x的函数，如何研究其性质？提示：利用

5、辅助角公式把其化为ysin(x)的形式，再研究其性质2在研究三角函数的性质时，若其解析式中含有cos2x或sin2x，应该如何处理？提示：利用降幂公式cos2x，sin2x转化为2x的三角函数，然后研究其性质【例3】已知函数f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合思路点拨解(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，f(x)的最小正周期为T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k(kZ)，即xk(kZ)，所求x的集合为.1把例3中的函数换为 f(x)coscos，求其最小正周期解f(x)

6、cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期为T.2把例3中的函数换为f(x)coscossin 2x，求其最大值，并求使f (x)取得最大值时x的集合解f(x)sin 2xcos2xsin2xsin 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，h(x)有最大值.此时x的集合为.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质跟进训练3已知函数f(x)

7、sin2cos2x1，则函数f(x)的单调递增区间为()A(kZ)B(kZ)C(kZ)D(kZ)C因为f(x)sin2cos2x1sin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ)，故选C1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的

8、系数a，b应熟练掌握，例如sin xcos xsin；sin xcos x2sin等1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若k，kZ，则tan 恒成立()(2)对任意角都有1sin ()(3)sin xcos x2sin()提示(1)正确；(2)正确；(3)错误，sin xcos x22sin.答案(1)(2)(3)2化简的结果为()Atan Btan 2C1D2B原式tan 2.3使函数f(x)sin(2x)cos(2x)为奇函数的的一个值是()ABCDDf(x)sin(2x)cos(2x)2sin.当时，f(x)2sin(2x)2sin 2x是奇函数4已知sin ，3，求cos 和tan .解sin ，且3，cos .由cos 2cos21，得cos2.，cos .tan 2.