新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：7-1-1　数系的扩充和复数的概念 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家第七章 复数71复数的概念71.1数系的扩充和复数的概念目标 1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法重点 复数的概念及复数相等的条件难点 复数的理解与引入 要点整合夯基础 知识点一复数的概念填一填1复数与复数集我们把形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合Cabi|a，bR叫做复数集2复数的代数形式复数通常用z表示，zabi(a，bR)，叫做复数的代数形式其中a与b分别叫复数z的实部与虚部答一答1如何理解虚数单位i?提示：i21；i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算

2、律仍成立2能说形如abi(其中i为虚数单位)的数叫做复数？提示：不能只有当a，bR时，结论才成立知识点二复数的分类与复数相等填一填1复数的分类(1)对于复数abi(a，bR)，当且仅当b0时，它是实数，当b0时，它叫做虚数，当a0且b0时，它叫做纯虚数(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图所示：2复数相等abi与cdi(a，b，c，dR)相等当且仅当ac且bd.答一答3(1)复数zabi(a，bR)，当b0时为实数，当a0时为虚数，这种说法正确吗？(2)形如bi的数一定是纯虚数吗？提示：(1)这种说法不正确，复数zabi(a，bR)中，当b0时为实数；当a0时z不一定为虚数，因

3、为当ab0时，z0是实数，而不是虚数(2)不一定，只有在bi中，当bR且b0时它才是纯虚数，当b0时，bi0不是纯虚数，当bR时，也不是纯虚数4两个复数能否比较大小？提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两个复数相等或者不相等这是因为虚数单位i与实数0的大小关系不确定，若i0，则两边同乘以i，有i20，即10，这是不可能的若i0，即10，这也不可能. 典例讲练破题型 类型一复数的概念 例1分别指出下列复数的实部和虚部32i，i，3i5，5i，i2,0.分析先把复数写成abi(a，bR)的形式，然后根据实部和虚部的定义解题解32i的

4、实部是3，虚部是2.i(1)i，故i的实部是，虚部是1.3i553i，故3i5的实部是5，虚部是3.0i，故的实部是，虚部是0.5i05i，故5i的实部是0，虚部是5.i2110i，故i2的实部是1，虚部是0.000i，故0的实部和虚部都是0.首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部.) 变式训练1给出下列几个命题：若x是实数，则x可能不是复数；若z是虚数，则z不是实数；一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；1没有平方根；若aR，则(a1)i是纯虚数；两个虚数不能比较大小则其中正确命题的个数为2.解析：因为实数是复数，故错；正确；因为复数为纯虚数

5、要求实部为零，虚部不为零，故错；因为1的平方根为i，故错；当a1时，(a1)i是实数0，故错；正确类型二复数的分类 例2已知复数z(a25a6)i(aR)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数分析根据复数z为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解解(1)当z为实数时，则当a6时，z为实数(2)当z为虚数时，则当a1且a6时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，则不存在实数a使z为纯虚数利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)，求解参数时，注意考虑问题要全面. 变式训练2已知mR，复数z(m22m

6、3)i，当m为何值时：(1)zR；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z4i.解：(1)zR，即当m3时，zR.(2)z是虚数，即当m1且m3时，z是虚数(3)z是纯虚数，即当m0或m2时，z是纯虚数(4)z4i，即当m1时，z4i.类型三复数相等 例3已知(x22x3)i0，求实数x的值分析先利用复数相等的定义列出关于x的实数方程组，然后解方程组求x的值解xR，由复数相等的定义得即x3.应用复数相等的充要条件时，要注意：(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组.(2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同

7、时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.变式训练3已知2x1(y1)ixy(xy)i，求实数x，y的值解：x，y为实数，2x1，y1，xy，xy均为实数由复数相等的定义知 课堂达标练经典 1若a，bR，i是虚数单位，且b(a2)i1i，则ab的值为(D)A1B2C3D4解析：由b(a2)i1i，得b1，a3，所以ab4.2若x、yR，则“x0”是“xyi为纯虚数”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当x0，y0时，xyi是实数3复数43aa2i与复数a24ai相等，则实数a的值为(C)A1B1或4C4D0或4解析：当a0或1

8、时，复数43aa2i与复数a24ai不相等，排除A、B、D.4在复平面内，复数z(a22a)(a2a2)i是纯虚数，则实数a的值是(B)Aa0或a2Ba0Ca1且a2Da1或a2解析：因为复数z(a22a)(a2a2)i是纯虚数，所以a22a0且a2a20，所以a0.5实数m分别为何值时，复数z(m23m18)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解：(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z为实数，则解得m6.所以当m6时，z为实数(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z为虚数，则m23m180，且m30.所以当m6且m3时，z为虚数(3)要使所给复数为纯虚数

9、，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z为纯虚数，则解得m或m1.所以当m或m1时，z为纯虚数本课须掌握的三大问题1数系扩充的脉络自然数系整数系有理数系实数系复数系2虚数单位i性质的两个关注点(1)i21的理解：并没有规定i还是i或i，在今后的学习中，我们将知道i，但不能说i.(2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并不是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时，只对加法、乘法法则作出规定，而把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致3实部与虚部的要求：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部- 9 - 版权所有高考资源网