新教材2021-2022学年人教B版数学选择性必修第二册学案：第四章 4-2-4 第1课时 离散型随机变量的均值 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。4.2.4随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值必备知识自主学习 导思1.什么是离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)？求离散型随机变量X的均值都有哪些步骤？均值有什么作用？2两点分布、二项分布以及超几何分布的均值计算公式分别怎么表示？3若X与Y都是随机变量，且YaXb，则E与E之间具有怎样的关系？1离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如表所示：Xx1x2xkxnPp1p2pkpn则称E(X)x1p1x2p2xnpnipi为

2、离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).(2)意义：它刻画了离散型随机变量X的平均取值(3)性质：如果X和Y都是随机变量，且YaXb(a0)，则E(Y)E(aXb)aE(X)b离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗？提示：不相同离散型随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化2常见的几种分布的数学期望名称两点分布二项分布超几何分布公式E(X)pE(X)npE(X)1思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值()(2)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同()(3)若X服从两点分布，则E(X

3、)np.()提示：(1).离散型随机变量的均值是一个常数，它不具有随机性(2).两个随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；反之不一定成立(3).若X服从两点分布，则E(X)p.2若随机变量X的分布列为X101P则E(X)()A0 B1 C D【解析】选C.E(X) (1)01.3(教材二次开发：例题改编)设E(X)10，则E(3X5)_【解析】E(3X5)3E(X)5310535.答案：35关键能力合作学习类型一离散型随机变量均值公式及性质(数据分析、数学运算)1已知随机变量X的分布列如表：X101Pm若aX3，且E()5，则a的值为_【解析】由随机变量分布列的性质，得m1，解得m.E(X

4、) (1)01.因为E()E(aX3)aE(X)3a35，所以a15.答案：152已知随机变量X的分布列如表：X21012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y2X3，求E(Y).分析：先由分布列的性质求得m，再利用均值公式求E(X)，然后利用均值的性质求解E(Y).【解析】(1)由随机变量分布列的性质，得m1，解得m.(2)E(X)(2)(1)012.(3)方法一：由公式E(aXb)aE(X)b，得E(Y)E(2X3)2E(X)323.方法二：由于Y2X3，所以Y的分布列如表：Y75311P所以E(Y)(7)(5)(3)(1)1.对于aXb型的随机变量求均值的方法(1)利用均值的性

5、质求解，即E(aXb)aE(X)b；(2)先列出aXb的分布列，再用均值公式求解【补偿训练】 已知随机变量的分布列为101Pm若a3，E()，则a()A1 B2 C3 D4【解析】选B.由分布列的性质得m1，所以m.所以E()101.所以E()E(a3)aE()3a3，得a2.类型二求常见的几种分布的均值(数据分析、数学运算)【角度1】两点分布与二项分布的均值【典例】某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值【思路导引】(1)利用两点分布求解(2)利用二项分布的均值公式求解【解析】(1)投篮1次，命中次数X的分布列如表：X01P0

6、.40.6则E(X)0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5，0.6)，则E(Y)np50.63.本例考查求两点分布与二项分布的均值，同时考查了数学建模与数学运算的核心素养本例题干不变，(2)改为“重复5次投篮时，命中次数为Y，命中一次得3分”，求5次投篮得分的均值【解析】由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5，0.6)，则E(Y)np50.63.设投篮得分为变量，则3Y.所以E()E(3Y)3E(Y)339.【角度2】超几何分布的均值【典例】有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A B C D

7、1【思路导引】先确定分布类型，可以求出分布列后再求均值，也可以直接利用超几何分布的均值公式求解【解析】选A.方法一：P(X0)，P(X1)，P(X2).所以E(X)12.方法二：由题意知X服从N10，M3，n2的超几何分布，则E(X).求常见的几种分布的均值的关注点(1)关键：根据题意准确判断分布类型；(2)计算：若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池(1)若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及期望；(2)若有放回地每次取一节电池检验，求检验4次取到好电池次数Y的数学期望【

8、解析】(1)由题意，X可取的值为1，2，3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PE(X)1231.5.(2)由题意，每次检验取到好电池的概率均为，故YB，则E(X)4.【补偿训练】 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X).【解析】(1)由题意得X取3，4，5，6，且P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)3P(X3)4P(X4

9、)5P(X5)6P(X6).类型三均值的实际应用(数学建模、数据分析、数学运算)【典例】某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘由于下雨会影响药材品质，基地收益如表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元额外聘请工人的成本为a万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该

10、外聘工人，请说明理由四步内容理解题意条件：(1)药材需在两天内采摘完毕且基地员工一天只完成一处采摘；(2)给出了基地收益与天气的关系表格；(3)给出外聘工人的收益情况结论：(1)求基地收益X的分布列及基地预期收益；(2)该基地是否外聘工人作出决策思路探求(1)列出基地收益X的取值及求出相应概率，按求随机变量均值的步骤求解；(2)求出外聘工人时的预期收益，与不外聘工人的预期收益比较，通过讨论外聘工人的成本解决问题书写表达X2015107.5P0.360.240.240.16基地的预期收益E(X)200.36150.24100.247.50.1614.4，所以基地的预期收益为14.4万元(2)设基

11、地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)200.6100.4a(16a)万元，E(Y)E(X)1.6a，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以注意书写的规范性：根据X的实际意义，写出X的全部取值，并求出X的每个值的概率；写出X的分布列；利用定义求出均值题后反思均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计均值实际应用问题的解题策略首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析

12、相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7，8，9，10环将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解析】(1)由题图乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)

13、0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因为E(X甲)70.280.1590.3100.358.8，E(X乙)70.280.2590.2100.358.7，则有E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高【拓展延伸】概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论【拓展训练】某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X12345P0.40.20.2

14、0.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元Y表示经销一件该商品的利润(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的分布列及均值E(Y).【解析】(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”P()(10.4)30.216，P(A)1P()10.2160.784.(2)Y的可能取值为200元，250元，300元P(Y200)P(X1)0.4，P(Y250)P(X2)P(X3)0.20.2

15、0.4，P(Y300)P(X4)P(X5)0.10.10.2，因此Y的分布列为Y200250300P0.40.40.2E(Y)2000.42500.43000.2240(元).课堂检测素养达标1随机变量X的分布列为X123P0.20.5m则X的均值是()A2 B2.1C2.3 D随m的变化而变化【解析】选B.因为0.20.5m1，所以m0.3，所以E(X)10.220.530.32.1.2口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为()A B C2 D【解析】选D.X的可能取值为2，3.P(X2)，P(X3).所以E(X)232.3甲、乙两台自动车床生产同种标准件，表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，的分布列分别是：0123P0.70.10.10.10123P0.50.30.20据此判定()A甲比乙质量好 B乙比甲质量好C甲与乙质量相同 D无法判定【解析】选A.E()00.710.120.130.10.6，E()00.510.320.2300.7.因为E()E()，故甲比乙质量好4设X的分布列为X1234PY2X5，则E(Y)_【解析】E(X)1234.所以E(Y)E(2X5)2E(X)525.答案：关闭Word文档返回原板块