新教材2021-2022学年北师大版数学必修第一册学案：2-2-1　函数概念 WORD版含答案.doc

1、1生活中的变量关系2函数21函数概念新课程标准解读核心素养1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个函数是否为同一函数数学抽象2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用数学抽象、数学建模3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域数学抽象、数学运算微信是即时聊天工具，通过微信，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，省钱、快捷、方便，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等，通过微信，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在微信成了我们生活不可缺少的一部分大部

2、分同学都有微信号，这样微信号与同学之间就有对应关系，即微信号(可能不止一个)对应唯一一位同学在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)问题你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？知识点一生活中的变量关系1在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”2函数关系可用表格、表达式、图象及分段函数形式表达1.(多选)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象由图象可知，下列说法中正确的有()A这天15时的温度最高B这天3时的温度最低C这天的最高温度与最低温度相差13 D这天21时的温度是30 解析：选A

3、BD这天的最高温度与最低温度相差362214()，故C错A、B、D均正确2如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压，使之成为一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为()解析：选B圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化知识点二函数的有关概念函数的定义给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数函数的记法yf(x)，xA定义域集合A称为函数的定义域，x称为自变量值域与x值对应的y值称为函数值，集合f(x)|xA称为函数的值域对函数概

4、念的再理解(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；(2)yf(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式；(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数 f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数

5、f(x)3x4，当x8时，f(8)38428是一个常数1下图中能表示函数关系的是_(填序号)解析：由于中的2与1和3同时对应，故不是函数答案：2函数f(x)的定义域是_解析：由4x0，解得x4，所以原函数的定义域为x|x4答案：x|x0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图象2下列函数中，与函数yx(x0)是同一个函数的是()AyByCy Dy()2解析：选Dy的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y的定义域为(，0)(0，)，定义域不相同，故不是同一个函数；y的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y()2的定义域为0，)，定义域相同，且y()2x，x0，)，函

6、数对应关系也相同，故是同一个函数故选D.函数的定义域例2(链接教科书第53页例2)求下列函数的定义域：(1)y2x3；(2)f(x)；(3)y；(4)y.解(1)函数y2x3的定义域为x|xR(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x10，x1.故函数的定义域为x|x1(3)要使函数式有意义，则即所以x1，从而函数的定义域为x|x1(4)因为当x210，即x1时，有意义，所以函数的定义域是x|x1求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；(4)若f(

7、x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义 跟踪训练1函数f(x)的定义域为()A(，1)(1，3 B(，3C(1，3 D(，1)解析：选A要使函数f(x)有意义，则解得x3且x1，所以函数f(x)的定义域为(，1)(1，3故选A.2f(x)(x1)0 的定义域是()A(1，) B(，1)CR D(1，1)(1，)解析：选D要使函数有意义，需满足x1且x1，定义域为(1，1)(1，)函数值(值域)问题例3(链接教科书第53页练习1题)(1)已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)，则f(2)_

8、，f(g(2)_ (2)求下列函数的值域：yx1；yx22x3，x0，3)；y；y2x.（1）解析f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226，f(g(2)f(6).答案（2）解(观察法)因为xR，所以x1R，即函数值域是R.(配方法)yx22x3(x1)22，由x0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2，6)(分离常数法)y3.0，y3，y的值域为(，3)(3，)(换元法)设t，则t0且xt21，所以y2(t21)t2，由t0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.母题探究1(变条件)在本例(1)条件下，若f(b)，求b的值解：由f(b)，得b1.2(变设问)在

9、本例(1)条件下，判断点是否在函数f(x)的图象上？解：由f(x)知f(3)，故点在f(x)的图象上1函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)ax

10、b(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换元法 跟踪训练1设f(x)，则()A1 B1C. D解析：选B1.2函数f(x)(xR)的值域是()A0，1 B0，1)C(0，1 D(0，1)解析：选C因为x20，所以x211，所以01，所以函数的值域为(0，1，故选C.3函数f(x)的值域为_解析：f(x)1(x1)0，y1，又x1，y，函数值域为.答案：抽象函数与复合函数一、概念1抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数2复合函数的概念若函数yf(t)的定义域为A，函数tg(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数yf(g(x)为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其

11、中t叫作中间变量，tg(x)叫作内层函数，yf(t)叫作外层函数说明由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域二、结论定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；(2)函数f(x)的定义域是指x的取值范围，而不是(x)的范围；(3)f(t)，f(x)，f(h(x)三个函数中的t，(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；(4)已知f(x)的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；(5)已知f(x)的定

12、义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(x)中的x的取值范围为B，求出(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域迁移应用1已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域例1已知函数f(x)，则函数f(3x2)的定义域为()A.B.C3，1 D.思路点拨解题的关键是求出函数yf(x)中x的范围，这个范围即为3x2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可解析由x22x30，解得1x3，即函数f(x)的定义域为1，3由13x23，解得x，则函数f(3x2)的定义域为.答案A2已知f(g(x)的定义域，求f(x)的定义域例2已知f(x21)定义域为0，3，则f(x)的定义域为_思路点拨定义域

13、是指自变量的取值范围，则f(x21)中x0，3，求出x21的范围，这个范围即为f(x)的定义域解析根据f(x21)定义域为0，3，得x0，3，x20，9，x211，8故f(x)的定义域为1，8答案1，83已知f(g(x)的定义域，求f(h(x)的定义域例3若函数f(x1)的定义域为，则函数f(x1)的定义域为_思路点拨由f(x1)的定义域为，即x2，可求得x13，也就是f(x)的定义域为，由此可推出x13，进而求出x的范围即为f(x1)的定义域解析由题意知x2，则x13，即f(x)的定义域为，x13，解得x4.故f(x1)的定义域是.答案1设集合Mx|(x1)(x3)0，Ny|y(y3)0，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则函数f(x)的图象可以是()解析：选B集合Mx|(x1)(x3)0x|1x3，Ny|y(y3)0y|0y3由此排除选项A、D.由函数的定义知，每一个x的值只能唯一对应一个y值，故排除选项C.故选B.2设f(x)|x1|x|，则f等于()A B0C1 D.解析：选Cfff(0)|01|0|1.3已知函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的值域为_解析：由题图易知函数的值域为4，3答案：4，34函数f(x)的定义域为_，值域为_解析：函数有意义，则x1，故定义域为xR|x1f(x)5，且0，y5，函数的值域是yR|y5答案：xR|x1yR|y5