新教材2021-2022学年苏教版数学选择性必修第一册学案：第1章 1-1　直线的斜率与倾斜角 WORD版含答案.doc

1、1.1直线的斜率与倾斜角学 习 任 务核 心 素 养1理解直线的斜率和倾斜角的概念(重点)2了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率(难点)1通过对倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养2通过对斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？知识点1直线的斜率对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(1)如果x1x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个

2、定值，我们将其称为直线l的斜率k(x1x2)(2)如果x1x2，那么直线l的斜率不存在1已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是_由斜率公式可得1，解得m知识点2直线的倾斜角定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0范围|0作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可1任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？提示由倾斜

3、角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角可能相同，如平行直线的倾斜角都是相同的知识点3直线的倾斜角与斜率的关系(1)当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为，斜率不存在；(2)当直线l与x轴不垂直时，直线l的斜率与倾斜角之间的关系为ktan 2所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？提示不是若直线没有斜率，则其倾斜角为902已知一条直线过点(3，2)与点(1，2)，则这条直线的倾斜角是()A0B45C60D90Ak0， 03已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()ABC1DA由题意可知，ktan 304思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)

4、若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应()(2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应()(3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等()(4)直线的倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一一对应关系()答案(1)(2)(3)(4) 类型1直线的倾斜角【例1】求图中各直线的倾斜角(1)(2)(3)解(1)如图，可知OAB为直线l1的倾斜角易知ABO30，OAB60，即直线l1的倾斜角为60(2)如图，可知xAB为直线l2的倾斜角，易知OBA45，OAB45，xAB135，即直线l2的倾斜角为135(3)如图，可知OAC为直线l3的倾斜角，易知ABO60，BAO30，OAC150，即直线l

5、3的倾斜角为150求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90注意直线倾斜角的取值范围是0180跟进训练1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()AB180C180或90 D90或90D如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90故选D 类型2直线的斜率【例2】(1)过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角是135，则y等于()A1 B5C1 D5(2)若A(1，1)

6、，B(3，5)，C(a，7)三点共线，则a的值为_ (3)如图，直线l1的倾斜角130，直线l1l2，求l1、l2的斜率(1)D(2)4(1)过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角是135，tan 1351，解得y5(2)由斜率公式得kAB2，因为A，B，C三点共线，所以kABkAC，所以2，解得a4(3)解直线l1的倾斜角为130，直线l2的倾斜角29030120，kl1tan 30，kl2tan 120解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形

7、结合列公式求解跟进训练2设点A(m，m3)，B(2，m1)，C(1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为_4依题意知，直线AC的斜率存在，且m1kAC1，kBC，由题意得kAC3kBC，13，解得m4 类型3直线的倾斜角和斜率的综合探究问题1在斜率公式k中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？提示斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k2斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？提示当ktan 0时， 倾斜角是钝角；当ktan 0时， 倾斜角是锐角；当ktan 0时， 倾斜角是03直线的斜率k

8、随倾斜角的增大而增大吗？提示不是，在内，k随的增大而增大，在内，k也是随的增大而增大【例3】已知两点A(3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围思路探究结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间要特别注意，当l的倾斜角小于90时，有kkPB；当l的倾斜角大于90时，则有kkPA解如图所示，由题意可知kPA1，kPB1(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1或k1(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角

9、是135，所以的取值范围是451351(变条件)本例中，三点坐标不变，其他条件改为过B的直线l与线段AP有公共点，求直线l的斜率的取值范围解如例题中解图所示，根据斜率公式得kAB，kBP1，直线l的斜率的取值范围为2(变条件)本例中，A，B两点坐标不变，其他条件去掉，在直线y1上求一点P，使PA，PB的斜率互为相反数解点P在直线y1上，可设点P(x，1)又条件可知kPA，kPB一定存在由斜率公式得kPAkPB0，解得x故所求P点坐标为直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)(2)直

10、线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当090时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大跟进训练3若点P(x，y)在以A(3，1)，B(1，0)，C(2，0)为顶点的ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是_根据已知条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1，2)的直线的斜率由已知，得kAM，kBM1，kCM利用图象(图略)，可得的取值范围是1已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为()A3B2C2D不存在B由直线的斜率公式，得k22若直线l经过第二、

11、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A090 B90180C90180D0180C直线经过第二、四象限时，直线的倾斜角为钝角，故90180，选C3已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是_依题意：kABkAC，即，解得a4已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30，则直线l的倾斜角为_60或120有如图两种情况：第一种情况倾斜角903060，第二种情况倾斜角90301205已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1234，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角解l2的斜率为k21，l2的倾斜角为45，由题意可得：l1的倾斜角为22.5，l3的倾斜角为67.5，l4的倾斜角为90 回顾本节内容，自我完成以下问题：直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，它们有什么联系？提示直线情况平行于x轴垂直于x轴的大小00909090180k的范围0k0不存在k0k的增减情况k随的增大而增大k随的增大而增大