新教材2021-2022学年高一数学北师大版必修第一册学案：第2章 .doc

1、2函数2.1函数概念学 习 目 标核 心 素 养1在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念(重点、难点)2体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用(重点)3了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域(重点、难点)1通过学习函数的概念，培养数学抽象素养2借助函数的定义域与值域的求解，培养数学运算素养.1函数的定义是什么？2函数的自变量、定义域是如何定义的？3函数的值域是如何定义的？知识点1函数的有关概念函数的定义给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就

2、把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数函数的记法yf(x)，xA定义域集合A称为函数的定义域，x称为自变量值域与x值对应的y值称为函数值，集合f(x)|xA称为函数的值域(1)有人认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示(1)这种看法不对符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积

3、”在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)3x4，当x8时，f(8)38428是一个常数1.下图中能表示函数关系的是_(填序号) 由于中的2与1和3同时对应，故不是函数2.函数f(x)的定义域是_x|x0，解得x4，所以原函数的定义域为x|x0，即x2，所以x2且x1.所以函数y的定义域为x|x2且x1求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不

4、为零(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义2求下列函数的定义域：(1)y2；(2)y；(3)y(x1)0.解(1)当且仅当x20，即x2时，函数y2有意义，所以这个函数的定义域为x|x2(2)为使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3(3)为使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x1，且x1，所以这个函数的定义域为x|x1，且x1 类型

5、3求函数值和值域【例3】(1)已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)，则f(2)_，f(g(2)_.(2)求下列函数的值域：yx1；yx22x3，x0,3)；y；y2x.(1)(1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226，f(g(2)f(6).(2)(观察法)因为xR，所以x1R，即函数值域是R.(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2,6)(分离常数法)y3.0，y3，y的值域为(，3)(3，)(换元法)设t，则t0且xt21，所以y2(t21)t22，由t0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.1函

6、数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换元法3已知函数f(x)1，且f(a)3，则a_.16

7、因为f(x)1，所以f(a)1.又因为f(a)3，所以13，a16.4求下列函数的值域：(1)y1；(2)y.解(1)因为0，所以11，即所求函数的值域为1，)(2)因为y1，又函数的定义域为R，所以x211，所以02，则y(1,1所以所求函数的值域为(1,1.1对于函数f：AB，若aA，则下列说法错误的是()Af(a)BBf(a)有且只有一个C若f(a)f(b)，则abD若ab，则f(a)f(b)答案C2某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是() ABCDD由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.3函数y的定义域为()Ax|x1Bx|x0Cx|x1，或x0Dx|0x1D由题意可知解得0x1.4(一题两空)函数y的定义域是_，值域是_答案5已知函数f.若f(m)2，则m的值为_3由f2，得2，解得m3.