新教材2021-2022学年高中人教A版数学必修第一册学案：2-2 第一课时　基本不等式 WORD版含答案.doc

1、22基本不等式新课程标准解读核心素养1.掌握基本不等式(a0，b0，当且仅当ab时等号成立)逻辑推理2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题数学建模第一课时基本不等式如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？知识点一重要不等式与基本不等式1重要不等式a，bR，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式如果a0，b0，有，当且仅当ab时，等号成立其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数基本不等式表明

2、：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数1不等式a2b22ab与的比较(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是不同的前者要求a，b是实数即可，而后者要求a0，b0；(2)两个不等式a2b22ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当ab时，等号成立”2基本不等式的常见变形(1)ab2；(2)ab(其中a0，b0，当且仅当ab时等号成立) 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)对任意a，bR，a2b22ab均成立()(2)若a0，b0且ab，则ab2.()(3)若a0，b0，则ab恒成立()答案：(1)(2)(3)2不等式(x2y)2成立的前提条件为_解析：因为不等式成立的前提条

3、件是各项均为正，所以x2y0，即x2y.答案：x2y知识点二基本不等式与最值已知x，y都是正数，则(1)如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当xy时，和xy有最小值2；(2)如果和xy等于定值S(和为定值)，那么当xy时，积xy有最大值S2利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：(1)一正：各项必须为正；(2)二定：各项之和或各项之积为定值；(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备 1若x0，则yx的最小值为_解析：x0，0，yx24，当且仅当x，即x2时，等号成立，故ymin4.答案：42已知0x1，则x(1x)的最大值为_，此时x_解析：因为0x0，所以x(1x)，当且仅当x1

4、x，即x时“”成立，即当x时，x(1x)取得最大值.答案：对基本不等式的理解例1判断下列两个推导过程是否正确：(1)aR，a0，a2 4；(2)x，yR，xy0，2 2.解(1)由于aR，a0，不符合基本不等式的使用条件，故(1)的推导是错误的(2)由xy0，知，均为负数，在推导过程中，将其转变为正数，后，符合基本不等式的使用条件，故(2)的推导正确应用基本不等式时，注意下列两个常见变形中等号成立的条件：(1)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号；2(a，b异号)，当且仅当ab时取等号；(2)a2(a0)，当且仅当a1时取等号；a2(a0)，当且仅当a1时取等号 跟踪训练1不等式a12(a0

5、)中等号成立的条件是()Aa0BaCa1 Da2答案：C2下列结论正确的是()A若xR，且x0，则x4B当x0时，2C当x2时，x的最小值为2D当0x2时，x无最大值解析：选B对于选项A，当x0时，x4显然不成立；对于选项B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x，则x1，均不满足x2；对于选项D，有最大值2.直接应用基本不等式求最值例2(链接教科书第45页例1)求下列式子的最值：(1)y3x2；(2)yx(3x)(0x3)解(1)y3x22，当且仅当3x2，即x时取等号，所以y3x2有最小值.(2)因为0x3，所以x0，3x0，所以

6、yx(3x)，当且仅当x3x，即x时取等号所以yx(3x)(0x3)有最大值.利用基本不等式求最值的策略 跟踪训练1已知x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77C81 D82解析：选Cx0，y0，xy18，xy2，xy81，当且仅当xy9时等号成立，xy有最大值81.2若x0，y0，则2xy的最小值是()A3 B4C4 D2解析：选A2xy2223，当且仅当2x，y，即x，y时等号成立间接应用基本不等式求最值例3(1)已知x3，求y2x的最小值；(2)若0x4，求yx(82x)的最大值解(1)因为x3，所以2x60，所以y2x(2x6)62622610，当且仅当2x6，即x4

7、时取等号所以y2x的最小值是10.(2)因为0x4，所以82x0，所以yx(82x)2x(82x)8，当且仅当2x82x，即x2时取等号所以yx(82x)的最大值为8.基本不等式求最值的两种常用方法(1)拼凑法：拼凑法求最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件；(2)常数代换法：常数代换法求最值的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商 跟踪训练1当x

8、0时，y的最小值为_解析：当x0时，2，当且仅当x2时等号成立，所以当x0时，y的最小值为.答案：2已知实数x，y满足x0，y0，且1，则x2y的最小值为_解析：x0，y0，且1，x2y(x2y)4428，当且仅当，1，即x4，y2时等号成立答案：83函数yx(0x1)的最大值为_解析：由0x1，可得yx，当且仅当x21x2，即x时，等号成立，此时ymax.答案：1(多选)下列说法中正确的是()Aa2b22ab成立的条件是a0，b0Ba2b22ab成立的条件是a，bRCab2成立的条件是a0，b0Dab2成立的条件是ab0解析：选BC根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.2若a0，b0，a2b5，则ab的最大值为()A25 B.C. D.解析：选Da0，b0，a2b5，则aba2b，当且仅当a，b时取等号，故选D.3已知x0，则x2有()A最大值为0 B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：选Cx0，x22224，当且仅当x，即x1时取等号4已知x0，y0，xy4，求的最小值解：xy4，且x0，y0，2 2，当且仅当x2，y时取等号，即的最小值为.7