2023届高考数学易错题专项突破——易错点27 立体几何中的向量方法 WORD版含解析.docx

1、易错点27 立体几何中的向量方法一、单选题1. 若直线l的方向向量a=(1,0,3)，平面的法向量n=(2,0,6)，则A. l/B. lC. lD. l与相交但不垂直2. 已知空间向量AB=(1,0，1)，平面的一个法向量为n=(0,1，1)，则直线AB与平面所成角为A. 6B. 4C. 3D. 233. 在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为A. 30B. 45C. 60D. 904. 在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为A. 300B. 450

2、C. 600D. 9005. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则对角线BD1与平面BDE所成的角的正弦值为A. 63B. 33C. 23D. 136. 若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为A. 45B. 25C. 34D. 557. 已知A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(0,0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是A. (1,1,1)B. (1,1,1)C. (33,33,33)D. (33,33,33)8. 已知二面角l，其中平面的一个法向量m=(1,0,1)，平面的一个法向量n=(0,1,1

3、)，则二面角l的大小可能为A. 60B. 120C. 60或120D. 135二、单空题9. 已知A，P，PA=(32,12,2)，平面的一个法向量n=(0,12,2)，则直线PA与平面所成角的余弦值为_10. 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAA1=DAA1=BAD=60，且所有棱长均为2，则对角线AC1的长为_11. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为_ 12. 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=90，BAA1=DAA1=60.则AC1=_三、解答题13. 如图，在四

4、棱锥PABCD中，PAAD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=BC，AD/BC，BCD=90，M为线段PB上一点(1)若=13，则在线段PB上是否存在点M，使得AM/平面PCD?若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；(2)已知PA=2，AD=1，CD=2，且异面直线PA与CD成90角，求二面角BPCD的余弦值14. 如图，在四棱锥PABCD中，PAAD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=BC，AD/BC，BCD=90，M为线段PB上一点()若=13，则在线段PB上是否存在点M，使得AM/平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；()己知PA=2，AD=1，若异面

5、直线PA与CD成90角，二而角BPCD的余弦值为1010，求CD的长15. 如图，在正四棱锥VABCD中，二面角VBCD为60，E为BC的中点(1)证明：BC=VE(2)已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角为60，求VFVA如图1，在等边ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE/BC，记DEBC=.将ADE沿DE翻折到MDE的位置并使得平面MDE平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点(1)当EN/平面MBD时，求的值;(2)试探究：二面角BMDE的大小是否与的取值有关，如果有，请说明理由;否则请求出二面角BMDE的正切值一、单选题1.

6、 若直线l的方向向量a=(1,0,3)，平面的法向量n=(2,0,6)，则A. l/B. lC. lD. l与相交但不垂直【答案】C【解析】解：a=(1,0,3)，n=(2,0,6)，n=2a，直线l与平面的法向量平行，l，故选C2. 已知空间向量AB=(1,0，1)，平面的一个法向量为n=(0,1，1)，则直线AB与平面所成角为A. 6B. 4C. 3D. 23【答案】A【解析】解：直线AB与平面所成的角的正弦值：sin=|cos|=|ABn|AB|n|=122=12则直线AB与平面所成角为：6故选：A3. 在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=2BB1，则A

7、B1与C1B所成角的大小为A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】D【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，设BB1=1，则AB=2，A(22,0,0),B(22,0,0),B1(22,0,1),C1(0,62,1)，则AB1=(2,0,1),BC1=(22,62,1)，故AB1BC1=0，故AB1与BC1所成角为90，故选D4. 在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为A. 300B. 450C. 600D. 900【答案】D【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，设BB1=1，则AB=2，A(22,0,0),B(22

8、,0,0),B1(22,0,1),C1(0,62,1)，则AB1=(2,0,1),BC1=(22,62,1)，故AB1BC1=0，故AB1与BC1所成角为直角，故选D5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则对角线BD1与平面BDE所成的角的正弦值为A. 63B. 33C. 23D. 13【答案】C【解析】解：如图，以D1为坐标原点，以D1A1为x轴，以D1C1为y轴，D1D为z轴建立空间坐标系，设正方体棱长为1，则D1B=(1,1，1)，DB=(1,1，0)，DE=(0,1，12)，设平面BDE的法向量n=(a,b，c)，则a+b=0b12c=0，令b=1，则n=(1,

9、1，2)，设对角线BD1与平面BDE所成的角为，则，BD1|=|1+1+2|31+1+4=236=23，故选C6. 若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为A. 45B. 25C. 34D. 55【答案】A【解析】解：取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz设三棱柱的棱长为2，则A(0,1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2)，AD=(0,1,2)，CD=0,1,2，CB1=3,1,2，设n=x,y,z为平面B1CD的一个法向量，由nCD=0nCB1=0,得y+2z=03xy+2z=

10、0，故x=0y=2z,令z=1，得n=0,2,1，设直线AD与平面B1DC所成角为，则=455=45，所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45故选A7. 已知A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(0,0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是A. (1,1,1)B. (1,1,1)C. (33,33,33)D. (33,33,33)【答案】D【解析】解：A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(0,0，1)，AB=(1,1，0)，AC=(1,0，1)，设平面ABC的一个单位法向量为n=(x,y,z)，则nAB=x+y=0nAC=x+z=0|n|=x2+y2+z2=1，解得n=(33,33,

11、33)，或n=(33,33,33).故选：D8. 已知二面角l，其中平面的一个法向量m=(1,0,1)，平面的一个法向量n=(0,1,1)，则二面角l的大小可能为A. 60B. 120C. 60或120D. 135【答案】C【解析】解：cos=mn|m|n|=122=12，=120，二面角l的大小为60或120故选C二、单空题9. 已知A，P，PA=(32,12,2)，平面的一个法向量n=(0,12,2)，则直线PA与平面所成角的余弦值为_【答案】12【解析】解：由题意，PA=(32,12,2)与法向量n=(0,12,2)夹角余弦值的绝对值，即为直线PA与平面所成角的正弦值，设直线PA与平面所

12、成角为，则=142(32)2+(12)2+2(12)2+2=32，故答案为1210. 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAA1=DAA1=BAD=60，且所有棱长均为2，则对角线AC1的长为_【答案】26【解析】解：因为解：因为AC1=AB+AD+AA1，所以AC12=AB2+AD2+AA12+2ABAD+ABAA1+AA1AD=12+8cos60+8cos60+8cos60=24，所以AC1=24=26故答案为2611. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为_ 【答案】155【解析】解：以D为原点，以DA，DC，DD1为

13、坐标轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示：设正方体棱长为1，则A(1,0，0)，C(0,1，0)，D10,0,1，M1,1,12，所以AC=1,1,0，AD1=1,0,1,MC=1,0,12设平面ACD1的法向量为n=x,y,z，则nAC=0nAD1=0,所以x+y=0x+z=0,令x=1，得n=1,1,1所以cos=nMCnMC=32523=155所以直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为：cos=155故答案为15512. 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=90，BAA1=DAA1=60.则AC1=_【答案】85【解析】解：AC12=AB+

14、AD+AA12=AB2+AD2+AA12+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=16+9+25+243cos90+245cos60+235cos60=50+20+15=85，因此AC1=85故答案为85三、解答题13. 如图，在四棱锥PABCD中，PAAD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=BC，AD/BC，BCD=90，M为线段PB上一点(1)若=13，则在线段PB上是否存在点M，使得AM/平面PCD?若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；(2)已知PA=2，AD=1，CD=2，且异面直线PA与CD成90角，求二面角BPCD的余弦值【答案】解：(1)存在，点M是线段PB上靠近点

15、P的一个三等分点证明如下：在PC上取靠近点P的三等分点N，连接MN，DN，则MN/BC且MN=13BC，由已知，AD/BC且AD=13BC，所以MN/AD，MN=AD，所以，四边形MNDA是平行四边形，所以AM/ND，又ND平面PCD，所以AM/平面PCD；(2)PAAD，PACD，ADCD=D，AD、CD平面ABCD，则PA平面ABCD，以A为坐标原点，以AD，AP所在直线为y轴，z轴，过点A与平面PAD垂直的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则P(0,0，2)，D(0,1，0)，C(2,1，0)，B(2,11,0)，则PC=(2,1,2),BC=(0,1,0),CD=(2,0,0)，设

16、平面PBC和平面PCD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)，n1BC,n1PC，得n1BC=0n1PC=0,即y11=02x1+y12z1=0,令x1=1，则z1=1，故n1=(1,0,1)，同理可求得n2=(0,2,1)设是二面角BPCD的平面角，则，由图易得其为钝二面角，所以cos=101014. 如图，在四棱锥PABCD中，PAAD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD=BC，AD/BC，BCD=90，M为线段PB上一点()若=13，则在线段PB上是否存在点M，使得AM/平面PCD？若存在，请确定M点的位置；若不存在，请说明理由；()己知PA=2，AD=1，

17、若异面直线PA与CD成90角，二而角BPCD的余弦值为1010，求CD的长【答案】解：()=13时，则在线段PB上是存在点M，且PM=13PB，使得AM/平面PCD理由如下：如图取CN=13CB，连接AN，MN可得AD/CN，AD=CN，四边形ADCN为平行四边形，AN/CD，M，N分别为PB，CN的三等分点，MN/PC面AMN/面PCD，AM/平面PCD()如图，过A作AN/DC交BC与N，设CD=a则A(0,0，0)，N(a,0，0)，P(0,0，2)，D(0,1，0).C(a，1，0)DP=(0,1,2)，DC=(a,0,0)，设面PDC的法向量为m=(x,y,z)mDP=y+2z=0m

18、DC=ax=0m=(0,2,1)CP=(a,1,2)，CN=(0,1,0)设面PNC的法向量为n=(x1,y1,z1)nCP=ax1y1+2z1=0nCN=y1=0n=(2,0,a)|cos|=a54+a2=110a=2CD的长为215. 如图，在正四棱锥VABCD中，二面角VBCD为60，E为BC的中点(1)证明：BC=VE(2)已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角为60，求VFVA【答案】(1)证明：设V在底面的射影为O，则O为正方形ABCD的中心如图，连接OE，因为E为BC的中点，所以OEBC在正四棱锥VABCD中，VB=VC，则VEBC，所以VEO为二面角

19、VBCD的平面角，则VEO=60.在RtVOE中，VE=2OE，又AB=BC=2OE，所以BC=VE(2)解：取AB的中点G，以O为坐标原点，分别以OG,OE,OV为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，设AB=2，则V(0,0,3),E(0,1,0),B(1,1,0),A(1,1,0)，VA=(1,1,3),VB=(1,1,3),VE=(0,1,3)，设VF=VA,(1)，则BF=VFVB=(1.1,3+3)，从而，整理得2+1011=0，解得=11(=1舍去)，故VFVA=1116. 如图1，在等边ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE/BC，记DEBC=.将A

20、DE沿DE翻折到MDE的位置并使得平面MDE平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点(1)当EN/平面MBD时，求的值;(2)试探究：二面角BMDE的大小是否与的取值有关，如果有，请说明理由;否则请求出二面角BMDE的正切值【答案】(1)证明：如图所示，取MB的中点P，连接DP，PNN为MC的中点，P为MB的中点，NP/BC，又DE/BC，NP/DE，即点N、E、D、P四点共面，又EN/平面MBD，EN平面NEPD，平面NEPD平面MBD=DP，EN/DP，即四边形NEDP为平行四边形，NP=/DE，即DE=12BC，所以=12(2)解法一：取DE中点O，因为平面MDE平面DEC

21、B且MODE，所以MO平面DECB，如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设BC=2，则M(0,0，3)，D(,0，0)，B(1,3(1),0)MD=(,0，3)，DB=(1,3(1),0)设平面BMD的法向量m=(x,y，z)，则MDm=x3z=0DBm=(1)x+3(1)y=0，即x=3zx=3y，不妨令x=3，即m=(3,1,1)又平面EMD的法向量n=(0,1，0)cosm,n=mnmn=15=55，即二面角BMDE的大小与值无关又因为二面角BMDE为钝二面角，所以二面角BMDE的正切值为2解法二：过点B作BRDE，交ED延长线于点R，过点R作RTMD，交MD延长线于点T，连接RT，平面MDE平面DECB，BR平面MDE，BRMD又RTMD，MD平面BRT，BTMDBTR为二面角BMDE的补角，不妨设BC=2，则DR=1，BR=3(1)又RT=DRsin3=32(1)tanBTR=BRRT=2所以二面角BMDE的正切值为2，它与值无关