2023新教材高考数学二轮专题复习 第一部分 专题攻略 专题三 数列 第一讲 等差数列与等比数列.docx

1、专题三数列第一讲等差数列与等比数列小题备考常考常用结论1等差数列(1)通项公式：ana1(n1)d；(2)求和公式：Snna1+an2na1nn-12d；(3)性质：若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列2等比数列(1)通项公式：ana1qn1(q0)；(2)求和公式：q1，Snna1；q1，Sna11-qn1-qa1-anq1-q；(3)性质：若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，(Sm0)成等比数列微专题1等差数列与等比数列的基本量计算保分题1.20

2、22河北石家庄二模等差数列an的前n项和记为Sn，若a2a2 0216，则S2 022()A3 033 B4 044C6 066 D8 08822022辽宁沈阳三模在等比数列an中，a2，a8为方程x24x0的两根，则a3a5a7的值为()ABCD332022全国乙卷已知等比数列an的前3项和为168，a2a542，则a6()A14 B12C6 D3提分题例1 (1)2022江苏盐城三模已知数列an，bn均为等差数列，且a125，b175，a2b2120，则a37b37的值为()A760 B820C780 D860(2)2022广东佛山三模已知公比为q的等比数列an的前n项和Snc2qn，nN

3、*，且S314，则a4()A48 B32 C16 D8听课笔记：技法领悟1等差、等比数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差或等比数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本元素；(2)解题思路：设基本量a1和d(q)；列、解方程(组)；把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，减少计算量2等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若mnpq，则amanapaq”这一性质与求和公式Snna1+an2的综合应用巩固训练11

4、.2022河北邯郸二模在我国古代著作九章算术中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，问各得几何？”意思是有五个人分五钱，且得钱最多的两个人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱？若已知这五人分得的钱数从多到少成等差数列，则这个等差数列的公差d()A16 B15C14 D1322022山东淄博一模已知等比数列an，其前n项和为Sn.若a24，S314，则a3_.微专题2等差数列与等比数列的综合保分题1.2022辽宁沈阳一模已知等差数列an的公差为2，且a2，a3，a5成等比数列，则an的前n项和Sn()An(n2) Bn(n1)Cn(n1) Dn(n2)2

5、各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，4a1，2a3，a5成等差数列，则a1()A525 B525C52D53已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若S34，S919，则S6，S9的等差中项为_提分题例2 (1)2022山东日照三模在公差不为0的等差数列an中，a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为3的等比数列，则k3()A14 B34C41 D86(2)2022山东潍坊三模(多选)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，则下列结论正确的是()A数列Snn为等差数列B对任意正整数n，bn2+bn+22 2bn12C数列S2n2S2n一定是等差数列D数列T2n2

6、T2n一定是等比数列听课笔记：技法领悟等差、等比数列综合问题的求解策略对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便巩固训练21.已知等比数列an的前n项和为Sn，且a2，2a5，3a8成等差数列，则S6S3()A1或43 B1或13C2或43 D13或4322022湖北荆州三模(多选)等差数列an的前项n和为Sn，数列bn为等比数列，则下列说法正确的选项有 ()A数列2an一定是等比数列B数列ban一定是等比数列C数列Snn一定是等差数列D数列bnbn1一定是等比数列微专题3数列的递推保分

7、题1.2022广东汕头三模已知数列an中，a114，当n1时，an11an-1，则a2 022()A14B45C5D452数列an中，若a12，an12anan+2，则a7()A18 B17 C27 D1432022山东泰安三模已知数列an满足：对任意的m，nN*，都有amanamn，且a23，则a20()A320 B315 C310 D35提分题例3 (1)2022湖南雅礼中学二模(多选)著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n个中心带孔的圆盘将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作设将n个圆

8、盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为an，则()Aa23 Ba38Can12ann Dan2n1(2)设an是首项为1的正项数列，且n+1an+12nan2an1an0(n1，2，3，)，则它的通项公式是a100()A100 B1100 C101 D1101听课笔记：技法领悟1通过验证或者推理得出数列的周期性后求解2根据已知递推关系式，变形后构造出等差数列或等比数列，再根据等差数列或等比数列的知识求解3三种简单的递推数列：an1anf(n)，an+1anf(n)，an1panq(p0，1，q0)，第一个使用累加的方法，第二个使用累积的方法，第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设an1

9、p(an)，展开比较系数得出)巩固训练31.南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列an，则()Aa5a44 Ba1005 000C2an1anan2Dan1ann122022福建漳州二模已知Sn是数列an的前n项和，a11，a22，a33，记bnanan1an2且bn1bn2，则S31()A171 B278 C351 D395专题三数列第一讲等差数列与等比数列微专题1等差数列与等比数列的基本量计算保分题1解析：由等差数列an知，a2

10、a2 021a1a2 0226，所以S2 0222 022a1+a2 02221 01166 066.答案：C2解析：在等比数列an中，因为a2，a8为方程x24x0的两根，所以a2a8a52，所以a5，所以a3a5a7a53.故选C.答案：C3解析：设等比数列an的公比为q.由题意知，a2q+a2+a2q=168，a2-a2q3=42.两式相除，得1+q+q2q1-q34，解得q12.代入a2a2q342，得a248，所以a6a2q43.故选D.答案：D提分题例1解析：(1)数列an，bn均为等差数列，设公差分别为d1，d2(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，则

11、数列anbn也为等差数列，a1b1100，a2b2120，数列anbn的首项为100，公差为20，a37b371002036820，故选B.(2)因为公比为q的等比数列an的前n项和Snc2qn，当n1时a1S1c2q，当n2时Sn1c2qn1，得an2qn2qn1(2q2)qn1，所以2q2c2q，则c2，又S314，所以S322q314，解得q2，所以an2n，则a42416.答案：(1)B(2)C巩固训练11解析：若分得的钱从多到少分别为a1，a2，a3，a4，a5，所以a1+a2=a3+a4+a5a1+a2+a3+a4+a5=5，所以a1=-8d5a1+10d=5，可得a1=43d=-

12、16.答案：A2解析：设等比数列的公比为q，因为a24，S314，所以a1a310，即a2qa2q10，所以2q25q20，解得q2或q12，所以当q2时，a38；当q12时，a32所以，a32或a38.答案：2或8微专题2等差数列与等比数列的综合保分题1解析：设等差数列an公差d2，由a2，a3，a5成等比数列得，a32a2a5，即(a12d)2(a1d)(a14d)，解得a10，Snn0nn-122n(n1)答案：B2解析：设等比数列an的公比为q，(q0)，a10，故由题意可得：a11+q+q2+q3=154a3=4a1+a5，a11+q+q2+q3=154q2=4+q4，解得q22，q

13、2，a1525.答案：A3解析：设S6x，因为an为等比数列，所以S3，S6S3，S9S6成等比数列因为S34，S919，所以4(19x)(x4)2，解得x10或x6(舍去)所以S6，S9的等差中项为292.答案：292提分题例2解析：(1)因为a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为3的等比数列，可得a23a1，所以ak3a13481a1 ，又因为数列an为等差数列，所以公差da2a12a1，所以ak3a1(k31)da12(k31)a1(2k31)a1，所以(2k31)a181a1，解得k341.故选C.(2)设等差数列an的公差为d，则Snna1nn-12d，所以，Snna1n-1d2

14、.对于A选项，Sn+1n+1-Snna1nd2a1n-1d2d2，所以，Snn为等差数列，A对；对于B选项，对任意的nN*，bn0，由等比中项的性质可得bn+12bnbn2，由基本不等式可得bn2 +bn222bnbn22bn+12，B对；对于C选项，令cnS2n2S2na2n2a2n1，所以，cn1cn(a2n4a2n3)(a2n2a2n1)4d，故数列S2n2S2n一定是等差数列，C对；对于D选项，设等比数列bn的公比为q，当q1时，T2n2T2nb2n2b2n1b2n1(q1)0，此时，数列T2n2T2n不是等比数列，D错答案：(1)C(2)ABC巩固训练21解析：设等比数列公比为q，由

15、a2，2a5，3a8成等差数列可得，22a1q4a1q3a1q7，化简得3q64q310，解得q313或q31，当q31时，S6S32；当q313时，S6S3a11-q61-qa11-q31-q1q343.答案：C2解析：若an公差为d，bn公比为q，A：由2an+12an2an+1-an2d为定值，故2an为等比数列，正确；B：由ban+1banban+dbanbanqdbanqd为定值，故ban为等比数列，正确；C：由Sn+1n+1-Snna1+an+12-a1+an2an+12-an2d2为定值，故Snn为等差数列，正确；D：当q1时bnbn10，显然不是等比数列，错误答案：ABC微专题

16、3数列的递推保分题1解析：由题意得：a211a15，a311a245，a411a314，则数列an的周期为3，则a2 022a6743a345.答案：B2解析：因为an12anan+2，所以1an+112+1an，即1an+1-1an12，又1a112，则1an是以12为首项，12为公差的等差数列，即1an12+12(n1)n2，则an2n，所以a727.答案：C3解析：因为对任意的m，nN*，都有amanamn，所以a1a1a2，a1ana1n，又a23，所以a13，所以an+1ana1，所以数列an是首项为a1，公比为a1的等比数列，所以ana1(a1)n1(a1)n，所以a20(a1)2

17、0310.答案：C提分题例3解析：(1)将圆盘从小到大编为1，2，3，号圆盘，则将第n1号圆盘移动到3号柱时，需先将第1n号圆盘移动到2号柱，需an次操作；将第n1号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将1n号圆需移动到3号柱需an次操作，故an12an1，an112(an1)，又a11，an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an122n12n，即an2n1，a23，a37.2n+1an+12-nan2an1an0，n+1an+12+anan1nan20，(n1)an1nan(an1an)0，又an0，an1nn+1an，即an+1annn+1，a2a1a3a2anan-11223n-1n，即an

18、a11n，又a11，an1n，a1001100.答案：(1)AD(2)B巩固训练31解析：由相邻层球的个数差，归纳可知an1ann1，a11，对an1ann1累加得annn+12.所以，a5a45，a100100100+125 050，2an1anan2，所以ABC错误，故选D.答案：D2解析：由bn1bn2，bn1bnan1an2an3(anan1an2)an3an2，a1，a4，a7，是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，是首项为3，公差为2的等差数列，S31(a1a4a31)(a2a5a29)(a3a6a30)1111110222101092231010922351.故选C.答案：C