江苏省2015届高三数学第五次联考试卷 理.doc

1、江 苏 大 联 考 2015届高三第五次联考数学试卷考生注意:1.本试卷共160分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前4次联考内容+概率与统计+算法初步+推理与证明+复数.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1.已知复数z=(1+i)(2-i)(i为虚数单位),则=.2.集合M=x|00)的焦点为F,A是抛物线上一点,直线OA的斜率为(O为坐标原点),且A到F的距离为3,则p=.12.已知Sn是数列a

2、n的前n项和,向量a=(an-1,-2),b=(4,Sn),满足ab,则= .13.已知2a=3b=6c,kZ,不等式k恒成立,则整数k的最大值为.14.设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:若此数阵中第i行从左到右的第j个数是-588,则i+j=.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表所示(单位:min):组

3、别候车时间人数一 0,5)2二5,10)6三10,15)a四15,20)2五20,25)1(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;(2)若从上表第三、四组的乘客中选2人做进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.16.(本小题满分14分)设a,b,c均为正实数.(1)若a+b+c=1,求证:a2+b2+c2;(2)求证:.17.(本小题满分14分)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据,统计结果如下:API0,50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污

4、染重度污染天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与空气质量指数API(记为)的关系式为:S=试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;(2)若以上表统计的频率作为概率,求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率.(假定这三天中空气质量互不影响)18.(本小题满分16分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,AC=BC=CC1=2,M,N分别为AC,B1C1的中点.(1)求证:MN平面ABB1A1; (2)线段CC1上是否存在点Q,使A1B平面MNQ?说明理由.19.(本小题满分16分)已知点P(4

5、,4),圆C:(x-m)2+y2=5 (mb0)有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.(1)求m的值与椭圆E的方程;(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求的取值范围.20.(本小题满分16分)定义函数fk(x)=为f(x)的k阶函数.(1)求f(x)的一阶函数f1(x)的单调区间;(2)讨论方程f2(x)=1的解的个数.2015届高三第五次联考数学试卷参 考 答 案1.3-i由z=(1+i)(2-i)得z=3+i,故=3-i.2.1,2N=1,2,则MN=1,2.3.5因为10-(1+2+3+4)=0,所以输出k的值为4+1=5.4.假设a,b,c都是奇

6、数“至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”,即反设应为“假设a,b,c都是奇数”.5.|-|=|-|=|-2-i|=.6.由题意可得甲的平均成绩为90,设被污损的数字为x,则依题意可得83+83+87+99+90+x450,解得x2=2,+=log23+log323,45,则整数k的最大值为4.14.29设数列an的公差为d,由S8=4a3,a7=-2得a1=10,d=-2,则an=12-2n,令an=12-2n=-588,解得n=300.在数阵中,从第1行到第m行共有1+3+5+2m-1=m2个数,172=2893000,欲证,只需证,只需证3(a2+b2+c2)(a+b+c)2,只需证2a

7、2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0,即证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,上述不等式显然成立,故原不等式成立.14分17.解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A,由200S600,得150250,频数为39,P(A)=.6分(2)记空气质量轻度污染为事件B,由(1)知P(B)=,则P()=,记三天中恰有一天空气质量轻度污染为事件C,则P(C)=+=0.441.故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为0.441.14分18.解:(1)取AB中点D,连接DM,DB1.在ABC中,M为AC中点,DMBC,DM=BC. 在矩形B1

8、BCC1中,N为B1C1中点,B1NBC,B1N=BC,DMB1N,DM=B1N,四边形MDB1N为平行四边形,所以MNDB1.MN平面ABB1A1,DB1平面ABB1A1,MN 平面ABB1A1.8分(2)线段CC1上存在点Q,且Q为CC1中点时,有A1B平面MNQ.证明如下:连接BC1.在正方形BB1C1C中易证QNBC1 .又A1C1平面BB1C1C,所以A1C1QN,从而NQ平面A1BC1,A1BQN.同理可得 A1BMQ,A1B平面MNQ.故线段CC1上存在点Q,使得A1B平面MNQ.16分19.解:(1)将点A代入圆C方程,得(3-m)2+1=5.m0),f1(x)=(x0),令f1(x)=0,当a0时,x=e.当a=0时,f1(x)无单调区间;当a0时,f1(x)的单增区间为(0,e),单减区间为(e,+);当a0),则g(x)=.由g(x)=0得x=,从而g(x)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减.g(x)max=g()=.当x0时,g(x)-,当x+时,g(x)0.当02e时,方程有两个不同解.当,即0a2e时,方程有0个解.当=或0即a=2e或a2e时,方程有两个不同解;当0a2e时,方程有0个解;当a=2e或a0时,方程有唯一解.16分