（广西专用）2022年高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式课件 新人教A版（文）.pptx

1、4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式 -2-知识梳理 双基自测 211.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin()=.(2)cos()=.(3)tan()=tantan1tantan.sin cos cos sin cos cos sin sin -3-知识梳理 双基自测 212.二倍角公式 sin 2=;cos 2=;tan 2=2tan1-tan2.2sin cos cos2-sin2 2cos2-1 1-2sin2 2-4-知识梳理 双基自测 3411.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意角.()(2)两角和与差的正切公式中的角,是

2、任意角.()(3)cos 80cos 20-sin 80sin 20=cos(80-20)=cos 60 =12.()(4)cos=2cos22-1=1-2sin22.()(5)1-tan 1+tan=tan 4+.()5-5-知识梳理 双基自测 23412.已知 cos x=34,则 cos 2x=()A.-14B.14C.-18D.18 答案 解析 解析 关闭cos 2x=2cos2x-1=2 34 2-1=18.答案 解析 关闭D 5-6-知识梳理 双基自测 234153.(2020 广东广州模拟)已知 cos 4+=223,则 sin 2 的值是()A.-79B.-29C.29D.79

3、A解析:已知 cos 4+=223,cos 2+2=2cos24+-1=79.故 sin 2=-cos 2+2=-79.-7-知识梳理 双基自测 23414.sin 63cos 18+cos 63cos 108=.答案 解析 解析 关闭原式=sin 63cos 18+cos 63cos(90+18)=sin 63cos 18-cos 63sin 18=sin(63-18)=sin 45=22.答案 解析 关闭22 5-8-知识梳理 双基自测 234155.(2020 陕西西安期中)已知 tan=3,tan(+)=17,则 tan 的值为 .-2解析:tan=3,tan(+)=17=tan+ta

4、n 1-tan tan =3+tan 1-3tan,整理可得 tan=-2.-9-知识梳理 双基自测 2341自测点评 1.两角和与差的正弦公式概括为“正余、余正符号同”,两角和与差的余弦公式概括为“余余、正正符号异”.“符号同”指的是等号左边的“”与等号右边的“”一致.2.运用公式时要注意公式成立的条件.3.给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分;(2)观察名,尽可能使得函数名统一;(3)观察结构,利用公式,整体化简.5-10-考点1 考点2 考点3 考点 1 三角函数公式的基本应用 例 1(1)cos sin +6+sin si

5、n-3=()A.12B.-12C.32D.-32A(2)(2020 四川成都期中)已知 tan=3,则 sin2+12sin 2=()A.65B.45C.-65D.-45A 思考在应用三角函数公式时应注意什么?-11-考点1 考点2 考点3 解析:(1)cos sin +6+sin sin-3=cos sin +6-sin cos -3+2=sin +6 cos-cos +6 sin=sin +6-=sin6=12,故选 A.(2)已知 tan=3,则 sin2+12sin 2=sin2+sin cos sin2+cos2=tan2+tan tan2+1=9+39+1=65.解题心得三角函数公

6、式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.-12-考点1 考点2 考点3(3)已知 sin125+2sin 1110-=0,则 tan 25+=.对点训练 1(1)已知 sin=35,2,则cos2 2sin +4=.-75(2)(2020 安徽马鞍山三模)已知 sin +2=35 0 2,则 tan 2=.-247 2-13-考点1 考点2 考点3 解析:(1)sin=35,2,cos=-45.cos2 2sin +4=cos2-sin22 22 sin+22 cos =cos-sin=-75.(2)sin +2=cos=35 0 2,sin=1-

7、cos2=45,tan=sin cos =43,tan 2=2tan 1-tan2=-247.-14-考点1 考点2 考点3(3)sin 125+2sin 1110-=0,sin25 cos+cos25 sin+2 sin1110 cos-cos1110 sin=0,sin25 cos+cos25 sin+2 sin25 sin-cos25 cos=0,等式两边同时除以 cos25 cos,得 tan25+tan+2 tan25 tan-1=0,tan 25+tan 1-tan 25 tan=2,即 tan 25+=2.-15-考点1 考点2 考点3 考点 2 三角函数公式的逆用及变用 例 2

8、(1)sin(65-x)cos(x-20)+cos(65-x)cos(110-x)的值为()A.2B.22C.12D.32(2)已知 sin+cos=13,则 sin2 4-=()A.118B.1718C.89D.29(3)在ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为()A.-22B.22C.12D.-12思考三角函数公式除了直接应用外,还能怎样应用?B B B-16-考点1 考点2 考点3 解析:(1)原式=sin(65-x)cos(x-20)+cos(65-x)cos 90-(x-20)=sin(65-x)cos(x-20)+cos(65-x)

9、sin(x-20)=sin(65-x)+(x-20)=sin 45=22.故选 B.(2)sin+cos=13,(sin+cos)2=1+2sin cos=19,sin 2=-89,sin2 4-=1-cos 2-2 2=1-sin22=1718.-17-考点1 考点2 考点3 解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公式的直接应用,还要熟悉公式的逆用及变形应用,如tan+tan=tan(+)(1-tan tan)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.(3)在ABC 中,由 tan Atan B=tan A+tan B+

10、1,可得tan+tan 1-tan tan=-1,即 tan(A+B)=-1,A+B=34,则 C=4,即 cos C=22.-18-考点1 考点2 考点3 对点训练2(1)已知sin+cos=1,cos+sin=0,则sin(+)=.(2)化简:2sin 50+sin 10(1+3tan 10)2sin280=.(3)在ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列,则 tan2+tan2+3tan2tan2的值为 .答案:(1)-12(2)6(3)3-19-考点1 考点2 考点3 解析:(1)(sin+cos)2+(cos+sin)2=1,sin2+cos2+cos2+sin2+2sin

11、 cos+2sin cos=1+1+2sin(+)=1.sin(+)=-12.(2)原式=2sin 50+sin 10cos10+3sin10 cos10 2sin 80=2sin 50+2sin 1012cos10+32 sin10 cos10 2cos 10=22sin 50cos 10+sin 10cos(60-10)=22sin(50+10)=22 32=6.-20-考点1 考点2 考点3(3)三个内角 A,B,C 成等差数列,且 A+B+C=,A+C=23,+2=3,tan+2=3,tan2+tan2+3tan2tan2=tan 2+2 1-tan2 tan2+3tan2tan2=3

12、 1-tan2 tan2+3tan2tan2=3.-21-考点1 考点2 考点3 考点 3 三角函数公式运用中角的变换 (2)已知 sin 2=14,且 04,则 sin 54-=()A.-104B.104C.64D.-64(3)已知 cos-2=-19,sin 2-=23,且2,02,则cos(+)=.思考已知一个角或两个角的三角函数值,求另一个角的三角函数值的一般思路是什么?A.2B.-2C.3D.-3例3(1)(2020黑龙江大庆模拟)若tan=3,tan(2-)=-1,则tan(-)=()A-239729 D-22-考点1 考点2 考点3 解析:(1)由 tan=3,tan(2-)=-

13、1,得 tan(-)=tan(2-)-=tan(2-)-tan 1+tan(2-)tan =(-1)-31+(-1)3=2.故选 A.(2)因为 sin 2=cos 2-2=1-2sin2 4-=14,又 04,所以 sin 4-=64,所以 sin 54-=-sin 4-=-64.-23-考点1 考点2 考点3(3)由已知,得2-2,02-2,sin-2=459,cos 2-=53,cos+2=cos -2-2-=cos-2 cos 2-+sin-2 sin 2-=-19 53+459 23=7527.则 cos(+)=2cos2+2-1=-239729.-24-考点1 考点2 考点3 2.

14、常见的配角技巧:2=(+)+(-),=(+)-,=+2 -2,=+2+-2,-2=+2 2+等.解题心得1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,要注意观察“所求角”与“已知角”的和或差是不是的整数倍,若是,则可利用诱导公式将“所求角”转化为“已知角”.2-25-考点1 考点2 考点3 对点训练 3(1)设,都是锐角,且 cos=55,sin(+)=35,则 cos 等于()A.2525B.255C.2525 或255D.55 或 525(2)已知锐角,满足 cos=2

15、55,sin(-)=-35,则 sin 的值为.255 A-26-考点1 考点2 考点3 解析:(1)依题意得 sin=1-cos2=255,cos(+)=1-sin2(+)=45.又,均为锐角,所以 0+cos(+).因为45 55-45,所以 cos(+)=-45.于是 cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=-45 55+35 255=2525.-27-考点1 考点2 考点3(2)因为,是锐角,即 02,02,所以-2-2.因为 sin(-)=-350,所以 cos(-)=45.因为 cos=255,所以 sin=55,故 sin=sin-(-)=sin cos(

16、-)-cos sin(-)=55 45+35 255=255.-28-考点1 考点2 考点3 1.解决三角函数问题要重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”.变角:对角的分拆要尽可能化成同角、余角、补角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,灵活使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.-29-考点1 考点2 考点3 1.解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.2.运用公式时要注意公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,要注意“1”的各种变形.3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.特别是在区间(0,)内,正弦值对应的角不唯一.