（人教通用）2014届数学（理）一轮复习知识点逐个击破专题讲座：函数的奇偶性与周期性 WORD版含解析.doc

1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 6 函数的奇偶性与周期性（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一、考纲目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理（一）函数的奇偶性 1.定义：如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）()f x 为

2、偶函数()(|)f xfx（4）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f xfx，()1()f xfx （7）设()f x，()g x 的定义域分别是12,D D，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（二）函数的周期性 1.定义：若 T 为非

3、零常数，对于定义域内的任一 x，使)()(xfTxf恒成立，则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期 2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集 三、考点逐个突破 1奇偶性辨析 例 1.下面四个结论：偶函数的图象一定与 y 轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是 A1 B.2 C.3 D.4 分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定相交，因此正确，错误 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确

4、 若 y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得 f(x)=0，但不一定 xR，如例 1 中的(3)，故错误，选 A 说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 例 2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|x|(x21)；(2)f(x)x1x；(3)f(x)x2 2x；(4)f(x)1x2 x21；(5)f(x)(x1)1x1x.解析(1)此函数的定义域为 R.f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)，f(x)f(x)，即 f(x)是偶函数(2)此函数的定义域为 x0，由于定义域关于原点不对称，故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)此函数的定义域为2，由于

5、定义域关于原点不对称，故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)此函数的定义域为1，1，且 f(x)0，可知图像既关于原点对称，又关于 y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数(5)定义域：1x01x1x01x1 是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数 2.奇偶性的应用 例 3.已知函数()f x 对一切,x yR，都有()()()f xyf xf y，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)fa，用表示(12)f 解：（1）显然()f x 的定义域是，它关于原点对称.在()()()f xyf xf y中，令 yx，得(0)()()ff xfx，令0 xy，得(0)(0)(0)f

6、ff，(0)0f，()()0f xfx，即()()fxf x，()f x 是奇函数（2）由(3)fa，()()()f xyf xf y及()f x 是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa 例 4.（1）已知()f x 是上的奇函数，且当(0,)x 时，3()(1)f xxx，则()f x 的解析式为33(1),0()(1),0 xxxf xxxx （2）已知()f x 是偶函数，xR，当0 x 时，()f x 为增函数，若120,0 xx，且12|xx，则（）12()()fxfx 12()()fxfx C12()()f xfx 12()()f xfx 例 5 设为实数，函数2

7、()|1f xxxa，xR（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求()f x 的最小值 解：（1）当0a 时，2()()|1()fxxxf x ，此时()f x 为偶函数；当0a 时，2()1f aa，2()2|1faaa，()(),()(),faf afaf a 此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数（2）当 xa时，函数2213()1()24f xxxaxa，若12a，则函数()f x 在(,a上单调递减，函数()f x 在(,a上的最小值为2()1f aa；若12a，函数()f x 在(,a上的最小值为13()24fa，且1()()2ff a 当 xa时，函数2213()1()24

8、f xxxaxa，若12a ，则函数()f x 在,)a 上的最小值为13()24fa，且1()()2ff a；若12a ，则函数()f x 在 ,)a 上单调递增，函数()f x 在 ,)a 上的最小值2()1f aa 综上，当12a 时，函数()f x 的最小值是 34a，当1122a时，函数()f x 的最小值是21a ，当12a，函数()f x 的最小值是34a 3.函数周期性的应用 例 6设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x)当 x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式；(3)计

9、算 f(0)f(1)f(2)f(2 011)解(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为 4 的周期函数(2)当 x2,0时，x0,2，由已知得 f(x)2(x)(x)22xx2，又 f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当 x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又 f(x)是周期为 4 的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得 x2,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又 f(x)是周期为 4 的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4

10、)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 011)0.4.单调性与奇偶性的交叉应用 例 7.已知定义域为 R 的函数 f(x)2xb2x1a是奇函数 求 a、b 的值；若对任意的 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围 解：f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0，即b1a20，b1，f(x)12xa2x1，又由 f(1)f(1)知12a4112a1，解得 a2.由知 f(x)12x22x11212x1，易知 f(x)在(，)上为减函数 又f(x)是奇函数，从而不等式 f(t22t)f(2t2k)0 等价于 f(t22t)k2t2，即对任意的 tR 恒有：3t22tk0，从而 412k0，k13.