（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 代数综合.doc

1、代数综合 1、（2013 德州）下列函数中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大的是（）A y=x+1 B y=x21 C1yx D y=x2+1 考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质 分析：根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断 解答：解：A、y=x+1，一次函数，k0，故 y 随着 x 增大而减小，错误；B、y=x21（x0），故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；而在对称轴左侧（x0），y 随着 x 的增大而减小，正确 C、y=，k=10，在每个象限里，y 随 x 的增大而减小，错误；D、y=x2+1（x0），故当图象在

2、对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减小；而在对称轴左侧（x0），y 随着 x 的增大而增大，错误；故选 B 点评：本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目 2、（2013攀枝花）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（3，0），B（1.0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出此时点 P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为 D，DEx 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 考点

3、：二次函数综合题 分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点 P 作 x 轴的垂线，交 AC 于点 N，先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式，设 P 点坐标为（x，x2+2x3），根据 AC 的解析式表示出点 N 的坐标，再根据SPAC=SPAN+SPCN就可以表示出PAC 的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：以 A 为直角顶点；以 D 为直角顶点；以 M 为直角顶点；设点 M 的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出 t 的值即可 解答：解：（1）由于抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3，0），B（1，0），

4、可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x1），将 C 点坐标（0，3）代入，得：a（0+3）（01）=5，解得 a=1，则 y=（x+3）（x1）=x2+2x3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x3；（2）过点 P 作 x 轴的垂线，交 AC 于点 N 设直线 AC 的解析式为 y=kx+m，由题意，得，解得，直线 AC 的解析式为：y=x3 设 P 点坐标为（x，x2+2x3），则点 N 的坐标为（x，x3），PN=PENE=（x2+2x3）+（x3）=x23x SPAC=SPAN+SPCN，S=PNOA=3（x23x）=（x+）2+，当 x=时，S 有最大值，此时点 P 的坐标为（，）

5、；（3）在 y 轴上是否存在点 M，能够使得ADE 是直角三角形理由如下：y=x2+2x3=y=（x+1）24，顶点 D 的坐标为（1，4），A（3，0），AD2=（1+3）2+（40）2=20 设点 M 的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：当 A 为直角顶点时，如图 3，由勾股定理，得 AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得 t=，所以点 M 的坐标为（0，）；当 D 为直角顶点时，如图 3，由勾股定理，得 DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t0）2，解得 t=，所以点 M 的坐标为（0，）；当

6、 M 为直角顶点时，如图 3，由勾股定理，得 AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得 t=1 或3，所以点 M 的坐标为（0，1）或（0，3）；综上可知，在 y 轴上存在点 M，能够使得ADE 是直角三角形，此时点 M 的坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键 3、（2013 达州压轴题）如图，在直角体系中，直线 AB 交 x 轴于点 A（5，0）

7、，交 y 轴于点 B，AO 是M 的直径，其半圆交 AB 于点 C，且 AC=3。取 BO 的中点 D，连接 CD、MD 和 OC。（1）求证：CD 是M 的切线；（2）二次函数的图象经过点 D、M、A，其对称轴上有一动点 P，连接 PD、PM，求PDM 的周长最小时点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当PDM 的周长最小时，抛物线上是否存在点 Q，使16QAMPDMSS？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）证明：连结 CM.OA 为M 直径,OCA=90.OCB=90.D 为 OB 中点,DC=DO.DCO=DOC.(1 分）MO=MC,MCO=MOC.(2 分

8、）DCM=DCO+MCO=DOC+MOC=DOM=90.(3 分）又点 C 在M 上，DC 是M 的切线.(4 分）（2）解：在 RtACO 中,有 OC=22ACOA.又A 点坐标（5，0）,AC=3,OC=2235=4.tanOAC=OAOBACOC.534OB.解得 OB=320.又D 为 OB 中点，OD=310.D 点坐标为（0，310).(5 分）连接 AD，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,则有.05,310bkbj 解得.32,310kb 直线 AD 为 y=-32 x+310.二次函数的图象过 M（25,0)、A(5,0)，抛物线对称轴 x=415.(6 分）点 M、A

9、 关于直线 x=415 对称，设直线 AD 与直线 x=415 交于点 P,PD+PM 为最小.又DM 为定长，满足条件的点 P 为直线 AD 与直线 x=415 的交点.(7 分）当 x=415 时,y=-32 415+310=65.故 P 点的坐标为（415，65）.(8 分）（3）解：存在.SPDM=SDAM-SPAM=21 AMyD-21 AMyP=21 AM(yD-yp).SQAM=21 AMQy,由（2）知 D（0，310),P(415，65）,61（310-65）=yQ 解得 yQ=125(9 分）二次函数的图像过 M(0，25)、A(5，0），设二次函数解析式为 y=a(x-2

10、5)（x-5).又该图象过点 D（0，310)，a(-25）(-5)=310，a=154.y=154(x-25)(x-5).(10 分）又C 点在抛物线上，且 yQ=125，154(x-25)(x-5)=125.解之，得 x1=42515，x2=42515，x3=415.点 Q 的坐标为（42515，125)，或（42515，125)，或（415，-125）.(12分）4、（2013天津压轴题）已知抛物线 y1=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 l，顶点为点 M若自变量 x 和函数值 y1的部分对应值如下表所示：（）求 y1与 x 之间的函数关系式；（）若经过点 T（0，t）作垂直于 y

11、 轴的直线 l，A 为直线 l上的动点，线段 AM 的垂直平分线交直线 l 于点 B，点 B 关于直线 AM 的对称点为 P，记 P（x，y2）（1）求 y2与 x 之间的函数关系式；（2）当 x 取任意实数时，若对于同一个 x，有 y1y2恒成立，求 t 的取值范围 x 1 0 3 y1=ax2+bx+c 0 0 考点：二次函数综合题 专题：探究型 分析：（I）先根据物线经过点（0，）得出 c 的值，再把点（1，0）、（3，0）代入抛物线 y1的解析式即可得出 y1与 x 之间的函数关系式；（II）先根据（I）中 y1与 x 之间的函数关系式得出顶点 M 的坐标 记直线 l 与直线 l交于点

12、 C（1，t），当点 A与点 C 不重合时，由已知得，AM 与BP 互相垂直平分，故可得出四边形 ANMP 为菱形，所以 PAl，再由点 P（x，y2）可知点 A（x，t）（x1），所以 PM=PA=|y2t|，过点 P 作 PQl 于点 Q，则点 Q（1，y2），故 QM=|y23|，PQ=AC=|x1|，在 RtPQM 中，根据勾股定理即可得出 y2与 x 之间的函数关系式，再由当点 A 与点 C 重合时，点 B 与点 P 重合可得出 P 点坐标，故可得出y2与 x 之间的函数关系式；据题意，借助函数图象：当抛物线 y2开口方向向上时，可知 62t0，即 t3 时，抛物线 y1的顶点 M（

13、1，3），抛物线 y2的顶点（1，），由于 3，所以不合题意，当抛物线 y2开口方向向下时，62t0，即 t3 时，求出 y1y2的值；若 3t110，要使 y1y2恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1，）在 x 轴下方，因为 3t0，只要 3t110，解得 t，符合题意；若 3t11=0，y1y2=0，即 t=也符合题意 解答：解：（）抛物线经过点（0，），c=y1=ax2+bx+，点（1，0）、（3，0）在抛物线 y1=ax2+bx+上，解得，y1与 x 之间的函数关系式为：y1=x2+x+；（II）y1=x2+x+，y1=（x1）2+3，直线 l 为 x=1，顶点 M（1，3）由题意得，t

14、3，如图，记直线 l 与直线 l交于点 C（1，t），当点 A与点 C 不重合时，由已知得，AM 与 BP 互相垂直平分，四边形 ANMP 为菱形，PAl，又点 P（x，y2），点 A（x，t）（x1），PM=PA=|y2t|，过点 P 作 PQl 于点 Q，则点 Q（1，y2），QM=|y23|，PQ=AC=|x1|，在 RtPQM 中，PM2=QM2+PQ2，即（y2t）2=（y23）2+（x1）2，整理得，y2=（x1）2+，即 y2=x3x+，当点 A 与点 C 重合时，点 B 与点 P 重合，P（1，），P 点坐标也满足上式，y2与 x 之间的函数关系式为 y2=x3x+（t3）；根

15、据题意，借助函数图象：当抛物线 y2 开口方向向上时，62t0，即 t3 时，抛物线 y1的顶点 M（1，3），抛物线 y2的顶点（1，），3，不合题意，当抛物线 y2开口方向向下时，62t0，即 t3 时，y1y2=（x1）2+3（x1）2+=（x1）2+，若 3t110，要使 y1y2恒成立，只要抛物线 y=（x1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在 x轴下方，3t0，只要 3t110，解得 t，符合题意；若 3t11=0，y1y2=0，即 t=也符合题意 综上，可以使 y1y2恒成立的 t 的取值范围是 t 点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及

16、二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用 5、(2013 年江西省压轴题)已知抛物线抛物线 y n=-(x-an)2+an（n 为正整数，且 0a1a20，a1=1 即 y1=(x1)2+1 方法一：令 y1=0 代入得：(x1)2+1=0，x1=0，x2=2，y1与 x 轴交于 A0（0，0），A1（2，0）b1=2，方法二：y1=(xa1)2+a1与 x 轴交于点 A0（0，0），(b11)2+1=0，b1=2 或 0，b1=0（舍去）b1=2 又抛物线 y2=(xa2)2+a2与 x 轴交于点 A1（2，0），(2a2)2+a2=0，a2=1 或 4，a2 a1，a2=1（

17、舍去）取 a2=4，抛物线 y2=(x4)2+4 （2）（9，9）；（n2，n2）y=x 详解如下：抛物线 y2=(x4)2+4 令 y2=0 代入得：(x4)2+4=0，x1=2，x2=6 y2与 x 轴交于点 A1（2，0），A2（6，0）又抛物线 y3=(xa3)2+a3与 x 轴交于 A2（6，0），(6a3)2+a3=0 a3=4 或 9，a3 a3，a3=4（舍去），即 a3=9，抛物线 y3的顶点坐标为（9，9）由抛物线 y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线 yn的顶点坐标为（n2，n2）所有抛物线的顶点的横坐标等于纵

18、坐标，顶点坐标满足的函数关系式是：y=x；A0（0，0），A1（2，0），A0 A1=2 又yn=(xn2)2+n2，令 yn=0，(xn2)2+n2=0，即 x1=n2+n，x2=n2n，A n1(n2n，0)，A n(n2+n，0)，即 A n1 A n=(n2+n)(n2n)=2 n 存在是平行于直线 y=x 且过 A1（2，0）的直线，其表达式为 y=x2 【考点解剖】本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，

19、画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界【解题思路】（1）将 A0坐标代入 y1的解析式可求得 a1的值；a1的值知道了 y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出 b1的值，又把（b1，0）代入 y2，可求出 a2，即得 y2的解析式；（2）用同样的方法可求得 a3、a4、a5 由此得到规律2nan，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x；（3）由（2）可知0112232,4,6A AA AA A得12nnAAn;最后一问我们会猜测这是与直线 y=x 平行且过 A（2，0）的一条直线，用特殊值法取2(4)4,2yxyx 得112,0 xy和

20、225,3xy，得所截得的线段长度为3 2，换一组抛物线试试，求出的值也为3 2（当然用字母来运算就是解222(),2yxnnyx 得21211,1xnyn和22222,4xnyn，求得所截得的线段长度也为3 2）.【解答过程】略.【方法规律】掌握基础（知识），灵活运用（方法），敢于动手，不畏艰难.【关键词】二次函数 抛物线 规律探究 6、(2013 年武汉压轴题)如图，点 P 是直线l：22 xy上的点，过点 P 的另一条直线 m交抛物线2xy 于 A、B 两点（1）若直线 m 的解析式为2321xy，求 A、B 两点的坐标；（2）若点 P 的坐标为（2，t），当 PAAB 时，请直接写出点

21、 A 的坐标；试证明：对于直线l 上任意给定的一点 P，在抛物线上都能找到点 A，使得 PAAB成立（3）设直线l 交 y 轴于点 C，若AOB 的外心在边 AB 上，且BPCOCP，求点 P 的坐标 解析：（1）依题意，得.,23212xyxy解得492311yx，1122yx A（23，49），B（1，1）（2）A1（1，1），A2（3，9）过点 P、B 分别作过点 A 且平行于 x 轴的直线的垂线，垂足分别为 G、H.设 P（a，22 a），A（m，2m），PAPB，PAGBAH，AGAH，PGBH，B（am 2，2222 am），xy第25（1）题图OlmPBAxylO第25（2）题图

22、xyClmPAOB第25（3）题图将点 B 坐标代入抛物线2xy，得0224222aaamm，081816168228162222aaaaaa 无论 a 为何值时，关于 m 的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的 点 P，抛物线上总能找到两个满足条件的点 A（3）设直线 m：0kbkxy交 y 轴于 D，设 A（m，2m），B（n，2n）过 A、B 两点分别作 AG、BH 垂直 x 轴于 G、H AOB 的外心在 AB 上，AOB90，由AGOOHB，得BHOHOGAG，1mn 联立2xybkxy得02bkxx，依题意，得 m、n 是方程02bkxx的两根，bmn，1b，即 D（0，1）

23、BPCOCP，DPDC3P 设 P（a，22 a），过点 P 作 PQ y 轴于 Q，在 RtPDQ 中，222PDDQPQ，2223122aa01 a（舍去），5122a，P（512，514）PN 平分MNQ，PTNT，ttt22212，7、（2013内江压轴题）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2）两点，与 y 轴交于点 C，x1，x2是方程 x2+4x5=0 的两根（1）若抛物线的顶点为 D，求 SABC：SACD的值；（2）若ADC=90，求二次函数的解析式 xyPGHABO第25（2）题图xyHGQ第25（3）题图B

24、OAPmlC 考点：二次函数综合题 分析：（1）首先解一元二次方程，求出点 A、点 B 的坐标，得到含有字母 a 的抛物线的交点式；然后分别用含字母 a 的代数式表示出ABC 与ACD 的面积，最后得出结论；（2）在 RtACD 中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数 a，得出抛物线的解析式 解答：解：（1）解方程 x2+4x5=0，得 x=5 或 x=1，由于 x1x2，则有 x1=5，x2=1，A（5，0），B（1，0）抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x1）（a0），对称轴为直线 x=2，顶点 D 的坐标为（2，9a），令 x=0，得 y=5a，C 点的坐标为（0，5a）依题

25、意画出图形，如右图所示，则 OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点 D 作 DEy 轴于点 E，则 DE=2，OE=9a，CE=OEOC=4a SACD=S 梯形 ADEOSCDESAOC=（DE+OA）OEDECEOAOC=（2+5）9a24a55a=15a，而 SABC=ABOC=65a=15a，SABC：SACD=15a：15a=1；（2）如解答图所示，在 RtDCE 中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在 RtAOC 中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴 x=2 与 x 轴交于点 F，则 AF=3，在 RtADF 中，由勾股定理

26、得：AD2=AF2+DF2=9+81a2 ADC=90，ACD 为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，a0，a=，抛物线的解析式为：y=（x+5）（x1）=x2+x 点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错注意第（1）问中求ACD 面积的方法 8、（2013泸州压轴题）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（1，），已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过三点

27、 A、B、O（O 为原点）（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点 P 是该抛物线上 x 轴上方的一个动点，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）考点：二次函数综合题 分析：（1）直接将 A、O、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；（2）因为点 A，O 关于对称轴对称，连接 AB 交对称轴于 C 点，C 点即为所求，求直线AB 的解析式，再根据 C 点的横坐标值，求纵坐标；（3）设

28、 P（x，y）（2x0，y0），用割补法可表示PAB 的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x 的值 解答：解：（1）将 A（2，0），B（1，），O（0，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c（a0），可得：，解得：，故所求抛物线解析式为 y=x2x；（2）存在理由如下：如答图所示，y=x2x=（x+1）2+，抛物线的对称轴为 x=1 点 C 在对称轴 x=1 上，BOC 的周长=OB+BC+CO；OB=2，要使BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小，点 O 与点 A 关于直线 x=1 对称，有 CO=CA，BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，当 A、C、B 三点共线，

29、即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时BOC 的周长最小 设直线 AB 的解析式为 y=kx+t，则有：，解得：，直线 AB 的解析式为 y=x，当 x=1 时，y=，所求点 C 的坐标为（1，）；（3）设 P（x，y）（2x0，y0），则 y=x2x 如答图所示，过点 P 作 PQy 轴于点 Q，PGx 轴于点 G，过点 A 作 AFPQ 轴于点F，过点 B 作 BEPQ 轴于点 E，则 PQ=x，PG=y，由题意可得：SPAB=S 梯形 AFEBSAFPSBEP=（AF+BE）FEAFFPPEBE=（y+y）（1+2）y（2+x）（1x）（+y）=y+x+将

30、代入得：SPAB=（x2x）+x+=x2x+=（x+）2+当 x=时，PAB 的面积最大，最大值为，此时 y=+=，点 P 的坐标为（，）点评：本题考查了坐标系中点的坐标求法，抛物线解析式的求法，根据对称性求线段和最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题；解答本题（3）也可以将直线 AB 向下平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点 P 的坐标 9、（2013 聊城压轴题）已知ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20（1）写出ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为 48 时 BC 的长；（2）当

31、 BC 多长时，ABC 的面积最大？最大面积是多少？（3）当ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明 考点：二次函数综合题 分析：（1）先表示出 BC 边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示 y 与 x 之间的函数关系式，当 y=48 时代入解析式就可以求出其值；（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值（3）由（2）可知ABC 的面积最大时，BC=10，BC 边上的高也为 10 过点 A 作直线 L 平行于BC，作点 B 关于直线 L 的对称点 B，连接 BC 交直线 L 于点 A，再连接 AB，AB，根据

32、轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值 解答：解：（1）由题意，得 y=x2+10 x，当 y=48 时，x2+10 x=48，解得：x1=12，x2=8，面积为 48 时 BC 的长为 12 或 8；（2）y=x2+10 x，y=（x10）2+50，当 x=10 时，y 最大=50；（3）ABC 面积最大时，ABC 的周长存在最小的情形理由如下：由（2）可知ABC 的面积最大时，BC=10，BC 边上的高也为 10 过点 A 作直线 L 平行于 BC，作点 B 关于直线 L 的对称点 B，连接 BC 交直线 L 于点 A，再连接 AB，AB 则由对称性得：AB=AB，AB=AB

33、，AB+AC=AB+AC=BC，当点 A 不在线段 BC 上时，则由三角形三边关系可得：ABC 的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BCBC+BC，当点 A 在线段 BC 上时，即点 A 与 A重合，这时ABC 的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BC=BC+BC，因此当点 A 与 A重合时，ABC 的周长最小；这时由作法可知：BB=20，BC=10，ABC 的周长=10+10，因此当ABC 面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为 10+10 点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用

34、轴对称的性质是关键 10、（2013苏州压轴题）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c（b，c 是常数，且 c0）与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0）（1）b=+c，点 B 的横坐标为 2c（上述结果均用含 c 的代数式表示）；（2）连接 BC，过点 A 作直线 AEBC，与抛物线 y=x2+bx+c 交于点 E，点 D 是 x 轴上的一点，其坐标为（2，0）当 C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接 PB，PC，设所得PBC的面积为

35、S 求 S 的取值范围；若PBC 的面积 S 为整数，则这样的PBC 共有 11 个 考点：二次函数综合题 分析：（1）将 A（1，0）代入 y=x2+bx+c，可以得出 b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出1xB=，即 xB=2c；（2）由 y=x2+bx+c，求出此抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为（0，c），则可设直线BC 的解析式为 y=kx+c，将 B 点坐标代入，运用待定系数法求出直线 BC 的解析式为y=x+c；由 AEBC，设直线 AE 得到解析式为 y=x+m，将点 A 的坐标代入，运用待定系数法求出直线 AE 得到解析式为 y=x+；解方程组，求出点 E 坐标为

36、（12c，1c），将点 E 坐标代入直线 CD 的解析式 y=x+c，求出 c=2，进而得到抛物线的解析式为 y=x2 x2；（3）分两种情况进行讨论：（）当1x0 时，由 0SSACB，易求 0S5；（）当 0 x4 时，过点 P 作 PGx 轴于点 G，交 CB 于点 F设点 P 坐标为（x，x2 x2），则点 F 坐标为（x，x2），PF=PGGF=x2+2x，S=PFOB=x2+4x=（x2）2+4，根据二次函数的性质求出 S 最大值=4，即 0S4则 0S5；由 0S5，S 为整数，得出 S=1，2，3，4分两种情况进行讨论：（）当1x0 时，根据PBC 中 BC 边上的高 h 小于

37、ABC 中 BC 边上的高 AC=，得出满足条件的PBC 共有 4 个；（）当 0 x4 时，由于 S=x2+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的PBC 共有 7 个；则满足条件的PBC 共有 4+7=11 个 解答：解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 过点 A（1，0），0=（1）2+b（1）+c，b=+c，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A（1，0）、B（xB，0）（点 A 位于点 B 的左侧），1 与 xB是一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个根，1xB=，xB=2c，即点 B 的横坐标为2c；（2）抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴的负半轴交于点

38、 C，当 x=0 时，y=c，即点 C 坐标为（0，c）设直线 BC 的解析式为 y=kx+c，B（2c，0），2kc+c=0，c0，k=，直线 BC 的解析式为 y=x+c AEBC，可设直线 AE 得到解析式为 y=x+m，点 A 的坐标为（1，0），（1）+m=0，解得 m=，直线 AE 得到解析式为 y=x+由，解得，点 E 坐标为（12c，1c）点 C 坐标为（0，c），点 D 坐标为（2，0），直线 CD 的解析式为 y=x+c C，D，E 三点在同一直线上，1c=（12c）+c，2c2+3c2=0，c1=（与 c0 矛盾，舍去），c2=2，b=+c=，抛物线的解析式为 y=x2

39、x2；（3）设点 P 坐标为（x，x2 x2）点 A 的坐标为（1，0），点 B 坐标为（4，0），点 C 坐标为（0，2），AB=5，OC=2，直线 BC 的解析式为 y=x2 分两种情况：（）当1x0 时，0SSACB SACB=ABOC=5，0S5；（）当 0 x4 时，过点 P 作 PGx 轴于点 G，交 CB 于点 F 点 F 坐标为（x，x2），PF=PGGF=（x2 x2）+（x2）=x2+2x，S=SPFC+SPFB=PFOB=（x2+2x）4=x2+4x=（x2）2+4，当 x=2 时，S 最大值=4，0S4 综上可知 0S5；0S5，S 为整数，S=1，2，3，4 分两种情

40、况：（）当1x0 时，设PBC 中 BC 边上的高为 h 点 A 的坐标为（1，0），点 B 坐标为（4，0），点 C 坐标为（0，2），AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，AC2+BC2=AB2，ACB=90，BC 边上的高 AC=S=BCh，h=S 如果 S=1，那么 h=1=，此时 P 点有 1 个，PBC 有 1 个；如果 S=2，那么 h=2=，此时 P 点有 1 个，PBC 有 1 个；如果 S=3，那么 h=3=，此时 P 点有 1 个，PBC 有 1 个；如果 S=4，那么 h=4=，此时 P 点有 1 个，PBC 有 1 个；即当1x0 时，满足条件的P

41、BC 共有 4 个；（）当 0 x4 时，S=x2+4x 如果 S=1，那么x2+4x=1，即 x24x+1=0，=164=120，方程有两个不相等的实数根，此时 P 点有 2 个，PBC 有 2 个；如果 S=2，那么x2+4x=2，即 x24x+2=0，=168=80，方程有两个不相等的实数根，此时 P 点有 2 个，PBC 有 2 个；如果 S=3，那么x2+4x=3，即 x24x+3=0，=1612=40，方程有两个不相等的实数根，此时 P 点有 2 个，PBC 有 2 个；如果 S=4，那么x2+4x=4，即 x24x+4=0，=1616=0，方程有两个相等的实数根，此时 P 点有

42、1 个，PBC 有 1 个；即当 0 x4 时，满足条件的PBC 共有 7 个；综上可知，满足条件的PBC 共有 4+7=11 个 故答案为+c，2c；11 点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标，三角形的面积，一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键 11、（2013宜昌压轴题）如图 1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边 BC 在 x 轴正半轴上滑动，点 C 的坐标为（t，0），直角边 AC=4，经过 O，C 两点

43、做抛物线 y1=ax（xt）（a 为常数，a0），该抛物线与斜边 AB 交于点 E，直线 OA：y2=kx（k 为常数，k0）（1）填空：用含 t 的代数式表示点 A 的坐标及 k 的值：A（t，4），k=（k0）；（2）随着三角板的滑动，当 a=时：请你验证：抛物线 y1=ax（xt）的顶点在函数 y=的图象上；当三角板滑至点 E 为 AB 的中点时，求 t 的值；（3）直线 OA 与抛物线的另一个交点为点 D，当 txt+4，|y2y1|的值随 x 的增大而减小，当 xt+4 时，|y2y1|的值随 x 的增大而增大，求 a 与 t 的关系式及 t 的取值范围 考点：二次函数综合题 分析：

44、（1）根据题意易得点 A 的横坐标与点 C 的相同，点 A 的纵坐标即是线段 AC 的长度；把点 A 的坐标代入直线 OA 的解析式来求 k 的值；（2）求得抛物线 y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数 y=，若该点满足函数解析式 y=，即表示该顶点在函数 y=图象上；反之，该顶点不在函数y=图象上；如图 1，过点 E 作 EKx 轴于点 K则 EK 是ACB 的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点 E 的坐标，把点 E 的坐标代入抛物线 y1=x（xt）即可求得 t=2；（3）如图 2，根据抛物线与直线相交可以求得点 D 横坐标是+4则 t+4=+4，由此可以求得 a 与 t 的关系式 解

45、答：解：（1）点 C 的坐标为（t，0），直角边 AC=4，点 A 的坐标是（t，4）又直线 OA：y2=kx（k 为常数，k0），4=kt，则 k=（k0）（2）当 a=时，y1=x（xt），其顶点坐标为（，）对于 y=来说，当 x=时，y=，即点（，）在抛物线 y=上 故当 a=时，抛物线 y1=ax（xt）的顶点在函数 y=的图象上；如图 1，过点 E 作 EKx 轴于点 K ACx 轴，ACEK 点 E 是线段 AB 的中点，K 为 BC 的中点，EK 是ACB 的中位线，EK=AC=2，CK=BC=2，E（t+2，2）点 E 在抛物线 y1=x（xt）上，（t+2）（t+2t）=2，

46、解得 t=2 （3）如图 2，则 x=ax（xt），解得 x=+4，或 x=0（不合题意，舍去）故点 D 的横坐标是+t 当 x=+t 时，|y2y1|=0，由题意得 t+4=+t，解得 a=（t0）点评：本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点解题时，注意“数形结合”数学思想的应用 12、（2013黄冈压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是梯形，其中 A（6，0），B（3，），C（1，），动点 P 从点 O 以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动，动点 Q 也同时从点 B 沿 BCO 的线路以每秒 1 个单位的速度向点 O 运

47、动，当点 P 到达 A 点时，点 Q 也随之停止，设点 P，Q 运动的时间为 t（秒）（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；（2）当点 Q 在 CO 边上运动时，求OPQ 的面积 S 与时间 t 的函数关系式；（3）以 O，P，Q 顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由；（4）经过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴、直线 OB 和 PQ 能够交于一点吗？若能，请求出此时 t 的值（或范围），若不能，请说明理由）考点：二次函数综合题3481324 分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知得出OPQ 的高，进而利用三角形面积公式

48、求出即可；（3）根据题意得出：0t3，当 0t2 时，Q 在 BC 边上运动，得出若OPQ 为直角三角形，只能是OPQ=90或OQP=90，当 2t3 时，Q 在 OC 边上运动，得出OPQ 不可能为直角三角形；（4）首先求出抛物线对称轴以及 OB 直线解析式和 PM 的解析式，得出（1t）=3t2t，恒成立，即 0t2 时，P，M，Q 总在一条直线上，再利用 2t3时，求出 t 的值，根据 t 的取值范围得出答案 解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A（6，0），B（3，），C（1，）三点坐标代入得：，解得：，即所求抛物线解析式为：y=x2+x+；（2）如图 1

49、，依据题意得出：OC=CB=2，COA=60，当动点 Q 运动到 OC 边时，OQ=4t，OPQ 的高为：OQsin60=（4t），又OP=2t，S=2t（4t）=（t24t）（2t3）；（3）根据题意得出：0t3，当 0t2 时，Q 在 BC 边上运动，此时 OP=2t，OQ=，PQ=，POQPOC=60，若OPQ 为直角三角形，只能是OPQ=90或OQP=90，若OPQ=90，如图 2，则 OP2+PQ2=QO2，即 4t2+3+（3t3）2=3+（3t）2，解得：t1=1，t2=0（舍去），若OPQ 为直角三角形，只能是OPQ=90或OQP=90，若OQP=90，如图，3，则 OQ2+P

50、Q2=PO2，即（3t）2+6+（3t3）2=4t2，解得：t=2，当 2t3 时，Q 在 OC 边上运动，此时 QP=2t4，POQ=COP=60，OQOC=2，故OPQ 不可能为直角三角形，综上所述，当 t=1 或 t=2 时，OPQ 为直角三角形；（4）由（1）可知，抛物线 y=x2+x+=（x2）2+，其对称轴为 x=2，又OB 的直线方程为 y=x，抛物线对称轴与 OB 交点为 M（2，），又P（2t，0）设过 P，M 的直线解析式为：y=kx+b，解得：，即直线 PM 的解析式为：y=x，即（1t）y=x2t，又 0t2 时，Q（3t，），代入上式，得：（1t）=3t2t，恒成立，

51、即 0t2 时，P，M，Q 总在一条直线上，即 M 在直线 PQ 上；当 2t3 时，OQ=4t，QOP=60，Q（，），代入上式得：（1t）=2t，解得：t=2 或 t=（均不合题意，舍去）综上所述，可知过点 A、B、C 三点的抛物线的对称轴 OB 和 PQ 能够交于一点，此时0t2 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用分类讨论思想得出 t 的值是解题关键 13、（2013荆门压轴题）已知关于x的二次函数y=x22mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1x2

52、）（1）当 k=1，m=0，1 时，求 AB 的长；（2）当 k=1，m 为任何值时，猜想 AB 的长是否不变？并证明你的猜想（3）当 m=0，无论 k 为何值时，猜想AOB 的形状证明你的猜想（平面内两点间的距离公式）考点：二次函数综合题3718684 分析：（1）先将 k=1，m=0 分别代入，得出二次函数的解析式为 y=x2，直线的解析式为 y=x+1，联立，得 x2x1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=1，x1x2=1，过点 A、B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，两线交于点 C，证明ABC 是等腰直角三角形，根据勾股定理得出 AB=AC，根据两点间距离公式及完全平

53、方公式求出AB=；同理，当 k=1，m=1 时，AB=；（2）当 k=1，m 为任何值时，联立，得 x2（2m+1）x+m2+m1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=2m+1，x1x2=m2+m1，同（1）可求出AB=；（3）当 m=0，k 为任意常数时，分三种情况讨论：当 k=0 时，由，得 A（1，1），B（1，1），显然AOB 为直角三角形；当 k=1 时，联立，得 x2x1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=1，x1x2=1，同（1）求出AB=，则 AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出 OA2+OB2=10，由勾股定理的逆定理判定AO

54、B 为直角三角形；当 k 为任意实数时，联立，得x2kx1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=k，x1x2=1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出 AB2=k4+5k2+4，OA2+OB2k4+5k2+4，由勾股定理的逆定理判定AOB 为直角三角形 解答：解：（1）当 k=1，m=0 时，如图 由得 x2x1=0，x1+x2=1，x1x2=1，过点 A、B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，两线交于点 C 直线 AB 的解析式为 y=x+1，BAC=45，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC=|x2x1|=；同理，当 k=1，m=1 时，AB=；（2）猜想：当 k=1，m 为

55、任何值时，AB 的长不变，即 AB=理由如下：由，得 x2（2m+1）x+m2+m1=0，x1+x2=2m+1，x1x2=m2+m1，AB=AC=|x2x1|=；（3）当 m=0，k 为任意常数时，AOB 为直角三角形，理由如下：当 k=0 时，则函数的图象为直线 y=1，由，得 A（1，1），B（1，1），显然AOB 为直角三角形；当 k=1 时，则一次函数为直线 y=x+1，由，得 x2x1=0，x1+x2=1，x1x2=1，AB=AC=|x2x1|=，AB2=10，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）

56、2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+21+2=10，AB2=OA2+OB2，AOB 是直角三角形；当 k 为任意实数，AOB 仍为直角三角形 由，得 x2kx1=0，x1+x2=k，x1x2=1，AB2=（x1x2）2+（y1y2）2=（x1x2）2+（kx1kx2）2=（1+k2）（x1x2）2=（1+k2）（x1+x2）24x1x2=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1

57、）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）+2kk+2=k4+5k2+4，AB2=OA2+OB2，AOB 为直角三角形 点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度本题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想 14、（2013黔东南州压轴题）已知抛物线 y1=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（1，4），它与直线 y2=x+1 的一个交点的横坐标为 2（1）求

58、抛物线的解析式；（2）在给出的坐标系中画出抛物线 y1=ax2+bx+c（a0）及直线 y2=x+1 的图象，并根据图象，直接写出使得 y1y2的 x 的取值范围；（3）设抛物线与 x 轴的右边交点为 A，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 y2=x+1 于点 B，点 P在抛物线上，当 SPAB6 时，求点 P 的横坐标 x 的取值范围 考点：二次函数综合题 分析：（1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）确定出抛物线与 x 轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象由图象可以直观地看出使得 y1y2的 x 的取值范围；（3）首先求出点 B 的坐标及线段 A

59、B 的长度；设PAB 中，AB 边上的高为 h，则由 SPAB6 可以求出 h 的范围，这是一个不等式，解不等式求出 xP的取值范围 解答：解：（1）抛物线与直线 y2=x+1 的一个交点的横坐标为 2，交点的纵坐标为 2+1=3，即交点坐标为（2，3）设抛物线的解析式为 y1=a（x1）2+4，把交点坐标（2，3）代入得：3=a（21）2+4，解得 a=1，抛物线解析式为：y1=（x1）2+4=x2+2x+3 （2）令 y1=0，即x2+2x+3=0，解得 x1=3，x2=1，抛物线与 x 轴交点坐标为（3，0）和（1，0）在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：根据图象，可知使得 y1y2

60、的 x 的取值范围为1x2 （3）由（2）可知，点 A 坐标为（3，0）令 x=3，则 y2=x+1=3+1=4，B（3，4），即 AB=4 设PAB 中，AB 边上的高为 h，则 h=|xPxA|=|xP3|，SPAB=ABh=4|xP3|=2|xP3|已知 SPAB6，2|xP3|6，化简得：|xP3|3，去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：3xP33，解此不等式组，得：0 xP6，当 SPAB6 时，点 P 的横坐标 x 的取值范围为 0 xP6 点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的面积、解不等式（组）等知识点题目难度不大，失分点在于第（3）

61、问，点 P 在线段 AB 的左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏 15、（13 年北京 7 分 23）在平面直角坐标系 x O y 中，抛物线 222mxmxy（0m）与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B。（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在12x这一段位于直线的上方，并且在32 x这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式。解析：【解析】（1）当0 x 时，2y .(02)A，抛物线对称轴为212mxm (1 0)B，（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为(22)A，则直线l 经过 A、B.没直线

62、的解析式为 ykxb 则 220kbkb ，解得22kb 直线的解析式为22yx （3）抛物线对称轴为1x 抛物体在 23x这一段与在10 x 这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在21x 这一段位于直线l 的上方 在 10 x 这一段位于直线 l的下方；抛物线与直线l 的交点横坐标为 1；当1x 时，2(1)24yx 则抛物线过点（-1，4）当1x 时，224mm，2m 抛物线解析为2242yxx.【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线l 与直线 AB 关于对称轴对称，抛物线在 23x 这一段位于直线 AB 的下方，关于对称轴对称后抛物线在 10

63、 x 这一段位于直线l 的下方；再结合抛物线在 21x 这一段位于直线l 的上方;从而抛物线必过点4,1.考点：代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、数形结合思想、二次函数解析式的确定）16、(2013 年深圳市压轴题)如图 7-1，直线 AB 过点 A（m，0），B（0，n），且20 nm（其中m 0，n 0）。（1）m 为何值时，OAB 面积最大？最大值是多少？（2）如图 7-2，在（1）的条件下，函数)0(kxky的图像与直线 AB 相交于 C、D 两点，若OCDOCASS 81，求k 的值。（3）在（2）的条件下，将OCD 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴

64、的正方向平移，如图 7-3，设它与OAB 的重叠部分面积为 S，请求出 S 与运动时间（秒）的函数关系式（010）。解析：17、（德阳市 2013 年压轴题）如图，在平面直角坐标系中有一矩形 ABCO（O 为原点），点A、C 分别在 x 轴、y 轴上，且 C 点坐标为(0，6)，将BCD 沿 BD 折叠(D 点在 OC 边上），使 C 点落 在 DA 边的 E 点上，并将BAE 沿 BE 折叠，恰好使点 A 落在 BD 边的 F 点上 (1）求 BC 的长，并求折痕 BD 所在直线的函数解析式；（2）过点 F 作 FGx 轴，垂足为 G，FG 的中点为 H，若抛物线2yaxbxc经过 B,H,D 三点，求抛物线解析式；(3）点 P 是矩形内部的点，且点 P 在（2）中的抛物线上运动（不含 B,D 点），过点 P 作 PNBC，分别交 BC 和 BD 于点 N,M，是否存在这样的点 P，使如果 存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 解析：