（全国卷Ⅰ）2021年高考数学压轴卷 文（含解析）.doc

1、（全国卷）2021 年高考数学压轴卷 文（含解析）第 I 卷（选择题）一.选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1已知集合02Axx，集合lg0Bxx，则 AB （）A,12,B,01,2 C1,2 D1,2 2复数 z 满足3,zi ii i 为虚数单位，则 z 等于（）A1 2i B1 2i C 12i D 1 2i 3执行如图所示的程序框图，若输入n 的值是30，则输出的n 的值是（）A2 B3 C6 D7 4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 38 B4 C 712 D 724 5已知|2a，

2、1b|=，且a 与b 的夹角为 3，则()abb（）A 31 B1 C2 D3 6等差数列 na前 n 项和为nS，281112aaa，则13S（）A32 B 42 C52 D62 7设,m n 是空间中两条不同的直线，,是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若,/mn，则mn；（2）若/,/,m，则m；（3）若/,/mn，则/mn；（4）,，则/.其中正确命题的序号是（）A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（1）（4）8甲、乙、丙、丁四人等可能分配到 A、B、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（）.A 16 B 13 C 12 D 56

3、 9已知实数,x y 满足1 0101 0kxykxy ，若2zxy的最大值为 8，则k 的值为（）A 32 B 72 C1 D3 10P 为双曲线2222100 xyabab，左支上一点，1F，2F，为其左右焦点，若221PFPF的最小值为10a，则双曲线的离心率为（）A45 B45 C45 D4 11已知a R，若函数21()22f xxxa有 3个或4个零点，则函数的零点个数为 A1或2 B2 C1或 0 D0 或1或2 12已知数列 na的前 n 项和nS，且满足1nnaS，则39121239SSSSaaaa（）A1013 B1022 C2036 D2037 第 II 卷（非选择题）二

4、、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知 coscos2bCcBb，则ab _.14已知A(1,1)m，22,B mm，若直线 AB 与斜率为 2 的直线平行，则 m 的值为_ 15数式1111 1 中省略号“”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则11tt，则21 0tt ，取正值得512t.用类似方法可得1212 _.16已知ABC 为等腰直角三角形，2A，2 2AB，D为 BC 中点，现将 ABC 沿AD翻折，使得二面角 BADC为 3，则三棱锥 ABCD的外接球的表面积

5、为_ 三、解答题（共 70 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地 17-21 为必做题，每个试题都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生按要求作答）（一）必做题 17已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是a、b、c，已知2 cos2aCcb.（1）求角 A 的大小；（2）若ABC 的面积为 3，若ABC 的周长为 6，求三角形的边长a.18如图 1，在直角 ABC中，90,4 3,2 3,ABCACABD E分别为,AC BD 的中点，连结 AE，将 ABC沿 BD折起，使平面 ABD 平面 BCD，如图 2 所示.（1）求证：AECD；（2）求三棱锥 ABCD的体积.19

6、宁夏西海固地区，在 1972 年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一.为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪 90 年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民，将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区.为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，下表是对 2016 年以来近 5 年某移民村庄 100 位移民的年人均收入的统计：年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 x 1 2 3 4 5 人均年收入 y（千元）1.3 2.8 5.7 8.9 13.8

7、现要建立 y 关于 x 的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一(1)ybxa；模型二(2)2ycxd，即使画出 y 关于 x 的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为 3.12.8yx.（1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为521)3.7iiiyy（.附：参考数据：51522150.525iiiiit yt ytt，其中2iitx，1,2,3,4,5i.参考公式：对于一组数据11,u v，22,

8、u v，,nnu v，其回归直线vau的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221niiiniiu vnuvunu，avu.20椭圆C:22221xyab（0ab）的离心率为 12，其左焦点到点 2,1P的距离为 10 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:lykxm与椭圆C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标 21已知函数 ln2f xaxx，其中0a （1）求 f x 的单调区间；（2）若对任意的11,xe，总存在21,ex，使得12()()4f xf x，求实数a 的值(二)选考题:共 1

9、0 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为2244(2xmmmymm 为参数，且0)m，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos3 sin10.（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与 x 轴交点记为 M，与曲线C 交于,P Q 两点，求11|PMQM的值.23已知函数 f x=1(0)xxa aa（1）当1a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）证明：f x 2 2021 新课标高考压轴卷 数学（文）word 版参考答案 1【答案

10、】D【解析】因为集合02Axx，集合 lg01Bxxx x，因此，1,2AB.故选：D.2【答案】A【解析】解：()3zi ii ，()(3)i i ziii ，化为31zii ，21zi ，故选：A 3【答案】C【解析】第一次循环，30n，30S，否，15n，否，第二次循环，15n，45S，是，14n，否，第三次循环，14n，59S，否，7n，否，第四次循环，7n，66S，是，6n，是，输出6n，故选：C.4【答案】D【解析】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即 14，下方挖去半个球，故几何体的体积为：223111141722242232

11、24V ，故选：D.5【答案】C【解析】2221cos2 11232abba bba bb ,故选：C 6【答案】C【解析】28111111()71031812aaaadadadad 164ad，即74a 113137131313 4522aaSa 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；（2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.7【答案】A【解析】解：对于（1），因为/n，所以经过n 作平面，使l，可得/nl，又因为m，l，所以ml，结合/n

12、l 得mn由此可得（1）是真命题；对于（2），因为/且/，所以/，结合m，可得m，故（2）是真命题；对于（3），设直线m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面 是正方体下底面所在的平面，则有/m 且/n 成立，但不能推出/mn，故（3）不正确；对于（4），设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出/，故（4）不正确 综上所述，其中正确命题的序号是（1）和（2）故选：A【点睛】本题考查空间点线面的位置关系判断，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练的掌握线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识 8【答案】D【解析

13、】解：甲、乙、丙、丁四人等可能分配到 A、B、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，基本事件总数234336nC A，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数23236mC A，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为6511366mpn 故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 9【答案】B【解析】如图，由 821xyx，解得(1,6)A 由图及线性规划知识可推测直线10kxyk 必过点(1,6)A，得72k，经验证符合题目条件 故选：B【点睛】本题主要考查了根据最值求参数，属于中档题.10【答案】A【解析】设21PFm PFn，则由双

14、曲线的定义得：2mna，2222124=4,PFanana ncaPFnn.记 244,af nna ncan 2241afnn，令 2241=0afnn，得2na （1）当2caa时，,2ncaa，22410afnn，yf n单减；2,na，22410afnn，yf n单增，min=28f nfaa，不合题意，舍去；（2）当2caa时，22410afnn 恒成立，yf n单增，2min4=3af nf cacaca 22243=10,8110acaacacaca 解得：45ca或45ca 45ca不满足2caa，应舍去 当45ca时，离心率45e.故选：A【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般

15、思路：根据题目的条件，找到 a、b、c 的关系，消去 b，构造离心率 e 的方程或（不等式）即可求出离心率 11【答案】A【解析】2122 xxa，画出左右两边图象如下图所示，由图象可知当直线 yxk是抛物线212yx的切线是，斜率为1，切点为11,2，即11,22kyx，与 x 轴交点为1,02，要使函数有3 个或4 个交点，则需11112,2244aa.对2()421g xaxx，判别式4 160,8a，故有1个或2 个零点.考点：函数导数与零点问题.【思路点晴】研究函数的零点问题，其中一个方法就是将原函数化为两个函数，如本题中令()0fx=，将函数化为2122 xxa，然后我们就可以画出

16、左右两边函数的图象.右边2xa图象是两条直线，含有绝对值的直线画法比较简单，只需将 x 的图象向左或者向右平移就可以.考虑到要图象有3 或4 交点，那么相切的时候就是3 个交点，中间有4 个交点.12【答案】A【解析】由数列 na的前n 项和nS，且满足1nnaS，当2n 时，111nnaS，两式相减，可得111()20nnnnnnaaSSaa，即11(2)2nnana，令1n，可得11121aSa，解得112a，所以数列 na表示首项为 12，公比为 12 的等比数列，所以1()2nna=，则111()1221()1212nnnS ，所以11()2211()2nnnnnSa，所以293912

17、1239(222)(1 11)SSSSaaaa 9102(1 2)9211 10131 2.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的定义，等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式的综合应用，着重考查推理与计算能力，属于中档试题.13【答案】2【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果【详解】将 coscos2bCcBb，利用正弦定理化简得：sincossincos2sinBCCBB，即sin2sinBCB，sinsinBCA，sin2sinAB，利用正弦定理化简得：2ab，则2ab 故答案为：2.14【答案】1 或 12【

18、解析】由题可知：直线 AB 的斜率为2121ABmkmm 即211ABmkmm 又直线 AB 与斜率为 2 的直线平行 所以2121mmm 则22310mm 所以1m 或12m 故答案为：1 或 12【点睛】本题考查直线斜率的坐标表示以及直线的平行关系，掌握直线平行的斜率关系，属基础题.15【答案】4【解析】根据题意类比，令12120t t，两边平方得，21212t ，即212tt，则2120tt，解得4t，或3t （舍去）.故答案为：4【点睛】本题主要考查类比推理，根据题意类比写出方程求解即可，属于基础题.16【答案】283 【解析】解：由题可得，2 2ABAC，2ADBDCD，因为二面角

19、BADC为 3，所以3BDC，所以BCD为正三角形，将三棱锥补成如图所示的三棱柱，则易知外接球的球心为上下底面正三角形中心连线的中点O，设 P 为BCD的中心，由正弦定理得：2sin 3BDCP，1122 32233sin 32BDCP，22222 221133ROPCP，则三棱锥 ABCD的外接球的表面积为：23428SR 故答案为：283.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，以及二面角和正弦定理的应用，考查计算能力.17【答案】（1）3A；（2）2a.【解析】（1）由正弦定理得：2sincossin2sinACCB，ABC，sinsinBAC，2sincossin2sin2sincos

20、2cossinACCACACAC，整理可得：sin2cossinCAC，0,C，sin0C，1cos2A，又0,A，3A.（2）由（1）知3A，若 ABC 的面积为 3，1sin32ABCbcSA，若ABC 的周长为 6，6ABCCabc，由余弦定理，得2222cosabcbcA，解得2a.【点睛】本题考查了解三角形问题，解题的关键点是要熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式，考查了学生的计算能力.18【答案】（1）证明见解析；（2）3 3.【解析】（1）证明：由条件可知 ABAD，而 E 为 BD的中点 AEBD 又面 ABD 面 BCD，面 ABD面 BCDBD，且 AE 面 ABD AE平

21、面 BCD，又因为CD 平面 BCD AECD（2）由题给数据知6BC，ABD为等边三角形，而 E 为 BD中点 因此 Rt ABE中，sin603AEAB 又底面 BCD中2 3BDCD 1633 32BCDS 故三棱锥体积1 3 3 33 33V 【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，锥体体积的求解问题，属于基础题.19【答案】（1）20.50.8yx$；（2）模型二的拟合效果更好.【解析】（1）令2tx，则模型二可化为 y 关于t 的线性回归问题，则1 49 1625115t ，1.32.8 5.78.9 13.86.55y，则由参考数据可得515221

22、50.520.55iiiiit yt yctt$，6.50.52 110.8dyct，则模型二的方程为20.50.8yx$；（2）由模型二的回归方程可得，(2)10.5 1 0.81.3y$，(2)20.5 40.82.8y$，(2)30.5 90.85.3y$，(2)40.5 160.88.8y$，(2)50.5 25 0.813.3y$，5(2)2222221)000.40.10.50.423.7iiiyy（，故模型二的拟合效果更好.【点睛】本题考查线性回归方程和残差平方和的计算，解题的关键是正确计算出各个值，避免计算出错，正确应用公式.20【答案】（1）22143xy；（2）证明详见解析

23、，2(,0)7.【解析】（1）由题：12cea 左焦点,0c到点 2,1P的距离为：222110dc 由可解得1c ，2a，2223bac 所求椭圆C 的方程为22143xy（2）设 11,A x y、22,B xy，将 ykxm代入椭圆方程得 2224384120kxkmxm，122843kmxxk，212241243mx xk，且11ykxm，22ykxm AB 为直径的圆过椭圆右顶点2 2,0A，所以220A A A B 所以 112212122,2,22xyxyxxy y 121222xxkxmkxm 221212124kx xkmxxm 22222412812404343mkmkkm

24、mkk 整理得2271640mkmk 27mk 或2mk 都满足 若2mk 时，直线l 为22ykxkk x，恒过定点2 2,0A，不合题意舍去；若27mk 时，直线l 为2277ykxkk x，恒过定点 2,07【点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质应用、直线与圆锥曲线的综合问题的求解及圆的形式和两点间距离公式等基础知识的综合应用，其中把直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，利用一元二次方程的韦达定理是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归数学思想的应用，试题有一定的难度，属于难题 21【答案】（1）详情见解析；（2）1e 【解析

25、】（1）1aaxfxxx，0 x，当0a 时，对0,x ，0fx，所以 f x 的单调递减区间为0,当0a 时，令 0fx，得 xa，0,xa时，0fx，,xa 时，0fx，所以 f x 的单调递增区间为0,a，单调递减区间为,a 综上所述，0a 时，f x 的单调递减区间为0,；0a 时，f x 的单调递增区间为0,a，单调递减区间为,a .（2）讨论：当1a 且0a 时，由（1）知，f x 在1,e 上单调递减，则 max11fxf，因为对任意的11,xe，总存在21,ex，使得 122124f xf xf，所以对任意的11,xe，不存在21,ex，使得 124f xf x 当1ae时，由

26、（1）知，在1,a 上 f x 是增函数，在,a e 上 f x 是减函数，则 maxln2fxf aaaa 因为对11x，对21,xe，1211ln2ln133f xf xff aaaaaa 所以对111,xe，不存在21,ex，使得 124f xf x 当ae时，令 41,g xf xxe，由（1）知，f x 在1,e 是增函数，进而知 g x 是减函数，所以 min11fxf，max2fxf eae，max141gxgf，min4gxg ef e 因为对任意的11,xe，总存在21,ex，使得 124f xf x，即 12f xg x，故有 11fg ef eg，即 1414ff ef

27、ef，所以 134ff eae，解得1ae，综上，a 的值为1e 【点睛】本题考查分类讨论含参函数的单调性，还考查了由函数的任意取值求参数的值，属于难题.22【答案】（1）曲线C：2yx，直线l：310 xy；（2）13010.【解析】（1）曲线C 的参数方程为2244(2xmmmymm 为参数，且0)m，即22()xmm，曲线C 的直角坐标方程为2yx.直线l 的极坐标方程为cos3 sin10，而cos,sinxy，直线l 的直角坐标方程为310 xy.（2）直线l 与 x 轴交点记为 M，即(1,0)，其参数方程可写为3110(110 xttyt 为参数)，与曲线C 交于 P，Q 两点，

28、把直线的参数方程代入方程2yx，得到23 10100tt，即有 123 10tt，1 2100t t 2121 2(3 110)4001113010ttPMQMt t.【点睛】关键点点睛：（1）应用因式分解、极坐标与直角坐标关系，写出直角坐标方程；（2）求直线与 x 轴交点，以交点为极点写出直线的参数方程，结合曲线方程，由韦达定理求直线与曲线的两个交点与极点的距离(它们的数量关系)，进而求11|PMQM.23【答案】（1）2x x 或2x；（2）证明见解析.【解析】（1）当1a 时，11f xxx.当1x 时，1124f xxxx ，解得2x；当 11x 时，1124f xxx ，无解；当1x时，1124f xxxx ，解得2x；综上所述：4f x 的解集为2x x 或2x.（2）111xxaxaxxaxaaa 12aa，当且仅当1a 时等号成立，所以 f x 2.