（全国卷Ⅱ）2021年高考数学压轴卷 理（含解析）.doc

1、（全国卷）2021 年高考数学压轴卷 理（含解析）第 I 卷（选择题）一.选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的 1.已知集合 A1，2，3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，则 AB（）A.1 B.1，2 C.0，1，2，3 D.1，0，1，2，3 2.命题“0,x ，1 sinxex”的否定是（）A.0,x ，1 sinxex B.0,x ，1 sinxex C.0,x ，1 sinxex D.0,x ，1 sinxex 3.设复数 z 满足11ziz，则 z 的虚部为（）A.2 B.0 C.1 D.1 4.函数sin(

2、)yAx的部分图象如图所示，则 A.2sin(2)6yx B.2sin(2)3yx C.2sin(+)6yx D.2sin(+)3yx 5.若实数 x，y 满足约束条件1230 xxyxy ，则2xy的最大值是（）A 73 B3 C 72 D4 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.9182 B.9362 C.1818 D.1836 7.在 RtABC 中，1ABAC，点 D 满足2BDCD，则 AB AD()A 1 B.13 C.13 D.1 8.已知圆22220 xyxya截直线40 xy所得弦的长度小于 6，则实数 a 的取值范围为（）A.217,217 B.217

3、,2 C.15,D.15,2 9.我国在北宋 1084 年第一次印刷出版了算经十书，即贾宪的黄帝九章算法细草，刘益的议古根源，秦九韶的数书九章，李冶的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法、日用算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙和四元玉鉴这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（）A.518 B.12 C.59 D.79 10.已知等比数列an的各项均为正数,且313239logloglog9aaa,则3746a aa a()A.6 B

4、.9 C.18 D.81 11.运行如图所示的程序框图若输出的 s 的值为 55 则在内应填入()A.8i？B.9i？C.10i？D.11i？12.定义在 R 上的函数 yf x，当0,2x时，2144xf x，且对任意实数122,22(,2)kkxkN k，都有1()122xf xf ，若()()logag xf xx有且仅有 5 个零点，则实数 a 的取值范围是()A.33 10,22 B.3322,100 C.3310,484 D.33100,484 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知向量(1,)am,(2,3)b ,且/ab

5、,则 m=_.14.某校 100 名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于 a(a 为整数)即为优秀，如果优秀的人数为 20 人，则 a 的估计值是_ 15.已知1A，2A 分别是双曲线 C：22221xyab的左，右顶点，F 为左焦点，以12A A 为直径的圆与双曲线 C 的两条渐近线在 x 轴上方，从左至右依次交于 M，N 两点，若 FM ON，则该双曲线的离心率为 16.已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，6AB，6SASBSC，则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是_.三、解答题（共 70 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地

6、 17-21 为必做题，每个试题都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生按要求作答）(一)必做题 17.已知等差数列an满足32a，前 3 项和392S.（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足11ba，415ba，求bn的前 n 项和nT.18.甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设 X 为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；（2）求 X 的分布列及数学期望.19.如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC，D、E

7、分别是 AB、AC 的中点，且 PE 平面 ABC.（1）求证：/BC平面 PDE；（2）求证：AB 平面 PDE.20.已知椭圆2222:10 xyCabab左、右焦点分别为 F1，F2，且满足离心率32e，124 3FF，过原点 O 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆 C 于 M，N 两点.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设点 2,1A，求 AMN面积的最大值.21.已知2()21xxf xaeaex，a 为常数.（1）讨论 f(x)的单调性；（2）若0 x 时，()31 cosf xax恒成立，求实数 a 的取值范围.(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如

8、果多做,则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是曲线1:C 112()xttytt(t 为参数)上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为：2=sin3cos（1）求曲线 C1，C2的直角坐标下普通方程；（2）已知点 Q 在曲线 C2上，求 PQ 的最小值以及取得最小值时 P 点坐标.23.已知函数 f x 2(0)xxa a（1）当1a 时，解不等式 4f x；（2）若不等式 4f x 对一切 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 2021 新课标高考压轴卷 数学（理）试卷答案 1.【答案】C【解析】解:因为 Bx

9、|(x1)(x2)0，xZx|1x2，xZ0，1，A1，2，3，所以 AB0，1，2，3.故选:C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及集合的运算，属于基础题.2.【答案】C【解析】根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：0,x ，1 sinxex 本题正确选项：C 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.3.【答案】C【解析】211111111111iziiziziizii zziziii 则 z 的虚部为 1 故选：C【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题 4.【答案】A【解析】试题分析：由题图知，2A，最小正周期2()36T，所以22，所以2sin(2)

10、yx.因为图象过点(,2)3，所以22sin(2)3，所以2sin()13，所以 22()32kkZ，令0k，得6 ，所以2sin(2)6yx，故选 A.5.【答案】C【解析】如图 3223012xxyxyy，所以点3 1,2 2A 当目标函数的一条等值线 20 xy过点 A 时，目标函数会取最大值 所以2xy的最大值是3172222 故选：C 6.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为 3，高为 1，故其体积为：219(31 1 6 6)1822V .故选：A【点睛】本题主要考查三视图的应用及几何体体积，还考查运算求解的能力，属于基础题.

11、7.【答案】A【解析】在 RtABC 中，1ABAC，所以A为直角，以 A为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 10B,，0,1C，设,D x y，1,BDxy，,1CDx y，由2BDCD，可得1,xy2,1x y，即1222xxyy，解得1x ，2y，所以1,2D，由1,0AB ，1,2AD 所以110 21AB AD .故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性坐标运算、向量数量积的坐标表示，属于基础题.8.【答案】D【解析】由题意知，圆的方程为：22112xya，则圆心为1,1，半径为2a 则：20a，解得：2a 圆心到直线40 xy的距离为：1 1 42

12、22d 2 286a，解得：15a 综上所述：15,2a 本题正确选项：D【点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于222 rd，易错点是忽略半径必须大于零的条件.9.【答案】D【解析】解：小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数210C45n，他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211555CC C35m，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459mpn 故选：D【点睛】本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.10.【答案】C

13、【解析】由于931323931 293535loglogloglog.log9log9aaaa aaaa 355log13aa 由等比中项的性质，2237465518a aa aaa 故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.【答案】C【解析】初始：1,0is ；0 1 1,12sii ，不满足条件；1 23,13sii ，不满足条件；3 36,14sii ，不满足条件；6410,15sii ，不满足条件；10515,16sii ，不满足条件；15621,17sii ，不满足条件；21 628,18sii ，不满足条件；28 83

14、6,19sii ，不满足条件；36945,1 10sii ，不满足条件；45 1055,1 11sii ，满足输出条件；故选：C【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.12.【答案】C【解析】当0,2x时，2144xf x，当2k 时，2,6x，此时10,22x ，则1()122xf xf 21 1222211444422xx，当3k 时，6,14x，此时12,62x ，则1()122xf xf 12225224211444422xx，当4k 时，14,30 x，此时16,142x ，则1()122xf xf 1 522114228411444422

15、xx，由()()log0ag xf xx，可得 logaf xx，分别作出函数 f x 和logayx的图像：若01a 时，此时两个函数图像只有1个交点，不满足条件；若1a 时，当对数函数经过点 A时，两个图像有4 个交点，经过点时 B 有6个交点，则要使两个函数有有且仅有 5 个零点，则对数函数图像必须在点 A以下，在点 B 以上，103f，3222f，10,3A，322,2B，即满足log 1033log 222aa，解得3321022aa，即 3310484a.故选：C【点睛】本题考查了由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于难题.13.【答案】32【解

16、析】由于向量(1,)am,(2,3)b ,且/ab,由向量平行的坐标表示，1 320mm 32 故答案为：32【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.【答案】133【解析】因为分数低于 140 的人数为：100 100.0050.0180.0300.0220.01590，因为分数低于 130 的人数为：100 100.0050.0180.0300.02275，所以 a(130，140)，所以(140a)0.0150.011010020，解得 a133 故答案为：133 15.【答案】2 【解析】解：1A，2A 分别是双曲线 C：22221xy

17、ab的左，右顶点，F 为左焦点，故渐近线方程为byxa，以12A A 为直径的圆与双曲线 C 的两条渐近线在 x 轴上方，从左至右依次交于 M，N 两点，如图所示，因为 FMONP，可知三角形 FMO 为等腰三角形，腰长为 a，底边为 c，底角为，在 FMO中可得，所以224tan2cabca，即2222224accaca，解得2cea【点睛】求解离心率问题就是要构造出 a 与 c 的等式或不等式，构造 a 与 c 的等式或不等式可以从定义、曲线方程、同一量的二次计算等角度构造.16.【答案】3 【解析】三棱锥 SABC中 SASBSC，顶点 S 在底面 ABC 上的射影 D为 ABC的外心，

18、又 ABC是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，点 D为 AB 的中点 SD 平面 ABC 如上图，设点 O 为三棱锥 SABC外接球的球心，则OD 的长即为外接球的球心到平面 ABC的距离 设球半径为 R，则,OBRODSDSOSDR 由题意得，2213,3 32BDABSDSBBD，在 Rt ODB中，有222OBODDB，即222(3 3)3RR，解得2 3R，3 32 33OD，即三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为 3 故答案为：3 【点睛】本题考查的是几何体外接球的问题，解答本题的关键时是确定三棱锥外接球的球心的位置，属于基础题.17.【答案】（1）12nna；（2）21nn

19、T .【解析】解：（1）设 na的公差为d，由32a，前 3 项和392S，则122ad，13 29322ad，化简得122ad，132ad，解得11a，12d，故通项公式112nna，即12nna.（2）由（1）得11b ，41515 182ba.设 nb公比为q，则3418bqb，从而2q=.故 nb的前n 项和1122112nnnT.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了等比数列前n 项和公式，属基础题.18.【答案】（1）49；（2）分布列见解析，1【解析】（1）甲以 3:1 获胜的概率221211329P，甲以 3:2 获胜的概率22122212C329P，甲以 2:1

20、 获胜的概率213221113329PC，则甲获胜的概率1231214.9999PPPP（2）由题意可得 X 的所有可能取值是 0，1，2，3.3323232112233333333112112112(0)CCCCCC323323323P X 311111722161262724；33232333212133331121121121(2)CCCC3233233232P X 11115723618924；33331121111(3)32322162724P X；75111(1)124242424P X .X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 724 1124 524 124 故71151012

21、31.24242424E X 【点睛】此题考查求解概率和分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率.19.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)由 DE、分别为 ABAC、中点，可得/DE BC，由 DE 面 PDE，BC 面PDE，可得/BC平面 PDE；(2)由 PE 平面ABC，AB 平面ABC，可得 PEAB，由(1)知/DE BC，且由题意 ABBC可得 ABDE，所以由PEABDEABPEDEE，且 PEDE、平面 PDE，可得 AB 平面 PDE.【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了线面垂直的性质定理和判定定理的应用，属于一般难度的题.20.【答案】

22、（1）221164xy；（2）4 2.【解析】解：（1）由题意可知，2 3c，根据32cea，得4a，2b，椭圆 C 的方程为221164xy.（2）设直线l 的方程为0ykx k，由221164ykxxy，得12414xk，22414xk，()()221212MNxxyy=-+-221228 111 4kkxxk.点 A 到直线l 的距离2211kdk，所以2222118 1211 4AMNkkSkk 224 2144 1 1 41 4kkkk，当0k 时，4AMNS；当 k0时，44 114AMNSkk 44 14 2124kk，当且仅当12k 时，等号成立，所以AMNS的最大值为4 2.

23、【点睛】本题考查根据,a b c 的关系求椭圆方程，考查利用弦长公式和点到直线的距离公式求三角形的面积，考查均值不等式的应用，属于基础题.21.【答案】（1）答案见解析；（2）12a.【解析】（1）()211xxfxaee，当0a 时，0fx，()f x 在 R 上单调递减；当0a 时，由()0fx得，1ln 2xa；由()0fx得，1ln 2xa.故()f x 在1,ln 2a递减，在1ln,2a递增.（2）由02f 得，2(21)02aeae，2222eaee，0a.当12a 时，由（1）知，()f x 在0,上单调递增，()03131 cosf xfaax，当102a时，令()()(31

24、)cosg xf xax，则2()2(21)1(31)sin()31xxg xaeaeaxfxa，0420ga，00g，当 1132a时，2()()312(21)3xxg xfxaaeaea，由22(21)30 xxaeaea得，21 22841ln04aaaxa，21 22841ln4aaaxa时，21 22841()ln04aaag xga，从而，由零点存在定理知，存在201 228410,ln4aaaxa，使得00gx.当00,xx时，()0g x，此时，()00g xg，不合题意 当103a时，2()()3122132xxg xfxaaeaea，由22(21)320 xxaeaea得，

25、21 220121ln04aaaxa，21 220121ln4aaaxa时，21 220121()ln04aaag xga，从而，由零点存在定理知，存在211 2201210,ln4aaaxa，使得 10gx，当10,xx时，()0g x，此时，()00g xg，不合题意.综上，12a.【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性以及不等式的恒成立问题，正确分段讨论参数的范围是解题的关键，构造恰当的函数讨论单调性，考查学生的运算能力和转化能力,属于偏难题.22.【答案】（1）221416xy；32yx（2）5 2105；6 58 5(,)55P 【解析】解：（1）由1C：112()xttytt

26、消去参数t 得到222211()()()42yxtttt 221:1416xyC.由2C：sin3 cos2,32yx.（2）设11,2()P tttt（，则 P 到直线2C32yx：距离 PQ 221153()2()221013ttttttPQ 522 52tt或522 52tt 5 210,5PQ此时6 58 55,(,)55tP 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用参数方程解决两点间距离的最小值，属于中档题型.23.【答案】（1）2,23；（2）4,.【解析】（1）当a 1时，不等式 4f x 即为214xx，当1x 时，可得214xx，解得2x，则12x；当01x 时，可得214xx，解得2x ，则01x；当0 x 时，可得214xx，解得23x ，则203x 综上可得，原不等式的解集为2,23.（2）若不等式 4f x 对一切 xR 恒成立，即为min()4f x，又 32,2,023,0 xa xaf xaxxaax x，当 xa 时，f xf aa；当0 xa时，2af xa；当0 x 时，2f xa，故 minf xa，则4a，即a 的取值范围是4,【点睛】本题考查绝对值不等式的解以及绝对值不等式的恒成立问题，前者一般利用零点分段讨论法求解，后者一般转化为函数的最值来讨论.