（全国卷Ⅲ）2021年高考数学压轴卷 理（含解析）.doc

1、（全国卷）2021 年高考数学压轴卷 理（含解析）第 I 卷（选择题）一.选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的 1已知集合 2,1,0,1A ，|1Bx x，则 AB （）A 2,1 B0,1 C 1,0,1 D 2,1,0,1 2已知,a b cR，则“ab”的一个充分而不必要条件是（）A22ab B33ab C22ab D22acbc 3已知复数81 2aizi为纯虚数，则a （）A2 B4 C-16 D-4 4若实数 x，y 满足约束条件10,10,220,xyxyxy ，则221zxy 的最小值为（）A 12 B

2、1 C 32 D212 5下列函数中，是偶函数且值域为0,)的是（）A2()1f xx B12()f xx C2()logf xx D()|f xx 6数列 na是各项均为正数的等比数列，23a 是3a 与4a 的等差中项，则 na的公比等于（）A2 B 32 C3 D 2 7下列结论正确的是（）A若0ab，则acbc B若0ab，则3311ab C若0ab，0c，则 acabcb D若0a，0b，1ab，则2log2ab 8祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体

3、的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为02hh的平面截该几何体，则截面面积为（）A 4 B24 h C 22h D 24h 9已知向量a，b 满足3ab，0a b，若(1)()cab R，且c ac b，则cr的最大值为（）A3 B2 C 12 D 32 10522xyxy的展开式中的33x y 系数为（）A 200 B 120 C120 D200 11如图，已知双曲线222210 xybaab的左、右焦点分别为1F，2F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点 A，若12AF F

4、的内切圆半径为 4b，则双曲线的离心率为（）A 53 B 54 C 43 D 32 12已知函数2ln1()xmxf xx 有两个零点ab、，且存在唯一的整数0(,)xa b，则实数 m 的取值范围是（）A 0,2e B ln 2,14e C ln3,92e e Dln 2e0,4 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知等差数列 na的前n 项和为nS，651S，822a，则3a _.14在 ABC 中，60BAC，3BC，D是 BC 上的点，AD 平分BAC，若2AD，则 ABC 的面积为_.15已知圆C 的圆心坐标是(0,)m，若直线

5、230 xy与圆C 相切于点(2,1)A，则圆 C的标准方程为_.16在四棱锥 SABCD中，/AB CD，122ADABBCCD，5SA，7SBSD，则三棱锥 SABD外接球的表面积为_.三、解答题（共 70 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地 17-21 为必做题，每个试题都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生按要求作答）(一)必做题 17已知公差不为 0 的等差数列 na满足11a，且1a，2a，5a 成等比数列.（）求数列 na的通项公式；（）若12nnb，求数列nnab的前n 项和nT.18某省食品药品监管局对 16 个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行

6、量化评估，满分为 10 分，大部分大学食堂的评分在 710 分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段 0,7)7,8)8,9)9,10 食堂个数 1 3 8 4（1）现从 16 个大学食堂中随机抽取 3 个，求至多有 1 个大学食堂的评分不低于 9 分的概率；（2）以这 16 个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选 3 个，记 X 表示抽到评分不低于 9 分的食堂个数，求 X 的分布列及数学期望.19如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是矩形，2AB，4AD，且侧面 PAB 底面 ABCD，侧面 PAD 底面 ABCD，点 F 是 PB 的中点，

7、动点 E 在边 BC 上移动，且2PA （1）证明：PA底面 ABCD；（2）当点 E 在 BC 边上移动，使二面角 EAFB为60 时，求二面角 FAEP的余弦值 20已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为 2，离心率为22（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 P 是椭圆 C 上一点，且在第一象限内，过 P 作直线与交 y 轴正半轴于 A 点，交 x 轴负半轴于 B 点，与椭圆 C 的另一个交点为 E，且 PA AB，点 Q 是 P 关于 x 轴的对称点，直线QA与椭圆 C 的另一个交点为 F.（）证明：直线 AQ，AP 的斜率之比为定值；（）求直线 EF 的斜率的最小值 21已知

8、函数()sinxf xxe（1）求函数()f x 在 3,22的最大值；（2）证明：函数1()2()2xg xxef x在(0,2)有两个极值点12,x x，并判断12xx与2的大小关系(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的方程为2cossinxy(为参数)，直线l 的方程为1xy.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 的极坐标方程是3，且与曲线C 和直线l 在第一条限的交点分别为,P Q，求 PQ 的长.23已知函数

9、221f xxx，xR.（1）求函数 f x 的图象与直线6y 围成区域的面积；（2）若对于0m，0n，且4mn时，不等式 f xmn恒成立，求实数 x 的取值范围.2021 新课标高考压轴卷 数学（理）参考答案 1【答案】B【解析】因为集合 2,1,0,1A ，|1Bx x，所以 AB 0,1.故选：B 2【答案】D【解析】因为由 ab推不出22ab，由22ab也推不出 ab，故 A 不满足题意 因为33abab，22abab，所以 B、C 不满足题意 因为由22acbc可以推出 ab，由 ab推不出22acbc 所以22acbc是 ab的充分不必要条件 故选：D 3【答案】B【解析】因为8

10、(8)(1 2)82(16)1 2(1 2)(1 2)5aiaiiaa iziii为纯虚数，所以 8205a，1605a，解得4a.故选：B.4【答案】C【解析】如图 1，作出平面区域可知：z 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方加 1，所以最近的距离为O 到直线 AB 的距离，所以221zxy 的最小值为223122 ，故选：C.5【答案】D【解析】解：对于 A：2()1f xx，为偶函数，但值域为1,，故 A 不正确；对于 B：12()f xx定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故 B 不正确；对于 C：2()logf xx定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故 C 不正确；对于 D：()

11、|f xx为偶函数，且值域为0,，故 D 正确；故选：D.6【答案】A【解析】因为23a 是3a 与4a 的等差中项，所以3426aaa，所以231116a qa qa q，又因为10,0aq，所以260qq，所以2q=或3q ，又因为0na，所以0q，所以2q=，故选：A.7【答案】B【解析】法一：对 A，当0c=或0c 时，acbc，A 错误；对 B，由0ab，得 110ba，由3yx()xR是增函数，得3311ab，B 正确；对 C，()()0abbcabacbcacc ba，()()b aca bc，又()0b bc，两边同除以()b bc得，acabcb，C 错误；对 D，由0a，0

12、b，1ab，得2124abab，所以2log2ab ，D 错误.法二：特殊值排除法，若取0c=，则0acbc，A 错误；若取3a，2b，1c ，则 4332，C 错误；若取12ab，则2log2ab ，D 错误 故选：B【点睛】（1）解决比较大小类题目常用方法有：不等式性质直接应用、作差（商）比较法、函数单调性法、中间量法、等价转化法等.（2）几个常用不等式结论：22abab；33abab；若 ab，0ab，则 11ab；若0ab，0c，则 bcbaca（真分数不等式性质）；若0a，0b，则2222222ababababab.8【答案】D【解析】由题意可知，该几何体为底面半径为 2，高为 2

13、的圆柱，从上面挖去一个半径为 2，高为 2 的圆锥，所剩下的部分，如图所示：所以截面为环形，外圆的半径为 2，内圆的半径为 h，所以面积为：2222(4)hh 故选：D 9【答案】D【解析】如图:令 aAM，bMBAN，则 abAMMBAB，故3AB.因为0a b，所以 AMMB，记 AB 的中点为O，所以点M 在以 AB 为直径的圆O 上.设cAC，连接 MN，因为(1)cab，所以点C 在直线 MN 上.因为c ac b，所以)0(cab，即0AC NM，所以 ACMN.结合图形可知，当 NMAB时，|AC 即 cr取得最大值，且max3|2cAO.故选：D【点睛】思路点睛：向量中有关最值

14、的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.10【答案】A【解析】5(2)xy展开式的通项公式为555155(2)2rrrrrrrrTCxyC xy，当3r 时，35 335 32345240TC xyx y，此时只需乘以第一个因式2xy中的 x 即可，得到3340 x y；当2r=时，25 225 23253280TC xyx y，此时只需乘以第一个因式2xy中的 2y即可，得到33160 x y；据此可得：33x y 的系数为 40 160200.故选：A.【点

15、睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出5(2)xy的通项55152rrrrrTC xy，再分类讨论r 的值，确定33x y 的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.11【答案】A【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，设双曲线的一条渐近线方程为byxa，可得直线2AF 的方程为()byxca，与双曲线22221(0)xybaab联立，可得22(2caAc，22()2b acac，设1|AFm，2|AFn，由三角形的等面积法可得2211()(2)22422bb camnccac，化简可得2442cmnaca，由双曲线

16、的定义可得2mna，在三角形12AF F 中22()sin2b canac，(为直线2AF 的倾斜角），由 tanba，22sincos1，可得22sinbbcab，可得222cana，由化简可得223250caca，即为(35)()0ca ca，可得35ca，则53cea 故选：C【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等面积法双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|-|PF2|2a，得到 a，c的关系 12【答案】B【解析】由题意2ln1()0 x

17、mxf xx，得2ln1xmx，设2ln1()(0)xh xxx，求导4332(ln1)1 2(ln1)(2ln1)()xxxxxh xxxx 令()0h x，解得12xe 当120 xe时，()0h x，()h x 单调递增；当12xe时，()0h x，()h x 单调递减；故当12xe时，函数取得极大值，且12()2eh e 又1xe时，()0h x；当 x 时，2ln10,0 xx，故()0h x；作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h，ln 2 1ln 2(2)44eh 因为存在唯一的整数0(,)xa b，使得 ym与2ln1()xh xx的图象有两个交点，由图可知：(2)(1)hm

18、h，即 ln 214em 故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.13【答案】7【解析】设等差数列的公差为d，因为651S，822a，所以1161551722adad，解得：11a，3d，所以3127aad.故答案为：7 14【答案】3 32【分析】由正弦定理可得1sinBDB、1sinDCC，即有11

19、3sinsinBC，而2 3sinsinABACCB，可得32ABACAC AB，结合余弦定理求 AC AB，再应用三角形面积公式求 ABC 的面积即可.【详解】由正弦定理，sinsin 6BDADB，sinsin 6DCADC，即1sinsin6sinADBDBB，1sinsin6sinADDCCC，而3BC，113sinsinBC，2 3sinsinsinABACBCCBBAC，即12 3sinCAB，12 3sin BAC，1132ACAB，即32ABACAC AB，又由余弦定理知：2222cosACABAC ABBACBC，229ACABAC AB，即2()39ACABAC AB，令

20、xAC AB，24120 xx，即6x（2x 舍去），13 3sin22ABCSAC ABBAC.故答案为：3 32.【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理，列方程求 AC AB，根据三角形面积公式求面积.15【答案】22(2)5xy【解析】因为圆心坐标为(0,)m，直线230 xy与圆C 相切于点(2,1)A 根据圆心和切点的连线与直线230 xy垂直，所以(1)10(2)2m ，解得2m ，根据两点间的距离公式，可得圆C 的半径22(02)(21)5r 故圆C 的标准方程为22(2)5xy 故答案为：22(2)5xy 16【答案】654 【解析】如图所示，取CD 的中点1O，连接1AO，1BO

21、，并连接 BD交1AO 于 H，连接 SH.因为/AB CD，122ADABBCCD，所以四边形1ABO D 和四边形1ABCO 均为平行四边形，所以11ADBOBCAO，故1111BODOCOAO，所以1O 为ABD外接圆的圆心且 BCBD，则2 3D，132BHBD，1112AHAO，因为7SBSD，所以 SHBD，所以2SH 因为5SA，1AH ，所以222SAAHSH，所以 SHAH，因为 AHBHH，所以 SH 平面 ABCD 设三棱锥 SABD外接球的球心为O，连接OD，OS，1OO，则1OO 平面 ABCD，则1/SH OO.过点O 作OESH于点 E，则1/OE HO，故四边形

22、1OO HE 为矩形，故11O HOE，1HEOO.设1OOx，外接球的半径为 R，则2222211ROODOSEOE，又12DO，则224(2)1xx，解得14x，所以26516R，所以三棱锥 SABD外接球的表面积为26544R 故答案为：654 【点睛】方法点睛：求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求

23、解即可 17【答案】（）21nan；（）3232nnTn.【解析】（）设等差数列 na的公差为()d d 0，由1a，2a，5a 成等比数列，可得2215aa a，即2111 4dd，解得2d 或0d（舍），所以数列 na的通项公式21nan.（）由（）得1212nnnabn 所以01211 23 25 2212nnTn ，可得12121 23 2232212nnnTnn ，两式相减得012122 22 22 2212nnnTn 121 21 22121 42 221233221 2nnnnnnnn 所以3232nnTn.【点睛】错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列 n

24、a为等差数列，数列 nb为等比数列，求解数列n na b的前n 项和nS；（2）注意事项：在写出nS 和nqS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出nnSqS；作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；作差后，作差部分应用为1n 的等比数列求和.18【答案】（1）121140；（2）分布列答案见解析，数学期望 34【解析】（1）设(0,1,2,3)iA i 表示“所抽取的 3 个大学食堂中有 i 个大学食堂评分不低于 9分”，“至多有 1 个大学食堂评分不低于 9 分”记为事件 A，则 01P AP AP A31212412331616121140CC CCC.（2）由表格

25、数据知，从这 16 个大学食堂中任选 1 个，评分不低于 9 分的概率为 41164.由题意知 X 可取的值为0,1,2,3，则 33270464P X，1213132714464P XC ，212313924464P XC ，3313464P X.所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 所以，数学期望27279130123646464644E X .19【答案】（1）证明见解析；（2）104.【解析】（1）证明：侧面 PAB 底面 ABCD，且侧面 PAB底面 ABCDAB，ADAB，AD平面 PAB，ADAP，同理侧面 PAD 底面 ABCD，且侧

26、面 PAD底面 ABCDAD，ABAD，AB平面 PAD，ABAP，PA 底面 ABCD （2）PA 底面 ABCD，点 F 是 PB 的中点，且 PAAB，AFPBAD 侧面 PAB，且/AD BC，BC侧面 PAB，BCAF，AF 侧面 PBC，BFE为二面角 EAFB所成的角，当60BFE时，6BE，AD，AB，AP 三线两两垂直，分别以 AD，AB，AP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，0,0,0A，0 0 2P,，0,1,1F，06,2,E，0,0,2AP，0,1,1AF，6,2,0AE，设平面 FAE 的法向量为111,mx y z，则00m AEm AF，得111

27、16200 xyyz，令13z，得116,3xy ，则6,3,3m，设平面 PAE 的法向量为222,nx y z，由00n APn AE ，得22220620zxy，令26x，得22,30yz，6,3,0n，设二面角 FAEP为，则6910cos42 615.【点睛】本题考查了面面垂直的性质、线面垂直的证明，以及求二面角的余弦值，解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用数量积公式，考查了学生的空间想象力和计算能力.20【答案】（1）2212xy；（2）（）证明见解析；（）62【解析】解：（1）由题意得22222,2,2.bcaabc解得2,1.ab 所以椭圆C 的方程为2212xy （2）（i

28、）设 P 点的坐标为00(,)xy，因为点Q 是00(,)P xy关于 x 轴的对称点，PAAB，所以00(,)Q xy，01(0,)2Ay 所以直线QA 的斜率为000001322QAyyykxx，PA 的斜率为00000122PAyyykxx 所以3QAPAkk 所以直线 AQ，AP 的斜率之比为定值（ii）设直线 PA 的方程为 ykxm 联立方程组22,22,ykxmxy化简得222(1 2)4220kxkmxm 设 E 点的坐标是11(,)x y，所以20 122212mx xk所以212022(12)mxkx 所以21202(1)(12)k mymkx 所以 E 点的坐标是2222

29、00222(1)(,)(12)(12)mk mmkxkx 由（2）可知，直线QA 的方程是3ykxm 所以 F 点的坐标是222200226(1)(,)(1 18)(1 18)mk mmkxkx 所以直线 EF 的斜率2222002222006(1)2(1)(1 18)(12)2222(1 18)(12)EFk mk mmmkxkxkmmkxkx2614kk 因为0k，所以26111(6)44EFkkkkk1162 642k k 当且仅当16kk，即66k 时，EFk有最小值62 所以直线 EF 的斜率的最小值是62【点睛】思路点睛：直线与椭圆的位置关系有设而不求和设而要求两种思路，当已知直线

30、和椭圆的一个交点求另一个交点时用设而要求的方法，联立直线和椭圆，用韦达定理解出另一根.21【答案】（1）2e；（2）证明见解析；122xx【解析】解：（1）()cos,()sinxxfxxefxxe 当3,22x时，sin0,0 xxe，则()0fx，故()fx 在 3,22上单调递增，又32230,(2)102fefe ，所以()fx 在 3,22 有唯一的零点 t 当3,2xt时，()0fx；当,2xt时，()0fx 故()f x 在 3,2t上单调递减，在(,2)t 上单调递增，且323120fe ，2(20)fe，所以()f x 在 3,22的最大值为2e（2）1()cos2xg xx

31、e，当0,2x时，cos,xyx ye 均单调递增，所以()g x 单调递增，又421210,042222gege，所以()g x 在0,2x有唯一的零点 1,4 2t，此时当10,xt时，()0g x；1,2xt 时，()0g x，所以 1t 是极小值点，不妨让11,4 2xt 当3,22x时，cos0 x，xye 单调递增，所以2111()cos0222xxg xxeee；故()g x 在3,22上单调递增，没有极值点；当3,22x，()sin()xgxxef x由（1）知，()f x 在 3,2t上单调递减，在(,2)t 上单调递增，且30,(2)02ff，故()gx有唯一的零点 03,

32、22t，则03,2xt时，()0gx，即()g x 单调递减；0,2xt时，()0gx，即()g x 单调递增，又724371210,0,(2)024222ggege，所以()g x 在3,22x有唯一的零点 237,24t，此时23,2xt时，()0g x；2,2xt时，()0g x，所以 2t 是极大值点，即2237,24xt，所以()g x 在(0,2)有两个极值点12,x x，其中1,4 2x，237,24x，且12121cos21cos2xxxexe，由于12xxee，所以122coscoscos 2xxx 因为1,4 2x，22,4 2x，且cosyx在,4 2 上单调递减，所以1

33、22xx，即122xx（判断极值点的时候1,3 2x，235,23x也对）【点睛】思路点睛：利用导数求解函数最值的思路：（1）若所给的闭区间,a b 不含参数，则只需对 f x 求导，并求 0fx在区间,a b 内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 ,f af b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（2）若所给的区间,a b 含有参数，则需对 f x 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 f x 的最值.22【答案】（1）224:1 3sinC ，:2 sin14l；（2）4 131313.【解析】（1）曲线C 的普通方程为：2214xy，化

34、为极坐标方程为：2222cossin14，即：2241 3sin，直线l 的极坐标方程为：cossin1，即2 sin14.（2）设点 11,P ，则有2121141 3sin3，解得：114 13133，即4 13,133P，设点22,Q ，则有2222sin143，解得：22313，即31,3Q，124 131313PQ.23【答案】（1）6；（2）4,0,3.【解析】（1）由 3,14,123,2x xf xxxx x 与6y 围成的区域是 ABC，如图所示，其中 2,6A，1,3B，2,6C，所以4AC，B 到直线 AC 的距离为 3，故所求面积为14 362ABCS .（2）因为0m，0n，且4mn，所以22mnmn，即4mn，若不等式 f xmn恒成立，则有 maxf xmn，即 4f x，解不等式2214xx，可得134xx 或1244xx 或234xx，解之得43x 或0 x，所以实数 x 的取值范围为4,0,3.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若()kf x在,a b 上恒成立，则max()kf x；若()kf x在,a b 上恒成立，则min()kf x；若()kf x在,a b 上有解，则min()kf x；若()kf x在,a b 上有解，则max()kf x.