（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（八）等差数列、等比数列（文含解析）.doc

1、专题检测（八）等差数列、等比数列 A 组“633”考点落实练一、选择题1.(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a53a34a1，则 a3()A.16 B.8C.4 D.2解析：选 C 由题意知a10，q0，a1a1qa1q2a1q315，a1q43a1q24a1，解得a11，q2，a3a1q24.故选 C.2.(2019湖南省五市一校联考)已知数列an满足 2anan1an1(n2)，a2a4a612，a1a3a59，则 a1a6()A.6 B.7C.8 D.9解 析：选 B 法 一：由 题 意 知，数 列 an 是 等 差 数 列，设 公 差 为 d，

2、则a1da13da15d12，a1a12da14d9，解得a11，d1，所以 a1a6a1a15d7，故选 B.法二：由题意知，数列an是等差数列，将 a2a4a612 与 a1a3a59 相加可得 3(a1a6)12921，所以 a1a67，故选 B.3.(2019福州市质量检测)等比数列an的各项均为正实数，其前 n 项和为 Sn.若 a34，a2a664，则 S5()A.32 B.31C.64 D.63解析：选B 法一：设首项为a1，公比为q，因为an0，所以q0，由条件得a1q24，a1qa1q564，解得a11，q2，所以 S531，故选 B.法二：设首项为 a1，公比为 q，因为

3、an0，所以 q0，由 a2a6a2464，a34，得 q2，a11，所以 S531，故选 B.4.数列an中，a12，a23，an1anan1(n2，nN*)，那么 a2 019()A.1 B.2C.3 D.3解析：选 A 因为 an1anan1(n2)，所以 anan1an2(n3)，所以 an1anan1(an1an2)an1an2(n3).所以 an3an(nN*)，所以 an6an3an，故an是以 6 为周期的周期数列.因为 2 01933663，所以 a2 019a3a2a1321.故选 A.5.(2019 届高三西安八校联考)若等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6S7S

4、5，则满足 SnSn1S7S5，得 S7S6a7S5，所以 a70，所以 S1313（a1a13）213a70，所以 S12S130，即满足SnSn10 的正整数 n 的值为 12，故选 C.6.已知数列an满足 an2an1an1an，nN*，且 a52，若函数 f(x)sin 2x2cos2x2，记 ynf(an)，则数列yn的前 9 项和为()A.0 B.9C.9 D.1解析：选 C 由已知可得，数列an为等差数列，f(x)sin 2xcos x1，f2 1.f(x)sin(22x)cos(x)1sin 2xcos x1，f(x)f(x)2，a1a9a2a82a5，f(a1)f(a9)2

5、419，即数列yn的前 9 项和为 9.二、填空题7.(2019全国卷)记 Sn 为等比数列an的前 n 项和，若 a11，S334，则 S4_.解析：设等比数列的公比为 q，则 ana1qn1qn1.a11，S334，a1a2a31qq234，即 4q24q10，q12，S41112411258.答案：588.(2019北京高考)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5_，Sn 的最小值为_.解析：a2a1d3，S55a110d10，a14，d1，a5a14d0，ana1(n1)dn5.令 an0，则 n0；当 n6 时，an0.所以 Sn 的最小值为 S5S63

6、0.11.(2019广西梧州、桂林、贵港等期末)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，a2a38，S981.(1)求an的通项公式；(2)若 S3，a14，Sm 成等比数列，求 S2m.解：(1)S99a59（a14d）81，a2a32a13d8，a11，d2，故 an1(n1)22n1.(2)由(1)知，Snn（12n1）2n2.S3，a14，Sm 成等比数列，S3Sma214，即 9m2272，解得 m9，故 S2m182324.12.(2019广州市调研测试)设 Sn 为数列an的前 n 项和，已知 a37，an2an1a22(n2).(1)证明：数列an1为等比数列；(2)求数列an

7、的通项公式，并判断 n，an，Sn 是否成等差数列？解：(1)证明：a37，a33a22，a23，an2an11，a11，an1an112an12an11 2(n2)，数列an1是首项为 a112，公比为 2 的等比数列.(2)由(1)知，an12n，an2n1，Sn2（12n）12n2n1n2，nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0，nSn2an，即 n，an，Sn 成等差数列.B 组大题专攻强化练1.(2019湖南省湘东六校联考)已知数列an满足 an13an3n(nN*)且 a11.(1)设 bn an3n1，证明：数列bn为等差数列；(2)设 cnnan，求数列cn的前 n 项和

8、Sn.解：(1)证明：由已知得 an13an3n，得 bn1an13n 3an3n3n an3n11bn1，所以 bn1bn1，又 a11，所以 b11，所以数列bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列.(2)由(1)知，bn an3n1n，所以 ann3n1，cn 13n1，所以 Sn11 13n11332113n 32123n1.2.(2019全国卷)记 Sn 为等差数列an的前 n 项和.已知 S9a5.(1)若 a34，求an的通项公式；(2)若 a10，求使得 Snan 的 n 的取值范围.解：(1)设an的公差为 d.由 S9a5 得 a14d0.由 a34 得 a12d4.于是

9、a18，d2.因此an的通项公式为 an102n.(2)由(1)得 a14d，故 an(n5)d，Snn（n9）d2.由 a10 知 d0，故 Snan 等价于 n211n100，解得 1n10，所以 n 的取值范围是n|1n10，nN.3.(2019全国卷)已知数列an和bn满足 a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式.解：(1)证明：由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即 an1bn112(anbn).又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为12的等比数列.由题设得 4

10、(an1bn1)4(anbn)8，即 an1bn1anbn2.又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列.(2)由(1)知，anbn 12n1，anbn2n1，所以 an12(anbn)(anbn)12nn12，bn12(anbn)(anbn)12nn12.4.已知数列an的首项 a13，a37，且对任意的 nN*，都有 an2an1an20，数列bn满足 bna2n1，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求使 b1b2bn2 020 成立的最小正整数 n 的值.解：(1)令 n1 得，a12a2a30，解得 a25.又由 an2an1an20 知，an2an1an1ana2a12，故数列an是首项 a13，公差 d2 的等差数列，于是 an2n1，bna2n12n1.(2)由(1)知，bn2n1.于是 b1b2bn(21222n)n2（12n）12n2n1n2.令 f(n)2n1n2，易知 f(n)是关于 n 的单调递增函数，又 f(9)210921 031，f(10)2111022 056，故使 b1b2bn2 020 成立的最小正整数 n 的值是 10.