（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（十七）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（理含解析）.doc

1、专题检测（十七） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题大题专攻强化练1(2019湖南省五市十校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过定点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：PFMPFB.解：(1)依题意可设圆O的方程为x2y2b2，圆O与直线xy0相切，b1，a2c21，又，a，椭圆C的方程为y21.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x2)由得(12k2)x28k2x8k220，l与椭圆有两个交点，0，即2k21b0)的离心率为e

2、，点(，1)在椭圆D上(1)求椭圆D的方程；(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数，使得k1k2k，求实数的取值范围解：(1)椭圆D的离心率e，ab，又点(，1)在椭圆D上，1，得a2，b，椭圆D的方程为1.(2)由题意得，直线l的方程为ykxt.由消元可得(2k21)x24ktx2t240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，k1k22k2kt.由k1k2k，得k，此等式对任意的k都成立，即t22.点P(0，t)在椭圆内，0t22，即020)的准线l1与

3、x轴交于点M，直线l2：4x3y60与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到l1，l2的距离之和的最小值等于2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B，设 ，求|AB|的取值范围解：(1)作PG，PH分别垂直于l1，l2，垂足为G，H，设抛物线C的焦点为F，则F.由抛物线定义知|PG|PF|，所以点P到直线l1，l2的距离之和的最小值即为点F到直线l2的距离，故2，又p0，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)可得点M的坐标为(1，0)，由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为yk(x1)由消去x，整理得ky24y4k0

4、，因为直线AB与抛物线交于两个不同的点，所以1616k20，所以0k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y1y2，因为，M(1，0)，所以(x11，y1)(x21，y2)，所以y1y2，由可得k2.所以|AB| |y1y2| ，则|AB|216161616，令f()，1，则f()在上单调递减，因此可得2，所以016，所以0b0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP的面积取最大值时，直线l的方程解：(1)依题意知，e，左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离d0

5、，得a24，c21，所以b23，故椭圆C的方程为1.(2)易得直线OP的方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点R(x0，y0)(y00)，其中y0x0.因为A，B在椭圆C上，所以1，1，两式相减得0，即0，故kAB.由题意可设直线l的方程为yxm(m0)，代入1中，消去y并整理得3x23mxm230，由(3m)243(m23)3(12m2)0，得2m2且m0.由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2，所以|AB|x1x2| .又点P(2，1)到直线l的距离d，所以ABP的面积SABP|AB|d，其中2m2且m0.令f(m)(4m)2(12m2)(2m2且m0)，则f(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)，令f(m)0，得m1(4和1不满足2m0，当m(1，2)且m0时，f(m)0，所以当m1时，SABP取得最大值，此时直线l的方程为3x2y220.