（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（十三）概 率（文含解析）.doc

1、专题检测（十三）概 率 A 组“633”考点落实练一、选择题1.(2019全国卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16 B.14C.13D.12解析：选 D 设两位男同学分别为 A，B，两位女同学分别为 a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.由图知，共有 24 种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有 12种，故所求概率为122412.故选 D.2.已知定义在区间3，3上的函数 f(x)2xm 满足 f(2)6，在3，3上任取一个实数x，则使得 f(x)的值不小于 4 的概率为()A.16B.13C.12D.2

2、3解析：选 B f(2)6，22m6，解得 m2.由 f(x)4，得 2x24，即 x1，而 x3，3，故根据几何概型的概率计算公式，得 f(x)的值不小于 4 的概率 P313（3）13.故选 B.3.(2019广东六校第一次联考)在区间，上随机取两个实数 a，b，记向量 m(a，4b)，n(4a，b)，则 mn42 的概率为()A.18B.14C.15D.16解析：选 B 在区间，上随机取两个实数 a，b，则点(a，b)在如图所示的正方形内部及其边界上.因为 mn4a24b242，所以 a2b22，满足条件的点(a，b)在以原点为圆心，为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图

3、中阴影部分所示，所以 mn42 的概率 P4234214，故选 B.4.(2019成都第一次诊断性检测)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为()A.49B.59C.23D.79解析：选 C 将齐王的上等、中等、下等马分别记为 a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等马分别记为 b1，b2，b3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有 a1b1，

4、a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共 9 种，其中齐王的马获胜的对阵情况有 a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3，共 6 种，所以齐王的马获胜的概率 P6923，故选 C.5.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加某项活动，则所选的 3 人中女生人数不超过 1 的概率是()A.0.8 B.0.6C.0.4 D.0.2解析：选 A 设事件 Q 为“所选 3 人中女生人数不超过 1”，事件 M 为“所选 3 人中女生人数为 1”，事件 N 为“所选 3 人中女生人数为 0”，则事件 M，N 是互斥事件.4 名男生分别记为

5、1，2，3，4；2 名女生分别记为 a，b.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人有 20 种不同的结果，分别为1，2，3，1，2，4，1，2，a，1，2，b，1，3，4，1，3，a，1，3，b，1，4，a，1，4，b，1，a，b，2，3，4，2，3，a，2，3，b，2，4，a，2，4，b，2，a，b，3，4，a，3，4，b，3，a，b，4，a，b.事件 M 所含的基本事件分别为1，2，a，1，2，b，1，3，a，1，3，b，1，4，a，1，4，b，2，3，a，2，3，b，2，4，a，2，4，b，3，4，a，3，4，b，共 12 个，所以 P(M)122035；事件 N 所含的基本事件分别

6、为1，2，3，1，2，4，1，3，4，2，3，4，共 4 个，所以 P(N)42015；所以事件 Q 的概率为 P(Q)P(M)P(N)35150.8，故选 A.6.如图(1)所示的风车是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆、胶泥瓣儿和彩纸制成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图(2)是用 8 个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.14B.13C.12D.23解析：选 B 设白色的等腰直角三角形的斜边长为 2，则白色的等腰直角三角形直角边的长为 2，所以白色部分的面积为 S1412 2 24

7、，易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为 1，所以阴影部分的面积为 S2412112，由几何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为 PS2S1S2 24213.二、填空题7.一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如 213，134 等).若 a，b，c1，2，3，4，且 a，b，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_.解析：由 1，2，3 组成的三位自然数可能为 123，132，213，231，312，321，共 6 个；同理，由 1，2，4 组成的三位自然数有 6 个，由 1，3，4 组成的三位自然

8、数有 6 个，由 2，3，4 组成的三位自然数有 6 个，共有 666624 个三位自然数.由 1，2，3 或 1，3，4 组成的三位自然数为“有缘数”，共 12 个，所以三位数为“有缘数”的概率为122412.答案：128.甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为 x 甲，x 乙，则 x 甲x 乙的概率是_.解析：设被污损的数字为 x，由茎叶图知 x 乙90，x 甲89x5，污损处可取数字 0，1，2，9，共 10 种，而 x 甲x 乙时，89x590，xN，污损处对应的数字有 6，7，8，9，共 4 种，故 x 甲x 乙的概率为 41

9、025.答案：259.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，在正方体内随机取一点 M，则点 M 落在三棱锥 B1A1BC1 内的概率为_.解析：因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，所以三棱锥 B1A1BC1 的体积1312aaa16a3，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 a3，所以在正方体内随机取一点 M，则点 M 落在三棱锥 B1A1BC1 内的概率为16a3a3 16.答案：16三、解答题10.(2019天津高考)2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除

10、.某单位老、中、青员工分别有 72，108，120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访.员工ABCDEF项目 子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生的概率.解：(1)由已知得老、中、

11、青员工人数之比为 6910，由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人、9 人、10 人.(2)从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F，共 15 种.由表格知，符合题意的所有结果为A，B，A，D，A，E，A，F，B，D，B，E，B，F，C，E，C，F，D，F，E，F，共 11 种.所以事件 M 发生的概率 P(M)1115.11.(2019安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准

12、型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：A 类轿车B 类轿车C 类轿车舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆.(1)求 z 的值；(2)用分层抽样的方法从 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这 8 辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数 xi(1i8，iN)，设样本平均数为 x，求

13、|xix|0.5 的概率.解：(1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆，由题意得50n 10100300，所以 n2 000，则 z2 000(100300)(150450)600400.(2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车，由题意得 4001 000a5，得 a2，所以抽取的容量为 5 的样本中，有 2 辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车.用 A1，A2 分别表示 2 辆舒适型轿车，用 B1，B2，B3 分别表示 3 辆标准型轿车，用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆，至少有 1 辆舒适型轿车”.从该样本中任取 2 辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3

14、)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共 10 个，其中事件 E 包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共 7 个.故 P(E)710，即所求的概率为 710.(3)样本平均数 x18(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.设 D 表示事件“从样本中任取一个数 xi(1i8，iN)，|xix|0.5”，则从样本中任取一个数有 8 个基本事件，事件 D 包括的基本事件有 9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共 6 个.

15、所以 P(D)6834，即所求的概率为34.12.已知二次函数 f(x)ax24bx2.(1)任取 a1，2，3，b1，1，2，3，4，记“f(x)在区间1，)上是增函数”为事件 A，求 A 发生的概率.(2)任取(a，b)(a，b)|a4b60，a0，b0，记“关于 x 的方程 f(x)0 有一个大于1 的根和一个小于 1 的根”为事件 B，求 B 发生的概率.解：(1)因为 a 有 3 种取法，b 有 5 种取法，则对应的函数有 3515 个.因为函数 f(x)的图象关于直线 x2ba 对称，若事件 A 发生，则 a0 且2ba 1.数对(a，b)的取值为(1，1)，(2，1)，(2，1)

16、，(3，1)，(3，1)共 5 种.所以 P(A)51513.(2)集合(a，b)|a4b60，a0，b0对应的平面区域为 RtAOB，如图，其中点 A(6，0)，B0，32，则AOB 的面积为1232692.若事件 B 发生，则 f(1)0，即 a4b20.所以事件 B 对应的平面区域为BCD.由a4b60，a4b20得交点坐标为 D(2，1).又 C0，12，则BCD 的面积为123212 21.所以 P(B)SBCDSAOB29.B 组大题专攻强化练1.为了从某校甲、乙两名学生中选拔出一名学生参加全国中学生奥林匹克数学竞赛，现对这两名学生以往的若干次数学竞赛成绩进行分析，数据如下：(1)

17、请你从这两名学生的数学成绩的平均水平和稳定性角度进行分析，判断应选择哪名学生参加竞赛；(2)请你通过该组数据中甲、乙两名学生的数学成绩在 xs 与 xs 之间的概率大小进行选择，请给出你的选择结果；(3)按照第(1)问的选取标准，为了迎接竞赛，学校决定对所选学生以往的若干次数学竞赛试卷进行分析，每位老师负责分析其中的两张试卷，求陈老师为该生分析的数学试卷分数都在 88 分以上的概率.参考数据：67.448.2，64.6248.0，62.447.9，75.448.7.解：(1)平均值：x 甲727475768082858995961082.4，x 乙70717276858788909293108

18、2.4，x甲x乙.样本方差：s2甲 110(7282.4)2(7482.4)2(9582.4)2(9682.4)267.44，s2乙 110(7082.4)2(7182.4)2(9282.4)2(9382.4)275.44，由于 s2甲s2乙，所以甲同学的成绩相对稳定，因此派甲同学参加比赛.(2)由于 x 甲x 乙82.4，s 甲 s2甲 67.448.2，s 乙 s2乙 75.448.7，所以 x 甲s 甲90.6，x 甲s 甲74.2，在 x 甲s 甲与 x 甲s 甲之间的成绩有 75，76，80，82，85，89，所以P 甲 61035，x 乙s 乙91.1，x 乙s 乙73.7，在 x

19、 乙s 乙与 x 乙s 乙之间的成绩有 76，85，87，88，90，所以 P 乙 51012，因为3512，所以派甲同学去参加比赛.(3)从 10 份试卷中任意抽取 2 份共有 45 种取法，2 份试卷的分数均在 88 分以上的有(89，95)，(89，96)，(95，96)，共 3 种，故陈老师为该生分析的数学试卷分数都在 88 分以上的概率为 345 115.2.(2019济南市学习质量评估)某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了 100 位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品(不购买则可以免费

20、退货，购买则仅需付成本价).经统计，决定退货的客户人数占总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多 10 人，“对性能不满意”的客户中恰有23选择了退货.(1)请完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”？对性能满意对性能不满意总计购买产品不购买产品总计(2)该企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取 6 位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有 4 张奖券，奖券上分别印有200 元、400 元、600 元和 800 元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6 位客户有放回地进行抽取

21、，每人随机抽取一张奖券，求 6 位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于 500 元的概率.附：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd），其中 nabcd，P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：(1)设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为 x，则不购买产品的人数为 2x，由此并结合题意可列出表：对性能满意对性能不满意总计购买产品 x50 不购买产品 2x50 总计3x103x100由表可得 3x103x100，所以 x15.完成 22 列联表为 对性能满意对性能不满意总计购买产品351550 不

22、购买产品203050 总计5545100所以 K2100（35301520）25050554510011 9.0916.635，所以有 99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.(2)由题意得，参加座谈的 6 位客户中购买产品的人数为 2，退货的人数为 4.“6 位客户中购买产品的客户抽取奖券”包含的基本事件有(200，200)，(200，400)，(200，600)，(200，800)，(400，200)，(400，400)，(400，600)，(400，800)，(600，200)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，4

23、00)，(800，600)，(800，800)，共 16 个.设事件 A 为“6 位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于 500 元”，则事件 A 包含的基本事件有(200，800)，(400，600)，(400，800)，(600，400)，(600，600)，(600，800)，(800，200)，(800，400)，(800，600)，(800，800)，共 10 个，则 P(A)101658.所以 6 位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于 500 元的概率是58.3.(2019江西省五校协作体试题)某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，成绩为 1至 10 分，随机调阅了 A，B

24、 两所学校各 60 名学生的成绩，得到样本数据如下：A 校样本数据条形图B 校样本数据统计表成绩/分12345678910人数/个000912219630(1)计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2)从 A 校样本数据中成绩分别为 7 分、8 分和 9 分的学生中按分层抽样方法抽取 6 人，若从抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛，求这 2 人成绩之和大于或等于 15 分的概率.解：(1)从 A 校样本数据的条形图可知，成绩为 4 分、5 分、6 分、7 分、8 分、9 分的学生分别有 6 人、15 人、21 人、12 人、3 人、3 人.A 校样本数据的均值为

25、xA465156217128393606(分)，A 校样本数据的方差为 s2A 1606(46)215(56)221(66)212(76)23(86)23(96)21.5.从 B 校样本数据统计表可知，B 校样本数据的均值为 xB49512621798693606(分)，B 校样本数据的方差为 s2B 1609(46)212(56)221(66)29(76)26(86)23(96)21.8.因为 xAxB，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又 s2As2B，所以 A 校学生的计算机成绩比较集中，总体得分情况比 B 校好.(2)依题意，从 A 校样本数据中成绩为 7 分的学生中应抽取的人数为6

26、1233124，分别设为 a，b，c，d；从成绩为 8 分的学生中应抽取的人数为6123331，设为 e；从成绩为 9 分的学生中应抽取的人数为6123331，设为 f.所有基本事件有 ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共 15个，其中满足条件的基本事件有 ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共 9 个，所以从抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛，这 2 人成绩之和大于或等于 15 分的概率 P 91535.4.(2019湖南省湘东六校联考)某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行

27、合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i1，2，6)，如表所示：试销单价 x/元456789产品销量 y/件q8483807568已知 y16i16yi80.(1)求 q 的值；(2)已知变量 x，y 具有线性相关关系，求产品销量 y(件)关于试销单价 x(元)的线性回归方程 ybxa；(3)用yi 表示用正确的线性回归方程得到的与 xi 对应的产品销量的估计值，当|yiyi|1 时，将销售数据(xi，yi)称为一个“好数据”，现从 6 个销售数据中任取 2 个，求抽取的 2 个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率.解：(1)由 y16i16yi80，得

28、q8483807568680，解得 q90.所以b3 05066.58027166.524，a8046.5106，所以所求的线性回归方程为y4x106.(3)由(2)知，当 x14 时，y190；当 x25 时，y286；当 x36 时，y382；当 x47 时，y478；当 x58 时，y574；当 x69 时，y670.与销售数据对比可知满足|yiyi|1(i1，2，6)的共有 3 个：(4，90)，(6，83)，(8，75).从 6 个销售数据中任取 2 个的所有可能结果有652 15(种)，其中 2 个销售数据中至少有一个是“好数据”的结果有 33312(种)，于是抽取的 2 个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率为121545.