宜宾专版2018届中考数学第1编教材知识梳理篇第3章函数及其图象第11讲二次函数及其应用精讲试题.doc

1、第十一讲二次函数及其应用第1课时二次函数,考标完全解读)考点考试内容考试要求二次函数的概念及表达式定义了解三种表示方法掌握三种表达式之间的关系了解二次函数表达式的确定掌握二次函数的图象及性质图象性质掌握系数a，b，c与二次函数的图象关系掌握二次函数与一元二次方程的关系抛物线的交点与对应一元二次方程根之间的关系掌握,感受宜宾中考)1(2014宜宾中考)如图，已知抛物线yx2bxc的顶点坐标为M(0，1)，与x轴交于A，B两点(1)求抛物线的表达式；(2)判断MAB的形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C，D两点，连结MC，MD，试判断MC，MD是否垂直，并说明理由解

2、：(1)抛物线yx2bxc的顶点坐标为M(0，1)，b0，c1，抛物线的表达式为：yx21；(2)MAB是等腰直角三角形理由如下：由抛物线的表达式为：yx21可知A(1，0)，B(1，0)OAOBOM1，AMOMAOBMOMBO45，AMBAMOBMO90，y轴是对称轴，A，B为对称点，AMBM，MAB是等腰直角三角形；(3)MCMD.理由如下：分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E，F，过M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H.设D(m，m21)，C(n，n21)OEn，CE1n2，OFm，DFm21，OM1，CGn2，DHm2，EGDH，.即，解得m.n，n，.CGMMHD90，CG

3、MMHD，CMGMDH.MDHDMH90，CMGDMH90，CMD90，即MCMD.2(2015宜宾中考)如图，抛物线yx2bxc与x轴分别相交于点A(2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，顶点为点P.(1)求抛物线的表达式；(2)动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；是否存在这样的点F，使PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把A(2，0)，B(4，0)代入抛物线yx2bxc，得解得yx2x4；(2)C(0，4)

4、，B(4，0)，直线BC的表达式为yx4，由题意，设ONOMt，MHt2t4.ONMH，COB90，当ONMH时，四边形OMHN为矩形，即tt2t4，解得：t2或t2(不合题意，舍去)，把t2代入yt2t4，得y2，H(2，2)；存在i当PFBC时，直线BC的表达式为yx4，设PF的表达式为yxb，将点P(1，)代入求得b，yx.根据题意列方程组，得解得F；ii当PFBP时，设直线BC的表达式为ymxn，将点P(1，)，B(4，0)，代入ymxn，得解得直线BP的表达式为yx6，设PF的表达式为yxb，将点P代入求得b，yx.根据题意列方程组，得解得F.综上所述：PFB为直角三角形时，点F的坐

5、标为或.3(2017宜宾中考)如图，抛物线yx2bxc与x轴分别交于A(1，0)，B(5，0)两点(1)求抛物线的表达式；(2)在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连结AC，且AD5，CD8，将RtACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yx2bxc与x轴分别交于A(1，0)，B(5，0)两点，解得抛物线表达式为yx24x5；(2)AD5，且O

6、A1，OD6，且CD8，C(6，8)，设平移后的点C的对应点为C，则C点的纵坐标为8，代入抛物线表达式可得8x24x5，解得：x11，x23，C点的坐标为(1，8)或(3，8)6m1或6m3，解得：m7或9，m的值为7或9；(3)yx24x5(x2)29，抛物线对称轴为直线x2，可设P(2，t)，由(2)可知E点坐标为(1，8)，当BE为平行四边形的一边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EFx轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如答图则BEFBMPQPN，在PQN和EBF中，PQNEBF(A.A.S.)NQBFOBOF514，设Q(x，y)，则QN|x2|，|x2|4，解得x2或x6，当x

7、2或x6时，代入抛物线表达式可求得y7，Q点坐标为(2，7)或(6，7)；当BE为对角线时，B(5，0)，E(1，8)，线段BE的中点坐标为(3，4)，则线段PQ的中点坐标为(3，4)，设Q(x，y)，且P(2，t)，x232，解得x4，把x4代入抛物线表达式可求得y5，Q(4，5)；综上可知Q点的坐标为(2，7)或(6，7)或(4，5),核心知识梳理)二次函数的概念及表达式1定义：一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系，可以表示成_yax2bxc(a，b，c是常数，且a0)_，那么称y是x的_二次函数_，其中，a叫做_二次项系数_，b叫做_一次项系数_，c叫做_常数项_2三种表示方法：(1

8、)一般式：_yax2bxc(a0)_；(2)顶点式：_ya(xh)2k(a0)_，其中二次函数的顶点坐标是_(h，k)_；(3)交点式：_ya(xx1)(xx2)(a0)_，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的_横坐标_3三种表达式之间的关系顶点式一般式交点式4二次函数表达式的确定(1)求解二次函数表达式的方法一般用_待定系数法_，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式当已知抛物线上任意三点时，通常设为_yax2bxc_形式；当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为_ya(xh)2k_形式；当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为_ya(xx1)(xx2)_形式(2)步骤：设二次函数的表

9、达式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式二次函数的图象及性质5图象性质函数二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)aa0a0图象对称轴直线x_直线x_续表顶点坐标_增减性在对称轴左侧，即_x_时，y随x的增大而_减小_；在对称轴右侧，即当x时，y随x的增大而_增大_，简记为“左减右增”在对称轴左侧，即当x时，y随x的增大而_增大_；在对称轴右侧，即当x时，y随x的增大而_减小_，简记为“左增右减”最值抛物线有最低点，当_x_时，y有最小值，y最小值抛物线有最高点，当x时，y有最大值，y最大值_6.系数a，b，c与二次函数的图象关系项

10、目字母aa0_开口向上_a0_开口向下_bb0对称轴为_y轴左侧_ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴_右侧_cc0_经过原点_c0与y轴_正半轴_相交c0与y轴_负半轴_相交b24acb24ac0与x轴有_唯一_交点(顶点)b24ac0与x轴有_两个不同_交点b24ac0与x轴_没有_交点特殊关系当x1时，yabc当x1时，yabc若abc0，即x1时，y0若abc0，即x1时，y0【针对练习】(2017宜宾中考)如图，抛物线y1(x1)21与y2a(x4)23交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点则下列结论

11、：a；ACAE；ABD是等腰直角三角形；当x1时，y1y2.其中正确结论的个数是(B)A1个 B2个 C3个 D4个二次函数与一元二次方程的关系7当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的_横坐标_就是对应的一元二次方程的_两个不相等的实数根_8当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根9当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根,重点难点解析)二次函数的图象及其性质【例1】关于抛物线yx22x1，下列说法错误的是()A开口向上B与x轴有两个重合的交点C对称轴是直线x1D当x1时，y随x的增大而减小【解析】A.a10，开口向上正确；B.令x22x1

12、0，0，B正确；C.1，C正确；D.开口向上，对称轴右侧的图象递增故D错误【答案】D【针对训练】1二次函数yax2bxc，自变量x与函数y的对应值如下表：x543210y402204下列说法正确的是(D)A抛物线的开口向下B当x3时，y随x的增大而增大C二次函数的最小值是2D抛物线的对称轴是直线x2如图，已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在(0，2)和(0，1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x1.下列结论：abc0；4a2bc0；4acb28a；a；bc.其中正确的是(D)A BC D二次函数表达式的确定及综合运用【例2】已知二次函数的图象如图

13、所示，点A是二次函数与x轴的交点，点B是二次函数与y轴的交点，点C是二次函数的顶点(1)求该二次函数的表达式；(2)判断点(4，0)是否在该函数图象上【解析】(1)设出二次函数的顶点式，将点A，B分别代入，计算即可求解；(2)将点(4，0)直接代入二次函数的表达式中，即可判断该点是否在函数图象上【答案】解：(1)设二次函数的表达式为ya(x2)2k(a0)又点A(1，0)，B(0，5)在二次函数的图象上，解得二次函数的表达式为y(x2)29，即yx24x5；(2)当x4时，y4244550，点(4，0)不在该函数图象上【方法指导】确定抛物线表达式的一般方法(待定系数法)及步骤：(1)确定抛物线

14、上已知点的坐标；(2)设抛物线表达式，根据抛物线上已知点的特点，有三种设抛物线表达式的方法：已知抛物线上任意三点的坐标，设抛物线为一般式yax2bxc；已知抛物线的顶点坐标(h，k)或对称轴直线xh，设抛物线为顶点式ya(xh)2k；已知抛物线与x轴的两个交点坐标A(x1，0)，B(x2，0)，设抛物线为交点式ya(xx1)(xx2)；(3)将已知点的坐标代入所设表达式中，列出关于待定系数的方程组；(4)解方程组，求出待定系数的值；(5)将待定系数的值代入表达式，得到二次函数表达式【针对训练】3已知抛物线y(xm)2(xm)，其中m是常数(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点

15、；(2)若该抛物线的对称轴为直线x.求该抛物线的函数表达式；把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？解：(1)y(xm)2(xm)x2(2m1)xm2m，(2m1)24(m2m)10，不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；(2)x，m2，抛物线表达式为yx25x6；设抛物线沿y轴向上平移k个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线表达式为yx25x6k，抛物线yx25x6k与x轴只有一个公共点，524(6k)0，k，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点,当堂过关检测)1.(2017天津中考)已知抛物线yx2

16、4x3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M，平移该抛物线，使点M平移后的对应点M落在x轴上，若B平移后的对应点B落在y轴上，则平移后的抛物线表达式为(A)Ayx22x1Byx22x1Cyx22x1 Dyx22x12(2017兰州中考)下表是一组二次函数yx23x5的自变量x与函数值y的对应值：x11.11.21.31.4y10.490.040.591.16那么方程x23x50的一个近似根是(C)A1B1.1C1.2D1.33(2017枣庄中考)已知函数yax22ax1(a是常数，a0)，下列结论正确的是(D)A当a1时，函数图象经过点(1，1)B当a2时，函数图象与x轴没有交点C若

17、a0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D若a0，则当x1时，y随x的增大而增大4(2017菏泽中考)一次函数yaxb和反比例函数y在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数yax2bxc的图象可能是(A),A),B),C),D)5已知抛物线yx22mx4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M，若点M在这条抛物线上，则点M的坐标为(C)A(1，5) B(3，13)C(2，8) D(4，20)6(2017武汉中考)已知关于x的二次函数yax2(a21)xa的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)若2m3，则a的取值范围是_a或3a2_教后反思：_第2课时二次函数的应用,考标完全解读)考点

18、考试内容考试要求二次函数的性质二次函数性质的运用掌握二次函数实际问题的常见题型抛物线型掌握结合几何图形型掌握最值型掌握,感受宜宾中考)已知：如图，二次函数yx2(2k1)xk1的图象与x轴相交于O、A两点(1)求这个二次函数的表达式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角AOB的面积等于3.求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在这条抛物线上是否存在点P，使POB90？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由解：(1)将(0，0)代入，k10，k1，yx23x；(2)令yx23x0，x10，x23，A(3，0)，设B(x0，y0)，依题意得：SAOB3

19、|y0|3，|y0|2, y02, AOB在对称轴x1.5右边，且为锐角三角形，故只有 y02满足又由x3x02解得x01或x02，x01在对称轴左边应舍去，x02. B(2，2)；(3)存在POB90，AOB45，设点P的坐标(m，m)，由于点P在抛物线yx23x上，故mm23m，解得m4或m0(舍去)点P的坐标为(4，4). 此时OP4，OB2，SPOBOPOB8.,核心知识梳理)二次函数的实际应用1应用二次函数解决实际问题的解题方法(1)设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的函数；(2)列：根据_题目中的等量关系_，列出_函数表达式_；(3)定：根据_数学意义和实际意义_

20、确定自变量的取值范围；(4)解：利用相关性质解决问题；(5)答：检验后写出合适的答案2二次函数实际问题的常见题型(1)抛物线型解决此类问题的关键是选择_合理的位置_建立直角坐标系建立直角坐标系的原则：所建立的直角坐标系要使_求出的二次函数表达式比较简单_；使已知点所在的位置适当(如在x轴，y轴，原点，抛物线上等)，方便求二次函数的表达式和之后的计算求解(2)结合几何图形型解决此类问题一般是根据几何图形的性质，找_自变量与该图形周长或面积之间的关系_，用自变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的表达式，再根据题意和二次函数的性质解题即可(3)最值型列出二次函数的表达式，并根据_自变量的实际意义_

21、，确定自变量的取值范围；配方或利用公式求顶点；检查顶点是否在自变量的取值范围内若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取值范围的两端点处，根据函数增减性确定最值【温馨提示】解决最值应用题要注意两点：(1)设未知数，在“当某某为何值时，什么最大(或最小)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；(2)最值的求解，依据配方法或者最值公式，而不是解方程,重点难点解析)二次函数的实际应用【例1】某网店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件已知该款童装每件成本价为40元，设该款童装每件

22、售价为x元，每星期的销售量为y件(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【解析】(1)根据销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系即可得出结果；(2)设每星期利润为W元，构建二次函数，利用其性质解决问题；(3)列出不等式，先求出售价的范围，再确定销售量即可解决问题【答案】解：(1)y30030(60x)30x2 100；(2)设每星期的销售利润为W元依题意，得W(x40)(30x2 100)30x23 300x84 00030(x55)26 7

23、50.a300, 当x55时，W最大值6 750元即每件售价定为55元时，每星期销售的利润最大，最大利润为6 750元(3)由题意，得30(x55)26 7506 480，解得x152，x258.抛物线W30(x55)26 750的开口向下，当52x58时，每星期销售童装的利润不低于6 480元在y30x2 100中，k300，y随x的增大而减小当x58时，y最小值30582 100360.即每星期至少要销售该童装360件【针对训练】1如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a m.(1

24、)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2 m且不超过10 m，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？解：(1)由图可，圃的面积为(402a)(602a)m2；(2)由已知可列式：(402a)(602a)6040，解得：a15，a245(舍去)答：通道的宽为5 m；(3)由图象可知，y1是经过原点的一次函数，设y1kx.将点(1 200，48 0

25、00)代入，得48 0001 200k，解得k40，y140x.设y2mxn，当0x800时，y2是经过(800，48 000)的正比例函数，则m48 00080060，故y260x；当x800时，将(800，48 000)，(1 200，62 000)代入，得解得y235x20 000.y2由(1)知，x花圃(402a)(602a)4a2200a2 400，x通道6040(4a2200a2 400)4a2200a.当2a10时，800x花圃2 016，384x通道1 600，此时，y140x通道，y235x花圃20 000.设总造价为y，则y40(4a2200a)35(4a2200a2 40

26、0)20 00020(a25)2116 500，当2a10时，y随a的增大而增大，当a2时，y最小105 920.即当通道的宽为2 m时，修建的通道和花圃的总造价最低为105 920元二次函数探究问题型【例2】(2017云南中考)已知二次函数y2x2bxc图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点(1)不等式b2c80是否成立？请说明理由；(2)设S是AMO的面积，求满足S9的所有点M的坐标【解析】由顶点坐标(3，8)可求表达式，进而可算b2c80，故(1)成立注意：点M可以在x轴的上方，也可能在x轴的下方，可能在对称轴的左侧，也可

27、能在右侧，故要分情况讨论【答案】解：(1)二次函数顶点坐标为(3，8)，表达式为y2(x3)282x212x10，b12，c10，b2c80，b2c80成立；(2)设M(m，2m212m10)，SOA|yM|9，|2m212m10|6，2m212m106，解得m12，m24，M1(2，6)，M2(4，6)；2m212m106，解得m13，m23，M3(3，6)，M4(3，6)综上所述，点M的坐标为(2，6)或(4，6)或(3，6)或(3，6),当堂过关检测)(2017包头中考)某广告公司设计一幅周长为16 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元设矩形一边长为x(m)，面积为S(m2)(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)设计费能达到24 000元吗？为什么？(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？解：(1)矩形的一边为x m，周长为16 m，另一边长为(8x)m.Sx(8x)x28x，其中0x8，即Sx28x(0x8)；(2)能当设计费为24 000元时，面积为24 00020012(m2)，即x28x12，解得：x2或x6，设计费能达到24 000元；(3)Sx28x(x4)216，当x4时，S最大值16，当x4 m时，矩形的最大面积为16 m2，设计费最多，最多是32 000元教后反思：_