广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科） WORD版含解析.doc

1、广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集是实数集R，M=x|x1，N=1，2，3，4，则（RM）N等于（）A4B3，4C2，3，4D1，2，3，42（5分）f（x）=sin2x是（）A最小正周期为2的偶函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数3（5分）如果命题“p且q”是假命题，“q”也是假命题，则（）A命题“p或q”是假命题B命题“p或q”是假命题C命题“p且q”是真命题D命题“p且q”是真命题4（5分）用二

2、分法求方程lgx=3x的近似解，可以取的一个区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）5（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A（x1）2+y2=1B（x+1）2+y2=1Cx2+（y1）2=1Dx2+（y+1）2=16（5分）如图，四棱锥PABCD的底面是BAD=60的菱形，且PA=PC，PB=BD，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC平行）可能是（）ABCD7（5分）“a1”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（5分）设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A若a，b与

3、所成的角相等，则bB若a，b，则abC若a，b，b，则D若a，b，是ab9（5分）如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）ABCD10（5分）已知函数，正实数a、b、c满足f（c）0f（a）f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：da；db；dc；dc其中可能成立的个数为（）A1B2C3D411（5分）曲线y=x3+2x在横坐标为1的点处的切线为L，则点（3，2）到L的距离是（）ABCD12（5分）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）A0x+y1Bx+y1Cx+y1D1x+y0二、填空题：本大题共4小

4、题，每小题5分，满分20分13（5分）已知x=3是函数f（x）=alnx+x210x的一个极值点，则实数a=14（5分）在ABC中，若A=60，边AB=2，SABC=，则BC边的长为15（5分）等差数列an中，已知a4+a5=8，则S8=16（5分）设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工（）求每个报名者能被聘用的概率；（）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：分数段60，65）65，

5、70）70，75）75，80）80，85）85，90）人数126951请你预测面试的切线分数大约是多少？（）公司从聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？18（12分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式；（）若，求cos的值19（12分）如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA（1）求证：BE平面PAC；（2）求点E到平面PBF的距离20（12分）设函数f（x）=（x0），数列an满足a1=1，（nN*

6、，且n2）（1）求数列an的通项公式；（2）设T2n=4（a2+a4+a6+a2n），若T2n4tn2对nN*恒成立，求实数t的取值范围21（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1，直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点（1）求点P的坐标；（2）求PAB面积的最大值22（12分）已知函数f（x）=（1）求f（x）在区间1，1）上的最大值；（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考

7、答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集是实数集R，M=x|x1，N=1，2，3，4，则（RM）N等于（）A4B3，4C2，3，4D1，2，3，4考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：由全集R及M，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可解答：解：全集是实数集R，M=x|x1，RM=x|x1，N=1，2，3，4，（RM）N=1，2，3，4故选D点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）f（x）=sin2x是（）A最小正周期为2的偶函数B最小正周期为2的

8、奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数考点：正弦函数的对称性；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性 专题：三角函数的图像与性质分析：由T=，又f（x）=sin（2x）=sin2x=f（x），可得f（x）=sin2x是最小正周期为的奇函数解答：解：T=又f（x）=sin（2x）=sin2x=f（x），故f（x）=sin2x是最小正周期为的奇函数故选：D点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题3（5分）如果命题“p且q”是假命题，“q”也是假命题，则（）A命题“p或q”是假命题B命题“p或q”是假命题C命题“p且q”是真命题D命题“p且q”是真命题考点：命题的真假判断与应用 专

9、题：计算题分析：因为命题“p且q”是假命题，可得p和q至少有一个是假命题，因为“q”也是假命题，所以q是真命题，根据此信息进行判断；解答：解：命题“p且q”是假命题，可得p和q至少有一个为假命题，因为“q”也是假命题，可得q是真命题，可得p是假命题，A、命题“p是真命题，可得命题“p或q”是真命题，故A错误；B、因为q是真命题，故命题“p或q”是真命题，故B错误；C、p是假命题，q为真命题，命题“p且q”是真命题，故C正确；D、p是假命题，命题“p且q”是假命题，故D错误；故选C；点评：本题主要考查了非P命题与p或q命题的真假的应用，注意“或”“且”“非”的含义，是一道基础题；4（5分）用二分

10、法求方程lgx=3x的近似解，可以取的一个区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）考点：二分法求方程的近似解 专题：函数的性质及应用分析：设f（x）=lgx3+x，当连续函数f（x）满足f（a）f（b）0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，即方程lgx=3x在区间（a，b）上有解，进而得到答案解答：解：设f（x）=lgx3+x，当连续函数f（x）满足f（a）f（b）0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，即方程lgx=3x在区间（a，b）上有解，又f（2）=lg210，f（3）=lg30，故f（2）f（3）0，故方程lgx=3x在区间（2，3）上有解，故选：C点评：本题考查

11、的知识点是方程的根，函数的零点，其中熟练掌握函数零点的存在定理是解答的关键5（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A（x1）2+y2=1B（x+1）2+y2=1Cx2+（y1）2=1Dx2+（y+1）2=1考点：抛物线的简单性质；圆的标准方程 专题：计算题分析：先由抛物线的标准方程求得其焦点坐标，即所求圆的圆心坐标，再由圆过原点，求得圆的半径，最后由圆的标准方程写出所求圆方程即可解答：解；抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），所求圆的圆心坐标为（1，0）所求圆过坐标原点（0，0）其半径为10=1所求圆的标准方程为（x1）2+y2=1点评：本题主要考查了圆的标准方

12、程的求法，抛物线的标准方程及其几何性质，属基础题6（5分）如图，四棱锥PABCD的底面是BAD=60的菱形，且PA=PC，PB=BD，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC平行）可能是（）ABCD考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中四棱锥PABCD的底面是BAD=60的菱形，我们根据棱锥的正视图为三角形，结合看不到的棱画为虚线，看到的棱画为实线，比照四个答案中的图形，即可得到答案解答：解：由已知中的几何体PABCD为四棱锥故其正视图的外边框为三角形又四棱锥PABCD的底面是BAD=60的菱形，PD棱在正视图中看不到，故应该画为虚线，PB棱在正视图中可能看到

13、，故应该画为实线故选B点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中要注意三视图中看不到的棱（或轮廓线）画为虚线，本题易忽略此点7（5分）“a1”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：充要条件 分析：可以把不等式“”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a0，a0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法解答：解：由得：当a0时，有1a，即a1；当a0时，不等式恒成立所以a1或a0从而a1是的充分不必要条件故应选：A点评：本题考查不等式的性质及其应用，解分式不等式的问题，不等式的等价变

14、形！本题需要注意的是在利用不等式的乘法单调性时易出错，比如本题中若原不等式两边同乘以a，等到a1就是对不等式两边同乘以一个正数还是负数不等式是否改变方向认识不足导致的错误8（5分）设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A若a，b与所成的角相等，则bB若a，b，则abC若a，b，b，则D若a，b，是ab考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：证明题分析：根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证D、由a，可得到a或a，再由b

15、得到结论解答：解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证如图，设A1B1为a，平面AC为，BC为b，平面A1C1为，显然有a，b，但得不到ab，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为，CD为b，平面AC为，满足选项C的条件却得不到，不正确；D、a，a或a又bab故选D点评：本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题9（5分）如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）ABCD考点：椭圆的标准方程 专题：计算题分析：先根据长轴长是短轴长的2倍确定a与b的关系，进而根据椭圆a，b，c的关系a2=b2+c2可表

16、示出c，再由e=得到答案解答：解：a=2bc=be=故选B点评：本题主要考查椭圆离心率的计算属基础题10（5分）已知函数，正实数a、b、c满足f（c）0f（a）f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：da；db；dc；dc其中可能成立的个数为（）A1B2C3D4考点：函数零点的判定定理 专题：数形结合分析：利用零点就是两函数图象的交点，再利用图象得结论解答：解：因为函数在（0，+）上是减函数，又因为f（c）0f（a）f（b），所以abc，又因为零点就是两函数图象的交点，在同一坐标系内画出函数y=与y=lnx的图象，如图a、b、c，d的位置如图所示只有成立故可能成立的有两个

17、故选B点评：本题考查函数零点的判定的应用和数形结合思想的应用，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具11（5分）曲线y=x3+2x在横坐标为1的点处的切线为L，则点（3，2）到L的距离是（）ABCD考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：不等式的解法及应用分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论解答：解：函数的f（x）的导数f（x）=3x2+2，则f（1）=3+2=1，即切线斜率k=1，当x=1时，y=12=1，即切点坐标为（

18、1，1），则切线方程为y+1=（x+1），即x+y+2=0，则点（3，2）到L的距离d=，故选：A点评：本题主要考查导数的几何意义的应用以及点到直线的距离的计算，根据导数求出函数的切线方程是解决本题的关键12（5分）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）A0x+y1Bx+y1Cx+y1D1x+y0考点：向量的加法及其几何意义 专题：平面向量及应用分析：如图所示由 =，可得 x0 y0，故 x+y0，故排除A、B再由 =x2+y2+2xy，得1=x2+y2+2xycosAOB 当AOB=120时，由（x+y）2=1+3xy1，可得x+y1，从而得出

19、结论解答：解：如图所示：=，x0，y0，故 x+y0，故排除A、B|OC|=|OB|=|OA|，=x2+y2+2xy，1=x2+y2+2xycosAOB 当AOB=120时，x2+y2xy=1，即（x+y）23xy=1，即（x+y）2=1+3xy1，故 x+y1，故选C点评：本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，排除法解选择题，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知x=3是函数f（x）=alnx+x210x的一个极值点，则实数a=12考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的

20、综合应用分析：由于x=3是函数f（x）=alnx+x210x的一个极值点，可得f（3）=0，解出并验证即可解答：解：f（x）=+2x10（x0）x=3是函数f（x）=alnx+x210x的一个极值点，f（3）=+610=0，解得a=12f（x）=0x2或x3时，f（x）0，3x2时，f（x）0，x=3是函数f（x）=12lnx+x210x的一个极小值点，故答案为：12点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于中档题14（5分）在ABC中，若A=60，边AB=2，SABC=，则BC边的长为考点：余弦定理；三角形的面积公式 专题：解三角形分析：由AB，sinA及已知的面积，利

21、用三角形面积公式求出AC的长，再由AB，AC及cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的长解答：解：A=60，边AB=2，SABC=，SABC=ABACsinA，即=2AC，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+12=3，则BC=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键15（5分）等差数列an中，已知a4+a5=8，则S8=32考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质和求和公式可得S8=4（a4+a5），代值计算可得解答：解：等差数列an中a4+a5=8，S8

22、=4（a1+a8）=4（a4+a5）=32故答案为：32点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题16（5分）设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是0，考点：简单线性规划 专题：综合题分析：不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（0，1），C（1，0），的几何意义是点（x，y）与（P2，0）连线的斜率，由此可求结论解答：解：不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（0，1），C（1，0）的几何意义是点（x，y）与（P2，0）连线的斜率，由于PB的斜率为，PA，PC的斜率为0所以的取值范围是0，

23、故答案为：0，点评：本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工（）求每个报名者能被聘用的概率；（）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：分数段60，65）65，70）70，75）75，80）80，85）85，90）人数126951请你预测面试的切线分数大约是多少？（）公司从聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女

24、的概率是多少？考点：等可能事件的概率 专题：常规题型分析：（）利用古典概型求概率是解决本题的关键，根据每个人入选的概率相等可以计算出所求的概率；（）利用概率是样本频率的近似值，通过对应成比例得出被聘用的最低分数线；（）利用古典概型求概率是解决本题的关键，可以列举出样本空间的所有情况和所求事件的所有情况，通过算起比值得到所求的概率解答：解：（）设每个报名者能被聘用的概率为P，依题意有：P=0.02答：每个报名者能被聘用的概率为0.02（）设24名笔试者中有x名可以进入面试，依样本估计总体可得：，解得：x=6，从表中可知面试的切线分数大约为80分答：可以预测面试的切线分数大约为80分（）从聘用的四

25、男、二女中选派两人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种选派一男一女参加某项培训的种数有：（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），共8种所以选派结果为一男一女的概率为答：选派结果为一男一女的概率为点评：本题主要考查概率、统计的基本知识，考查应用意识弄清频率和概率的关系，把握古典概型计算概率的基本方法，必要时利用枚举法计算概率18（12分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0

26、，0，|）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式；（）若，求cos的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值 专题：作图题；综合题分析：（I）观察图象可得函数的最值为1，且函数先出现最大值可得A=1；函数的周期T=，结合周期公式T=可求；由函数的图象过（）代入可得（II）由（I）可得f（x）=sin（2x+），从而由f（）=，代入整理可得sin（）=，结合已知0a，可得cos（+）=，利用，代入两角差的余弦公式可求解答：解：（）由图象知A=1f（x）的最小正周期T=4（）=，故=2将点（，1）代入f（x）的解析式得sin（+）=1，又|，=故函数

27、f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）（）f（）=，即sin（）=，注意到0a，则，所以cos（+）=又cos=（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=点评：本题主要考查了（i）由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解=，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解；（ii）三角函数的同角平方关系，两角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常见的拆角技巧：2=（+）+（）2=（+）（）=（+）=（+）19（12分）如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，PB=BC=CA=2

28、，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA（1）求证：BE平面PAC；（2）求点E到平面PBF的距离考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）利用等腰三角形的性质可得BEPC再利用线面垂直的判定和性质即可证明BE平面PAC；（2）利用等体积法：VEPFB=VBPEF，求点E到平面PBF的距离解答：（1）证明：BP=BC，EP=EC，BEPCPB底面ABC，PBAC，又ACBC，PBBC=B，AC平面PBC，ACBE又PCAC=C，BE平面PAC （6分）（2）解：在RtPBC中，在RtPBA中，（10分）设点E到平面PBF的距离为dVB

29、PEF=VEPBF即（12分）点评：本题考查了线面平垂直的判定，考查等体积法求点E到平面PBF的距离，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力20（12分）设函数f（x）=（x0），数列an满足a1=1，（nN*，且n2）（1）求数列an的通项公式；（2）设T2n=4（a2+a4+a6+a2n），若T2n4tn2对nN*恒成立，求实数t的取值范围考点：等差数列的性质；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得，（n2），从而anan1=2，由此能求出an=2n1（2）由已知得T2n=，从而，由此利用在nN*单调递增，能求出实数t的取值范围解答：解：（1）f（x）=（x0），（n2）

30、anan1=2，（2分）又a1=1，数列an是以1为首项，公差为2的等差数列an=2n1（nN*）（4分）（2）解：T2n=4（a2+a4+a6+a2n）=，（8分）恒成立，又在nN*单调递增，故，即t3（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用21（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1，直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点（1）求点P的坐标；（2）求PAB面积的最大值考点：椭圆的简单性质 专题：向量与圆锥曲线分析：（1）设出点P的坐标为（x0，y0）（x00，y0

31、0），由椭圆方程求得左右焦点坐标，然后结合求得P的坐标所满足的关系式，再根据P在椭圆上得另一关系式，联立即可求得P的坐标；（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0求出m的范围，然后分别利用弦长公式和点到直线的距离公式求出弦AB的长及点P到直线AB的距离，代入三角形的面积公式利用基本不等式求最值解答：解：（1）依题意，设点P的坐标为（x0，y0）（x00，y00），由椭圆方程可得，则，即 ，又P是椭圆上一点，联立得，又x00，y00，故点P的坐标为；（2）直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，得，消去y得，由0，得，点P（1

32、，）到直线AB的距离为，则=当且仅当取等号，三角形PAB面积的最大值为点评：本题考查了平面向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线位置关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，然后利用一元二次方程的根与系数关系求解，该题还运用了换元法和函数的单调性求最值，综合性强22（12分）已知函数f（x）=（1）求f（x）在区间1，1）上的最大值；（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：综合题；导

33、数的综合应用分析：（1）当1x1时，求导函数，可得f（x）在区间1，1）上的最大值；（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上解答：解：（1）当1x1时，（1分）令f（x）=0得x=0或，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：（1，0）00+0递减极小值递增极大值递减（3分）又f（1）=2，f（0）=0f（x）在区间1，1）上的最大值为2（4分）（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，

34、则点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t）（t0），则Q（t，t3+t2），显然t1（5分）POQ是以O为直角顶点的直角三角形，即t2+f（t）（t3+t2）=0（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解（6分）若0t1，则f（t）=t3+t2，代入（1）式得，t2+（t3+t2）（t3+t2）=0，即t4t2+1=0，而此方程无实数解，因此t1（8分）f（t）=alnt，代入（1）式得，t2+（alnt）（t3+t2）=0，即 （*）（9分）考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x1），则，h（x）在1，+）上单调递增，t1，h（t）h（1）=0，当t+时，h（t）+，h（t）的取值范围是（0，+）（11分）对于a0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，综合性强，属于中档题